5.2 технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции. модель пола ромера

5.2 технологические изменения: расширение разнообразия производственной продукции. модель пола ромера

Модель Пола Ромера показывает возможность существования устойчивого роста с постоянным темпом прироста на основе внедренного технического прогресса (эндогенного роста). Темп прироста зависит от поведенческих параметров: в базовом случае — от субъективной дисконтной ставки (ставка межвременного предпочтения полезности потребителя), а также от анализа параметров государственной политики. Технический прогресс выражается в расширении видов производственных (промежуточных) продуктов (горизонтальный тип технического прогресса), каждый из которых упрощенно идентифицируется с определенной технологией. Источником покрытия затрат на НИОКР {research and development) выступает монопольная прибыль производителя промежуточного продукта, для получения которой он проводит финансирование исследований.

5.2.1

Базовые положения модели

Предполагается производственная функция типа Спенса, Диксита и Стиглица [Spence, 1976; Dixit, Stiglitz, 1977], включающая эффект расширения разнообразия промежуточных (инновационных) продуктов:

для дискретного множества товаров,

(5-1)

Y = А1}~а x«dj

для непрерывного множества товаров,

(5-2)

о

где а — эластичность выпуска по промежуточному товару, 0 < а < 1, const; L — объем труда, const; х — количество используемого у'-го типа промышленных товаров; N — количество доступных в момент времени / типов промышленных товаров (технологий); А — параметр производительности сектора конечной продукции, const.

Физический капитал в модели равен сумме промежуточных товаров, каждый из которых полностью используется в одном производственном цикле и отождествлен с определенной технологией:

n

K = Xjdj. (5-3)

о

Введя в модель предположение о ее симметрии относительно всех типов промежуточных продуктов, получаем

Xj=x,pXJ.=Px,/j,

где рх — цена промежуточного товара.

При условии симметрии физический капитал находится умножением числа типов промежуточных продуктов на их количество:

K = Nxx. (5-4)

Производственная функция конечного продукта при условии симметрии выражается как функция вида Кобба — Дугласа с нейтральным, по Харроду, техническим прогрессом (который в соответствии с базовыми посылками модели представлен количеством доступных типов промежуточных продуктов):

Y = ALl'aNxa=KaAL'~aN^a. (5-5) Инвестиции в соответствии с тождеством национальных счетов:

K = Y-C. (5"6)

Цена единицы выпуска конечного продукта Y -р для простоты в модели равна единице.

5.2.2

Производство конечного и промежуточного продукта

Сектор конечной продукции выражен стандартно и работает при условии совершенной конкуренции.

Прибыль производителя конечной продукции выражается как разность валовой выручки и издержек:

KY = Y-wL-pxNx. (5-7) В результате максимизации прибыли при условии совершенной конкуренции в секторе конечной продукции заработная плата и цена промежуточного продукта находятся следующим образом:

w=(l-a)j, (5_8)

Л=«|г(5-9)

Из (5-8) следует соотношение темпов прироста заработной платы и конечного выпуска: gw = gY ■

Уравнение (5-9), полученное без предварительного предположения о симметрии всех типов продуктов, будет выглядеть следующим образом:

^ = AaLl^-1=px. (5-Ю) ах j

Из полученного уравнения определяем функцию потребительского спроса нау'-й тип промежуточного продукта:

Xj = L

(5-И)

Промежуточный продукт — часть совокупного выпуска, приспособленная производителем промежуточного продукта для инвестиционного потребления, единственные его издержки связаны с приобретением конечного продукту по единичной цене. Монопольным правом на производство промежуточного продукта обладает его производитель; это право он получает, покупая патент на производство продукта у научно-исследовательского сектора. Прибыль производителя промежуточного продукта:

Монопольная цена производителя промежуточного продукта, полученная путем максимизации прибыли или путем использования формулы монопольной цены «издержки плюс»:

p*=i>h (5-13)

Поскольку спрос и цена на все промежуточные продукты одинаковы, действует положение о симметрии.

Спрос на промежуточную продукцию равен

I 2

х = ЬА^-аа}-а = const. (5-14) Выпуск конечной продукции определяют по формуле

I 2

Y = ATZaF*LN. (5-15) Из уравнения выпуска следует равенство темпа прироста выпуска конечной продукции темпу прироста технического прогресса: Sy Sn-Прибыль производителя промежуточного продукта:

1 1+а

пх = (-a)LAlaala = const. (5-16)

5.2.3

Патент и научно-исследовательский сектор

Патент — это монопольное право на использование определенной технологии, произведенной научно-исследовательским сектором и проданное производителю промежуточной продукции. Патент является активом, и его доходность выравнивается с процентной ставкой.

Цена патента выражается как сумма потока будущей дисконтированной прибыли, которую он принесет монопольному владельцу. Изменение цены во времени можно получить, дифференцируя уравнение стоимости патента по времени:

°° -Jk„A>

q = nxje ' ds; (5-17)

q = -кх +rtnxje ' ds = -nx+rrq. (5-18) Из (5-18) следует арбитражное уравнение:

г = *Д. (5-19) Я Ч

Произьодственная функция научно-исследовательского сектора вводится в модель в зависимости от объема труда в секторе и имеющегося объема разработок, которые используются для аналоговых новых технологий (зависимость от накопления физического капитала рассматривается как незначительная, физический капитал научно-исследовательского сектора включен в константу производительности):

N = bLR&DN, (5-20) где Ъ — параметр производительности в секторе R&D, константа; L — объем труда в секторе R&D; N — внешний эффект от имеющегося количества типов промежуточных продуктов (технологий). Прибыль в секторе R&D составит

Kr&d =NqwLR&D = bLR&DNq wLR&D. (5-21)

При совершенной конкуренции в научно-исследовательском секторе цена патента равна предельным издержкам инноватора:

<? = ^ = const = Г|. (5_22)

5.2.4

Решение модели

Введем в модель оптимизацию поведения домашнего хозяйства по отношению к потреблению и сбережениям. Задача оптимизации решается как стандартная задача динамической оптимизации полезности потребителя — задача Рамсея.

и.]

Функция полезности с постоянной эластичностью замещения:

1-6

е~р'-—dt. (5-23) о 1-9

Максимизация полезности (задача Рамсея) дает следующее условие устойчивого темпа прироста:

ІЛ(г-р). (5-24) с 9

Устойчивый темп прироста основных переменных модели равен постоянной величине (монопольная прибыль и цена патента — постоянны):

_ 1

ёс ~ ёг — ёк ~ g

^-р= const. (5-25)

Таким образом, существует эндогенный рост с постоянным темпом, достигаемый за счет технического прогресса — производства инноваций в научно-исследовательском секторе.

Полученное условие можно выразить через константы модели, подставив в (5-25) монопольную прибыль, ставку заработной платы и цену патента.

Отношение монопольной прибыли к цене патента:

п (-a)aY/N (-a)aY/N

=1 '— = —, ^—— = оЫ. (5-26)

q _w_ (-a)Y/L K '

bN b~N

Подставив полученное выражение в (5-25), получим:

gc=gY=gK=^{abL-p) = co™t(5-27)

Равновесный устойчивый рост зависит от соотношения отдачи актива модели — патента, приносящего монопольную прибыль, и субъективной дисконтной ставки. При превышении отдачи патента рост будет положительным и эндогенным, так как зависит от поведенческого параметра. В модель можно ввести зависимость и от институционального параметра — ставки налога, являющегося инструментом государственной экономической политики.

Эластичность замещения функции полезности, как и в других моделях с оптимизацией потребления, — это коэффициент, увеличивающий или уменьшающий действие разности отдачи и субъективной дисконтной ставки на устойчивый темп прироста.

Отдача патента, а следовательно, и устойчивый равновесный рост, зависит от коэффициента а, отражающего долю монопольной прибыли в общем объеме выпуска:

рхК = aY. (5-28)

Следовательно, чем выше доля монопольной прибыли, тем больше экономический рост. В модели эта взаимосвязь достигается за счет того, что монопольная прибыль полностью поступает на финансирование научно-технического прогресса, который, в свою очередь, определяет устойчивый рост.

Отдача патента зависит также от коэффициента производительности научно-исследовательского сектора, что непосредственно сказывается на темпе технического прогресса и соответственно устойчивом росте.

Отдача соотносится с объемом труда в конечном секторе. Эту связь легко объяснить: во-первых, монопольная прибыль зависит от объема труда в конечном секторе; во-вторых, устойчивый рост предполагает фиксированное соотношение между долями труда в секторах конечной продукции и научно-исследовательского, следовательно, больший объем труда в одном из них соответствует большему объему в другом. Уравнение (5-27) можо выразить через объем труда в научно-исследовательском секторе.

5.2.5

Оптимальный рост в модели

Оптимальный с точки зрения благосостояния всего общества рост можно получить путем максимизации полезности социальным планером, действующим в интересах общества в целом, по отношению к заданным ограничениям инвестиций в физический капитал, ограничению сектора технического прогресса и ограничению распределения труда. Общая динамическая задача может быть выражена следующим образом (все уравнения и обозначения введены выше, симметрия продукта сохраняет свое значение):

max j^e~p'dt (5-29)

01 — 9

относительно

K = Y-C = KaALx-aN'-a-C, (5-30)

N = bLRN, (5-31)

LY+LR<L, (5-32)

K0,N0 даны.

Функцию Гамильтона для динамической задачи можно записать следующим образом:

J = T-^e" +4Y-C) + ibLR +x(Ly + LR-L). (5-33) 1 — U

Условия максимума первого порядка для данной задачи, где управляющими параметрами выступают потребление и объемы труда в секторах экономики (C,LY,LR), а фазовыми координатами — физический капитал и количество типов промежуточных продуктов (К, N), очевидно, следующее: |£ = 0, (5-34) — = 0, (5-35)

wr0' <5-36)

| = (5-37)

^ = -Ц. (5-38)

cW

Соответственно условия решения задачи максимизации будут следующими:

СЛгр'=?і, (5-39)

X(l-a)Y/LY=-x, (5-40)

[ibN = -\%, (5-41)

XaY/K = -X, (5-42)

X(l-a)Y/N + iibLR =-|ї. (5-43)

Из уравнений (5-40) и (5-42) можно получить условия решения задачи Рамсея, выразив через предельный продукт физический капитал (константа, поскольку объем труда в секторах может быть только постоянным при устойчивом росте, а остальные величины также постоянны):

gop,=gc=^ = ~(aY/K-p). (5-44)

Из уравнений (5-40) и (5-41) очевидно, что темпы прироста сопряженных переменных X и [і равны, поскольку объем труда в секторе конечной продукции может быть только постоянным при устойчивом росте, а темпы прироста выпуска и технического прогресса всегда равны.

Из этих же уравнений находим и отношение сопряженных переменных X и (х:

Х Ш (5-45)

р. (1-а) У/1, Преобразуя уравнение (5-45), получаем:

-(l-a)Y/N + bLR =-^. (5-46)

Подставив в (5-46) отношение сопряженных переменных X и |Х, получим:

—-^—(1-а)Г/Ж + 64 =Л (5-47) (l-a)7/Ly i

bLY + bLR = ——. (5-48)

Поскольку темпы прироста сопряженных X и |Х равны, а из (5-42) следует, что темп прироста сопряженной переменной X со знаком минус равен предельному продукту физического капитала, можно заменить последний в уравнении (5-44):

SoP, = ^(bLr+bLx -Р) = ^(bL-p). (5.49)

Очевидно, что полученная величина оптимальна с точки зрения общества больше, чем ранее выведенное выражение для равновесного устойчивого экономического роста.

Различие заключается, во-первых, в отсутствии в выражении отдачи коэффициента а, поскольку общество учитывает не только объем монопольной прибыли, но и весь объем выпуска. Во-вторых, учитывается отдача всего труда, а не только того, который определяет монопольную прибыль. Уровень финансирования научно-технического сектора выше уровня определения отдачи всего общества, и соответственно экономический рост должен быть выше при оптимизации с точки зрения всего общества в целом. Это означает, что данная возможность существует только теоретически, т.е. рост может быть выше, чем существующий равновесный, но не предполагает конкретного экономического механизма реализации оптимизационной деятельности социального планера. Здесь можно лишь установить, что социальный планер (в лице государства) может поддерживать научно-исследовательский сектор, повышая его отдачу и способствуя тем самым экономическому росту, приближая его к оптимальному.

5.2.6

Распространение технологий и конвергенция

Рассмотренная модель эндогенных технологических изменений Пола Ромера [Romer, 1990] с расширением разнообразия производственного продукта имеет широкие возможности для включения дополнительных эффектов и процессов и служит основой для объяснения разнообразных явлений экономического роста. Одним из таких расширений модели является модель распространения технологий Барро и Сала-и-Мартина [Barro, Sala-i-Martin, 1995], в которой моделируется процесс движения технологий между странами и объясняется имеющее место явление конвергенции, сближения уровней развития и темпов роста разных стран.

Предположим теперь наличие двух стран (обозначим их индексами 1 и 2): первая — это технологический лидер (Leader) и полностью соответствует вышеописанной модели, вторая—технологический последователь (Follower), который имитирует технологии, заимствованные у лидера. Имитация, осуществляемая в научно-исследовательском секторе страны-последователя, позволяет получать и продавать патенты и соответственно приобретать внутреннее монопольное право. Однако издержки имитации, в отличие от инновационных издержек, не постоянны, а зависят от соотношения между объемами уже сымитированных аналогов — N и доступных для имитации аналогов (числом промежуточных продуктов-технологий в стране-лидере) N. Следовательно, имитация возможна при N < N, что предполагает более низкий уровень развития страны последователя (у2<у^). Издержки имитации ниже издержек инновации (или, по крайней мере, равны им), иначе невыгодно заниматься имитацией: v < Т|, где Т| — издержки имитации. Функцию издержек имитации можно записать следующим образом:

v = v

v'>0.

(5-50)

158 N*

Рис. 5.1. Функция издержек имитации

Функцию издержек имитации можно представить как функцию с постоянной эластичностью:

v =

где 0 < ф < 1.

(5-51)

Темп прироста выпуска на душу населения в стране-имитаторе будет выше, чем в стране-лидере:

Sy2 ~ ёУ2 — 8n2 = Sn, ■

В устойчивом состоянии темпы прироста основных переменных страны-последователя равен темпам прироста страны-лидера:

8У2=8У{(5-52)

Таким образом, страна-последователь, при совпадении основных параметров, будет стремиться к такому же темпу прироста и одинаковому уровню развития, т.е. будет иметь место условная конвергенция {conditional convergence).

Страна-последователь имеет также более высокую и снижающуюся процентную ставку, которая будет сближаться с процентной ставкой страны-лидера (модель предполагает отсутствие мобильности капитала):

rx (leader) = = -, (5-53) Ч Л

r2 (follower) = + -, (5-54)

V V ЛЯ Я V

-<-<+ -, (5-55)

X] V V V

rs (leader) < r2 (follower).

Такое поведение процентных ставок согласуется с положением условной конвергенции и эмпирическими данными, свидетельствующими, что развивающиеся страны имеют более высокую и в долгосрочном периоде снижающуюся процентную ставку, в то время как развитые страны — более низкую процентную ставку, колеблющуюся вокруг практически нулевого тренда.