2.2. использование взвешенных скользящих средних
2.2. использование взвешенных скользящих средних
При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:
t+p
У = ^ , (2.5)
i =t p
где
wi — весовые коэффициенты.
Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами (wi), а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего — 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.
Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.
Для каждого активного участка подбирается полином вида
yt = a0 + a1t + a2t2 +... ,
коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания l = 7 рассматриваются моменты времени t: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.
Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.
Проиллюстрируем процедуру определения весовых коэффициентов на следующем примере.
Пусть длина интервала сглаживания l = 5, а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т. е. будем рассматривать моменты времени: t = -2, -1, 0, 1, 2.
Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т. е. находятся коэффициенты минимизирующие функционал:
2 2 2
Q = S (yt a0 a1t a2t ) == min
t=-2
Находим частные производные и приравниваем их нулю:
= 0, j = 0; 1, 2.
Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала Stk = 0 , где k — нечетное число, получим упрощенную систему нормальных
t=-2
уравнений:
2
S yt = 5a0 + 10a2
t=-2
S У = 10a, ( 2.6)
t = -2
S t2 yt = 10a0 + 34a2
t = -2
Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом а0, который входит в первое и третье уравнения системы (2.6).
Поэтому из уравнений (1) и (3) системы (2.6) определим выражение для коэффициента а0:
a0 = 3j(-3y_2 +12y_1 +17y0 +12y 3y2)
Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного участка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок (см. (2.5)). Соответствующие весовые коэффициенты равны:
_ _L.12.1I.12.-3
35;35;35;35;35 .
Учитывая симметрию относительно центрального значения, их можно представить с помощью символической записи:
a0 = [3; 12; 17] (см. табл. 2.1).
Процедура определения весовых коэффициентов носит общий характер. Если для каждого активного участка с длиной интервала сглаживания l = 2 р +1 подбирается полином порядка m , то согласно МНК необходимо минимизировать функционал:
Q = І (y _ ao _ at _ к _ amtm)2
t=_ p
При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам четной степени m = 2k, будут неизменными при использовании полиномов степени m = 2k +1 (т.е. для полиномов на единицу большей нечетной степени).
В таблице 2.1 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка).
Таблица 2.1.
Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней (при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка)
Длина интервала сглаживания | Весовые коэффициенты |
5 | 3-[ _3, + 12,+Г7] |
7 | 2-[ _2, +3, +6, +7] |
9 | —[_21, +14, +39, +54, +591 — Г_36, +9, +44, +69, +84, +89 —Г_ 11,0, +9, +16, +21 +24, +25 143L ' ' ' ' ' ' J |
11 | |
13 |
Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.
Отметим важные свойства весовых коэффициентов:
Они симметричны относительно центрального уровня.
Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.
Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.
Проиллюстрируем использование таблицы 2.1 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом активном участке yt-2yt-1, yt, yt+1yt+2 будет оцениваться по формуле:
yt = 35 (" 3 yt 2 + 12yt-1 + 17 yt + 12yt+1 3 yt+2 ) ,
где соответствующие весовые коэффициенты уровней -3/35, 12/35, 17/35 взяты из первой строки табл. 2.1
Разработаны специальные приемы, позволяющие восстанавливать потерянные значения временного ряда (краевые значения) при использовании взвешенной скользящей средней. При длине активного участка l = 2p + 1 для восстановления p первых и p последних потерянных уровней анализируемого временного ряда, как правило, используются расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для сглаживания остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по l = 2p + 1 первым и последним уровням временного ряда.
Следует отметить, что процедуры скользящих средних представляют собой важное аналитическое средство, обладая рядом бесспорных достоинств (простота вычисления и интерпретации и др.), однако при этом их использование требует определенного опыта исследователя. На практике скользящие средние широко применяются совместно с кривыми роста, используются при оценивании сезонной составляющей во временных ряда, в процедурах сезонной корректировки. Также они служат важным инструментом исследования в техническом анализе товарных и финансовых рынков.
Обсуждение Статистические методы прогнозирования в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы