6.2 модель эндогенного экономического роста на основе расширения разнообразия потребительских товаров

6.2 модель эндогенного экономического роста на основе расширения разнообразия потребительских товаров

6.2.1

Базовые положения модели

Одной из важнейших особенностей модели является специфика введенной в модель функции полезности потребителя. Эта специфика и определяет в значительной степени дальнейшие построения и выводы модели. Полезность потребителя зависит от потребления благ, которое измеряется с учетом не только количества потребленных товаров и услуг, но и их разнообразия. Для этого вместо показателя объема потребленных товаров в модель вводится индекс потребления с учетом разнообразия. Ключевой идеей, которая выражается функцией полезности, является то, что потребитель предпочитает разнообразие и расширение товаров, и это увеличивает полезность потребителя. Таким образом, постоянно растущее количество новых товаров будет увеличивать индекс (показатель) потребления и соответственно полезность потребителя.

Данное положение базируется на особенностях потребительского поведения: предпочтениях новизны, выбора, учете индивидуальных особенностей, оригинальности и т.д., которые и приводят к расширению разнообразия —количества наименований благ, сортов и видов товаров и услуг. Даже без рассмотрения вопроса об улучшении качества продукции (проблема улучшения качества продукта в сфере производственной технологии рассматривается в модели Агиона — Хауитта) положительное и значимое влияние разнообразия товаров и услуг представляется бесспорным. Безусловно, полезность потребителя увеличивается при наличии возможности чередовать в потреблении не три сорта колбасы или сыра, а 50 или 100, менять марки автомобилей, модели причесок, одежды и т.д. и т.п. Это явление получило название «вкуса к разнообразию» или «склонности к разнообразию» (taste for variety).

Репрезентативный потребитель имеет межвременную функцию полезности с постоянной эластичностью замещения а, которая зависит от показателя потребления с учетом разнообразия для набора N большого числа каждодневно доступных товаров (мгновенной функции полезности, также с постоянной эластичностью замещения):

+°°

e-p'U(v,)dt, (6-1) о

—

U(v) = у", (6-2)

G-1

у

У 7>1, (6-3)

где р — субъективная дисконтная ставка межвременных предпочтений потребителя; х — потребление товаров; v — индекс потребления с учетом разнообразия; у— параметр эластичности замещения товаров в потреблении; / — количество товаров, возрастает со временем от 0 до Л7; Л7— набор товаров, доступный в момент времени t.

В данном случае зависимость индекса потребления от количества товаров рассматривается как непрерывное множество товаров. Это допущение вытекает из предположения, что количество товаров достаточно велико (что вполне отвечает реалиям современного рынка потребительских товаров и услуг, номенклатура которых исчисляется миллионами), и каждое отдельное наименование продукта может рассматриваться как бесконечно малая величина. Однако вполне реально и исследование модели с индексом потребления с дискретной величиной количества товаров. Существенных изменений это не вносит. Индекс потребления для этого случая может быть введен как:

С =

I

(6-4)

І(СЇ)'

с = ^а, (6-5)

1=0

е = 1. (6-6) Проблема потребителя может быть рассмотрена в двух ракурсах: статической максимизации полезности при выборе оптимального для максимизации мгновенной полезности набора благ / из доступного в данный момент набора N и задача динамической максимизации полезности при выборе оптимальной траектории движения объема активов для максимизации полезности во времени. Рассмотрим обе задачи, поскольку каждая из них имеет значение для анализа модели.

Бюджетное ограничение потребителя на какой-либо момент времени предполагает равновесие его расходов на приобретение номинальных активов и расходов на текущее потребление товаров и услуг с доходами от номинальных активов при номинальной процентной ставке и доходами от трудовой деятельности:

B = RtB,-jpt (i)xt {i)di + W,L, (6-7)

0

где Bt — номинальные активы репрезентативного потребителя; Rt — номинальная процентная ставка; pfj) — цена единицы продукции; W — номинальная ставка заработной платы; L — объем труда (постоянный).

Для задачи статической максимизации переменные будут фиксированы во времени, и для данного номинального дохода Z мгновенное бюджетное ограничение будет следующим:

ЛГ,

j p(i)x(i)di<Z. (6-8)

о

Максимизируем функцию мгновенной полезности относительно данного бюджетного ограничения:

1с! у di

Max v. =

у

, у>1. (6-9)

В результате решения методом Лагранжа получаем:

1

х(і) у =Хр(і),

(6-10)

где X — множитель Лагранжа.

Полученное условие оптимизации полезности потребителя можно преобразовать в функцию спроса на г'-й товар:

х(і) = р(і)~

1-І

л

X

) -і

(6-11)

Параметр у, отражающий эластичность замещения товаров в потреблении, приобретает новое значение: показывает ценовую эластичность спроса на г'-й товар.

Для дальнейшего анализа введем упрощающее положение о симметрии модели относительно всех товаров и цен:

p(i) = p,VI, (6-12) х(г') = х, V/. (6-13) При этом предположении мы можем подсчитать

7 1=1

I х, (г) у di

у Y-1

(6-14)

v, =

Nx

Y-l JL

-■Ny~lx.

(6-15)

Введем в полученное выражение величину A = Ny 1 и получим следующее выражение:

v, =ANx. (6-16)

Из этого выражения очевидно, что vVx — произведение количества благ на объем потребления каждого — представляет общий объем физического потребления или суммарный спрос на потребительские блага. Величина А может рассматриваться как качество корзины потребительских благ и отражать потребительскую оценку «удовлетворенности разнообразием».

Бюджетное ограничение при условии симметрии:

Npx = Z. (6-17)

Проведя максимизацию полезности при условии симметрии получим:

AN=XNp. (6-18)

Отсюда можем получить выражение для понимания смысла множителя Лагранжа как относительной цены:

Х=А/р. (6-19)

Таким образом, множитель Лагранжа показывает прирост качества корзины потребительских благ по отношению к приросту одной денежной единицы затрат потребителя. Это положение согласуется и с условием максимизации без симметрии: чувствительности оптимальной полезности к изменению номинального бюджета.

Обратной множителю Лагранжа величиной будет индекс цен единицы качества корзины потребительских благ. Получить его можно, разделив затраты на корзину потребительских благ на полезность корзины. Таким образом получаем цену единицы полезности:

Pv=pNJANx=plA. (6-20)

Полученный индекс цены качества корзины потребительских благ имеет значение для определения реальной процентной ставки. Очевидно, что экономические агенты при предоставлении кредита будут учитывать изменения цен именно по отношению к качеству потребляемых благ. Если параллельно с ростом цен будет расти и степень потребительского насыщения, это будет «скрадывать» в их глазах номинальное изменение цены на единицу блага. В уравнении Фишера будет фигурировать прирост именно индекса цен:

r = R-^= R-2+ —. (6-21)

Pv Р А

Подставим теперь в симметричную функцию полезности х, выраженное из бюджетного ограничения:

max

о O-l

B = R,Bl-^v,+WlL 4

В0 — задано.

(6-23) (6-24)

Pi

Н(В„ vni„t) = є'" — v~y° + ц,

(7—1

Функция Гамильтона (present-value Hamiltonian) для этой задачи следующая:

R,B,-^vl + W,L

4

(

(6-25)

Условия максимизации первого порядка:

4

р<_2_А

(6-26)

11,=*,. (6-27) Продифференцировав первое условие по времени и подставив во второе, получаем:

p + ^-^ + ^ = Rr (6-28) ov, 4 р,

Подставив выражение реальной ставки процента и преобразовав его, получаем условие динамической оптимизации, аналогичное условию при решении задачи Рамсея:

^ = о(г,-р). (6-29) v,

Следует обратить внимание, что в данном решении задачи Рамсея фигурирует не объем потребления, а индекс потребления с учетом разнообразия (v).

6.2.2

Исследовательский сектор в модели

В определении производственной функции исследовательского сектора Гроссман и Хелпман следует предположениям Пола Ромера и вводят так называемый эффект переливания, внешний эффект от сделанных открытий и знаний, которые свободно «растекаются» по экономике (данный эффект рассматривался в модели обучения опытом). Эти открытия фирмы используют с нулевыми издержками, которые незамедлительно сказываются на используемой ими технологии. Исследовательский сектор разрабатывает новые виды потребительских товаров, которые затем будут изготовлены в секторе конечной продукции.

Производственная функция исследовательского сектора в модели выглядит следующим образом:

N,=b2N,L2n (6-30)

где Ь2 — параметр производительности в исследовательском секторе; Nt — увеличивающееся количество имеющихся видов товаров; L2t — объем труда в исследовательском секторе.

Соответственно Lu означает объем труда, примененного в секторе конечной продукции. Общий объем имеющегося в экономике труда предполагается постоянным:

L = LU + L2i = const. (6-31)

Труд рассматривается как единственный переменный производственный фактор исследовательского сектора.

Количество уже разработанных видов товаров Nt оказывает положительный внешний эффект на производительность исследовательского сектора.

Подразумевается, что предыдущие научно-исследовательские разработки влияют на текущие исследования. Совокупность имеющихся товаров /^идентична запасу знаний о разработке потребительских благ, которые могут использовать все участники производства в данном секторе. На конкретную инновацию (изделие, усовершенствование, модель и т.д.) может быть получен патент, и использование инновации будет ограничено. Идею инновации могут применять для создания нового блага, не совсем идентичного аналогу. Патентное законодательство достаточно конкретно и не ограничивает использования идей, замыслов и подходов к конструированию и разработке.

6.2.3

Рыночная цена патента

Патент представляет собой разрешение на временное использование монопольных прав на нововведение (новые продукт, технику, производственный процесс и т.д.; в Англии максимальный срок действия патента — 20 лет, во Франции — 30 лет, в США — 17 лет). Патент рассматривается как актив, капитал, а в качестве его цены выступает полученный на него доход.

Прибыль фирмы в исследовательском секторе определяется как доход от продажи нововведений (патентов) за вычетом издержек единственного фактора — труда: nRt =qNwL2 = qbNL2 -wL2= (qbN-w)L2, (6-32)

где q — цена патента; w — ставка заработной платы.

Поскольку производственная функция имеет постоянную отдачу от труда, а исследовательский сектор предполагается конкурентным, условием равновесия будет равенство прибыли нулю. В правой части уравнения (6-32) выражение в скобках, следовательно, равно нулю. Отсюда цена патента:

w

q = m' ^

т.е. цена патента равна отношению ставки заработной платы к предельному продукту труда производственной функции исследовательского сектора.

6.2.4

Сектор конечной продукции

В модели предполагается фиксированный объем физического капитала при отсутствии его постоянного поколения. Изменение объема капитала можно рассматривать экзогенно и, поскольку издержки капитала здесь безвозвратны, они не влияют на принятие решения о максимизации прибыли.

Производственная функция сектора конечной продукции может быть записана как функция единственного фактора в секторе — труда:

Y = C = xN = blLl, (6-34)

где Ъх — технологический параметр сектора производства конечной продукции, константа.

Физический выпуск продукции равен произведению параметра производительности в секторе конечной продукции (куда включен физический капитал) на объем труда в данном секторе.

Прибыль фирмы, производящей конечный продукт /-го типа, равна разнице между выручкой и издержками:

Я(,>

/КО-

W

c(i).

(6-35)

Поскольку данная фирма выступает монополистом, следует принять во внимание эластичность спроса:

х({) = р(і)У Z, (6-36)

где у— эластичность спроса по цене.

Если у= °°, все товары замещаемы, чем ниже эластичность спроса по цене, тем большей монопольной силой обладает фирма.

(6-37)

р(і) = — х-.

у-1 Ъх

Прибыль типичной фирмы в секторе производства конечной продукции выражается следующим образом:

(6-38)

ҐЛ 1 w

Т1(г) = -х — х.

У-1 К

Цена патента как дисконтированная сумма потока монопольной прибыли (для простоты предположим бесконечный срок действия патента) равна:

q, = ] eR(s~']nsds.

(6-39)

Таким образом, цена патента равна актуализированной сумме монопольной ренты.

Продифференцируем полученное выражение по времени:

q,=-nl+ReR{'-,ds =

(6-40)

= -nt + RJ,

nsds = -тс, + Rq.

Отсюда получаем выражение для нормы доходности патента — единственного актива в модели, доходность которого определяет и процентную ставку в экономике:

R=^+iL. (6-41) Я, Я,

Правая часть уравнения (6-41) представляет общую отдачу от владения патентом. Номинальная процентная ставка выражается как арбитражное соотношение, которое устанавливает ее равенство отдаче владения единственного актива в модели — патента.

6.2.5

Решение модели

Выше мы получили соотношения, которые могут быть использованы для решения модели.

Производственная функция сектора конечной продукции:

Y = C = xN = biLv (6-42) Производственная функция научно-исследовательского сектора:

Nt=b2N,L2r (6-43)

Объем труда в экономике:

L=L]t + Llt = const. (6-44)

Реальная процентная ставка:

r = R-+ ~A(6-45) Р А

Номинальная процентная ставка:

tf = 7^ + ^. (6-46) Я, Я,

Цена патента:

*-w (6-47)

Монопольная цена:

У w у-1 Ъх

Монопольная прибыль:

1 w

п = -х-х. (6-49)

у-1 6,

Индекс потребления с учетом разнообразия (полезность потребителя), который преобразуется с учетом уравнений (6-42) и (6-44):

v, = ANx = Abx (L L2). (6-50)

Преобразуем уравнение (6-45) — подставим в него уравнение (6-46), затем — очевидное из уравнений (6-47) и (6-48) соотношение темпов прироста цены, номинальной заработной платы, стоимости патента и инноваций:

= = + — , (6-51)

а также уравнения (6-47) и (6-49), далее в уравнении появится L{ из уравнения (6-42), которое можно заменить, из ограничения (6-44), на L-L2:

UNA b2 Nx N A b2 (T T Л N A (tL .„

r = + —= —^-x + — = —^-{L-L) + —. (6-52)

q N A 7-і b, N A y-V ' N A

Раскрыв скобки и подставив b2L2 из уравнения (6-43), заметим, что из определения А следует соотношение темпов прироста

N . ,,А

N = {J-1)-A> ^

следовательно, реальную процентную ставку можно выразить через темп прироста величины А и константы:

r = -^3-L-(Y-l)-. Y-l А

(6-54)

Индекс потребления с учетом разнообразия, уравнение (6-53), также можно выразить через переменную А, ее темпов прироста и константы:

v,=Abl(L-L2) = Abl

L-J—x —

(6-55)

Модель можно свести к системе уравнений (6-54), (6-55) и уравнению, полученному из решения задачи Рамсея:

L-(y-l)у-1

= а(г-р)

г Y-1 АЛ

L—х —

(6-56) (6-57) (6-58)

Из уравнения (6-58) очевидно, что в долгосрочном периоде темп прироста потребления с учетом разнообразия равен темпу прогресса разработки новых благ (с точки зрения воздействия на полезность потребителя):

Отсюда и из приведенной системы уравнений можно легко получить формулу равновесного темпа прироста экономики:

g =а

_L^_(Y_l)g-_p Y-l

(6-60)

или, преобразуя:

(и Л а ——L-p

8=Лт-< л ■ (6'61)

1 + а(у-1)

Итак, получен постоянный темп долгосрочного эндогенного роста.

Темп прироста полезности положительно зависит от о~ эластичности замещения функции полезности: чем больше полезности разных периодов замещаемы во времени, тем больше воздействие эффекта разнообразия — больше воздействие количества благ на полезность.

От эластичности замещения товаров в потреблении — параметра у— зависимость отрицательная, поскольку чем менее замещаемы товары друг другом, тем больше полезность появления нового продукта. Становится очевидной и необходимость первоначально введенного условия у > 1, в соответствии с которым товары являются субститутами. Увеличение количества комплементов не увеличивает полезность, а создает лишь дополнительные проблемы при приобретении товара.

Отрицательна зависимость и от поведенческого параметра р — субъективной дисконтной ставки межвременных предпочтений потребителя, более того, положительный рост возможен только при определенных ее максимальных значениях — не более величины первого члена в скобках числителя (6-61). Высокое значение субъективной дисконтной ставки делает предпочтительным нынешнее потребление перед будущим, поэтому при выборе между сегодняшним «количеством» и завтрашним «разнообразием» предпочтительнее первое. Для поддержания стабильного уровня «количества» может оказаться оптимальным и снижение темпа прироста до отрицательных значений. В целом зависимость от субъективной дисконтной ставки показывает эндогенность роста в модели.

В данной модели, так же как и в других моделях эндогенного роста (обучения опытом, инноваций в сфере производства инновационных товаров и т.д.), возникает эффект размера населения и экономики. Здесь этот эффект объясняется просто: при устойчивом экономическом росте труд распределяется в постоянной пропорции между отраслями, поэтому чем больше совокупный объем труда, тем больше и объем труда в научно-исследовательском секторе и, следовательно, тем больше производство инноваций.

Положительная зависимость от коэффициента производительности в научно-исследовательском секторе не требует дополнительных объяснений.

Очевидно, что темп роста физического потребления при оптимизации уровня полезности нулевой, т.е. весь прирост полезности потребителей достигается здесь за счет прироста разнообразия, без увеличения физического объема потребления — в «штуках» единиц товаров. Следует напомнить, что в данной модели мы отказались от накопления физического капитала. Однако данный результат сам по себе весьма полезен и знаменателен: возможно оптимальное постоянное увеличение полезности без увеличения объема материальных благ. В эпоху нематериального производства это положение приобретает несомненную очевидность: вполне реальным выглядит удовлетворение потребности любителя компьютерных игр за счет увеличения их разнообразия, без увеличения количества приобретаемых компакт-дисков в штуках.

6.2.6

Равновесный конкурентный рост и оптимальный рост в модели

Оптимальным с точки зрения всего общества может считаться рост при условии выбора неким надэкономическим авторитетом, так называемым доброжелательным социальным планером, распределения ресурсов и траекторий развития в интересах максимизации полезности всех членов общества, в данном случае репрезентативного потребителя. Применительно к данной задаче проблема заключается в выборе распределения труда (І, и L2) между секторами производства — сектором конечной продукции и научно-исследовательским сектором, выборе траектории запаса знаний 7V и уровня индекса потребления v для максимизации целевой функции полезности. Формально рассматриваемая проблема выглядит следующим образом:

max

je-p'u(v)dt

N = b2NL2

v = Ny-]blLl L-L,-L2>0.

(6-62)

(6-63)

(6-64) (6-65)

Выберем соответствующие сопряженные переменные Г), А. И (І. Условия первого порядка решения данной задачи максимизации будут следующие (для удобства используем модель Хамильтона):

°=А.,

а-1

і

r2N = i,

(6-66)

(6-67) (6-68)

7-1

и г і h N г

+X'y~[X~U~Ll =Т1Р_Т1(6"69)

Из (6-67) и (6-68) получим уравнение сопряженной переменной Т):

4 = ^

b2N

(6-70)

Подставив в данное уравнение значение сопряженной переменной А, из (6-66), а затем прологарифмировав и продифференцировав его по времени, получаем: 1І v 2-У N

= + Lx—. (6-71)

Г] gv у-1 N

Теперь разделим (6-69) на Г] и подставим в него полученные уравнения:

Ь^Щ^-ЦЛ. (6-72) у-1 gv у-1 N

N , Т

Теперь, вспомнив, что ~ = b2L2 из производственной функции

научно-исследовательского сектора, а 1Л=Ь-Ь1, подставим оба эти выражения в (6-72):

N b2L 1 N v 2-у TV"

— + — х— = р + '-х-. (6-73)

N у-1 у-1 N gv у-1 TV v '

Преобразуем уравнение:

62L 2-у N v 2-у W

Lx — = р + Lx—. (6-74)

у-1 у-1 N gv у-1 N

После сокращения получаем выражение устойчивого темпа прироста, оптимального роста:

ёоР, == о

v

(6-75)

В данном случае мы также получили выражение устойчивого эндогенного роста. Поскольку в уравнении равновесного роста знаменатель (который и отличает два полученных выражений) больше единицы, оптимальный рост всегда будет выше равновесного конкурентного.

Социальная процентная ставка, отдача активов с точки зрения благополучия всех членов общества будет выше на величину (у -1) g*, которую вычитают из нормы доходности в первом случае, при конкурентном росте.

Сопоставление темпов прироста и норм отдачи иллюстрирует рис. 6.1.

Как видно из рис. 6.1, социальная отдача и оптимальный темп роста во всех случаях будут выше. Поскольку прямая частной отдачи имеет отрицательный наклон, совпасть они могут только при нулевом темпе прироста.

Анализ уравнения (6-60) делает очевидной причину различий в темпах роста. Вычитаемое в выражении частной отдачи является отличием двух норм отдачи и может быть преобразовано:

(Y-l)g=(Y-l)^ = -| = UA=^. (6-76)

Другими словами, частный инвестор вычитает из нормы отдачи норму затрат (издержки) в научно-исследовательском секторе. С позиций общества в целом доход работников научно-исследовательского сектора является также отдачей. Поэтому если при распределении факторов максимизируется и этот доход, финансирование исследовательского сектора увеличивается, что в итоге приводит к более высокому темпу роста.