2.2. использование взвешенных скользящих средних

2.2. использование взвешенных скользящих средних: Статистические методы прогнозирования в экономике, Т.А. Дуброва, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров.

2.2. использование взвешенных скользящих средних

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

t+p

У = ^ , (2.5)

i =t p

где

wi — весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами (wi), а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего — 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для каждого активного участка подбирается полином вида

yt = a0 + a1t + a2t2 +... ,

коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания l = 7 рассматриваются моменты времени t: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.

Проиллюстрируем процедуру определения весовых коэффициентов на следующем примере.

Пусть длина интервала сглаживания l = 5, а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т. е. будем рассматривать моменты времени: t = -2, -1, 0, 1, 2.

Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т. е. находятся коэффициенты минимизирующие функционал:

2 2 2

Q = S (yt a0 a1t a2t ) == min

t=-2

Находим частные производные и приравниваем их нулю:

= 0, j = 0; 1, 2.

Отсюда, учитывая, что после переноса начала координат в середину временного интервала Stk = 0 , где k — нечетное число, получим упрощенную систему нормальных

t=-2

уравнений:

2

S yt = 5a0 + 10a2

t=-2

S У = 10a, ( 2.6)

t = -2

S t2 yt = 10a0 + 34a2

t = -2

Сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом а0, который входит в первое и третье уравнения системы (2.6).

Поэтому из уравнений (1) и (3) системы (2.6) определим выражение для коэффициента а0:

a0 = 3j(-3y_2 +12y_1 +17y0 +12y 3y2)

Таким образом, оценка сглаженного значения в центральной точке активного участка определяется как взвешенная средняя арифметическая из пяти уровней, образующих этот участок (см. (2.5)). Соответствующие весовые коэффициенты равны:

_ _L.12.1I.12.-3

35;35;35;35;35 .

Учитывая симметрию относительно центрального значения, их можно представить с помощью символической записи:

a0 = [3; 12; 17] (см. табл. 2.1).

Процедура определения весовых коэффициентов носит общий характер. Если для каждого активного участка с длиной интервала сглаживания l = 2 р +1 подбирается полином порядка m , то согласно МНК необходимо минимизировать функционал:

Q = І (y _ ao _ at _ к _ amtm)2

t=_ p

При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам четной степени m = 2k, будут неизменными при использовании полиномов степени m = 2k +1 (т.е. для полиномов на единицу большей нечетной степени).

В таблице 2.1 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка).

Таблица 2.1.

Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней (при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка)

Длина интервала сглаживания

Весовые коэффициенты

5

3-[ _3, + 12,+Г7]

7

2-[ _2, +3, +6, +7]

9

—[_21, +14, +39, +54, +591

— Г_36, +9, +44, +69, +84, +89

—Г_ 11,0, +9, +16, +21 +24, +25 143L ' ' ' ' ' ' J

11

13

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых коэффициентов:

Они симметричны относительно центрального уровня.

Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Проиллюстрируем использование таблицы 2.1 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом активном участке yt-2yt-1, yt, yt+1yt+2 будет оцениваться по формуле:

yt = 35 (" 3 yt 2 + 12yt-1 + 17 yt + 12yt+1 3 yt+2 ) ,

где соответствующие весовые коэффициенты уровней -3/35, 12/35, 17/35 взяты из первой строки табл. 2.1

Разработаны специальные приемы, позволяющие восстанавливать потерянные значения временного ряда (краевые значения) при использовании взвешенной скользящей средней. При длине активного участка l = 2p + 1 для восстановления p первых и p последних потерянных уровней анализируемого временного ряда, как правило, используются расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для сглаживания остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по l = 2p + 1 первым и последним уровням временного ряда.

Следует отметить, что процедуры скользящих средних представляют собой важное аналитическое средство, обладая рядом бесспорных достоинств (простота вычисления и интерпретации и др.), однако при этом их использование требует определенного опыта исследователя. На практике скользящие средние широко применяются совместно с кривыми роста, используются при оценивании сезонной составляющей во временных ряда, в процедурах сезонной корректировки. Также они служат важным инструментом исследования в техническом анализе товарных и финансовых рынков.

Статистические методы прогнозирования в экономике

Статистические методы прогнозирования в экономике

Обсуждение Статистические методы прогнозирования в экономике

Комментарии, рецензии и отзывы

2.2. использование взвешенных скользящих средних: Статистические методы прогнозирования в экономике, Т.А. Дуброва, 2004 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров.