6.2. диверсифицированный портфель
6.2. диверсифицированный портфель
В экономике часто встречаются ситуации, когда субъект (физическое лицо или фирма) должен выбрать одну из альтернатив. Существует экономическая теория, которая занимается изучением процесса выбора, используя так называемую функцию полезности. Функция полезности описывает правило, по которому каждому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полезность» данного варианта выбора. Говоря проще, в теории портфеля функция полезности выражает предпочтения субъекта при пределенных отношенях к риску и представлениях об ожидаемых доходностях.
 |
Чем выше лежит кривая, тем больше полезность, поскольку по вертикали отложены доходности. Таким образом, из трех кривых на рис. 6.1 кривая «з имеет наибольшую полезность, а щ — наименьшую.
Все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора.
При формировании портфеля следует различать рисковые и безрисковые активы.
Рисковые активы — это активы, доходность которых в будущем неопределенна. Предположим, что инвестор покупает акции компании и планирует держать их один год. В момент покупки он не знает, какой доход получит в конце срока. Это зависит от стоимости акции через год и дивидендов, которые компания выплачивает в течение года. Поэтому эти акции, так же как и акции других компаний, — это рисковые активы. Даже ценные бумаги, выпускаемые правительством США, являются рисковыми. Допустим, например, что инвестор купил правительственные облигации со сроком погашения 30 лет. Он не знает, какой доход получит, если продержит их всего один год. Дело в том, что на стоимость облигаций в течение года влияет изменение процентной ставки.
Тем не менее активы, будущая доходность которых известна в момент погашения, существуют. Такие активы называются безрисковыми активами.
Как правило, это краткосрочные правительственные облигации. Допустим, инвестор покупает казначейские векселя США сроком погашения один год и планирует держать их до погашения. В таком случае относительно доходности этих бумаг нет никакой неопределенности. Инвестор знает, что в день их погашения правительство выплатит определенную сумму (номинал), погашающую долг. Обратите внимание на то, как отличается эта ситуация от предыдущей, хотя и в первом, и во втором случае ценные бумаги являются государственными.
Принимая решение о приобретении портфеля, инвестор должен обращать внимание на ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля.
Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, умноженных на соответствующую вероятность их получения:
п
Е(г) = РіГі+Р2г2+...+ РпГп=^РіГі. (6.2.1)
(=і
Предположим, что ожидаемая доходность акций А —гА = 10\%, а акций В — гв 15\%. Если весь капитал вложить в акции А, то ожидаемая доходность портфеля г и гА = 10\%. Если инвестировать капитал только в акции В, то ожидаемая доходность инвестиции составит: гп гв = 15\%. При инвестировании капитала в акции равными долями ожидаемая доходность портфеля будет равна средневзвешенной из доходности акций: гп = 0,5 • 10\% + 0,5 • 15\% = 12,5\%. По истечении года фактические значения доходности акций А и В, а следовательно, и портфеля в целом, возможно, будут не совпадать с их ожидаемыми зна^ чениями.
Рискованность одного актива измеряется дисперсией или средним квадратическим отклонением доходов по этому активу, а риск портфеля—дисперсией или средним квадратическим отклонением доходов портфеля.
Если для создания портфеля ценных бумаг инвестировать деньги в какой-то один вид финансовых активов, то инвестор оказывается зависимым от колебания его курсовой стоимости. Поэтому следует вкладывать капитал в акции нескольких компаний, хотя понятно, что эффективность также будет зависеть от курсовых колебаний, но уже не каждого курса, а усредненного, который, как правило, колеблется меньше, поскольку при повышении курса одной из ценных бумаг курс другой может понизиться, и колебания могут взаимно погаситься.
Такой портфель ценных бумаг, содержащий самые разнообразные типы ценных бумаг, называется диверсифицированным портфелем. Хотя подобный портфель значительно снижает дивер-сификационные (несистематические) риски, но полностью устранить инвестиционный риск нельзя, так как при вложении капиталов присутствуют еще и недиверсифицированные или систематические риски, присущие конкретной экономической системе в целом или отдельному рынку и не поддающиеся диверсификации. Систематический риск обусловлен общим состоянием экономики, который связан с такими факторами, как: война, инфляция, глобальные изменения налогообложения, изменение денежной политики и т.п., и связан с изменениями цен на акции, их доходностью, текущим и ожидаемым процентом по облигациям, ожидаемыми размерами дивиденда, вызванными общерыночными колебаниями.
Однако чтобы измерить риск портфеля, нам нужно не только знать вариацию доходов отдельных ценных бумаг, но и степень, с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Нам необходимо знать ковариацию или же корреляцию доходов каждой пары активов в портфеле.
Риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рассматривается как ковариация актива с самим собой.
Дисперсия или вариация случайной величины служит мерой разброса ее значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая степень отклонения возможных конкретных значений от средней или ожидаемой доходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью.
Формула для определения вариации доходности /-го актива, записывается следующим образом:
п
и2 = van/,) = £Рт[гт тЕ(г()]2. (6 2 2.)
m=l
Вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям. Это обстоятельство и позволило Марковицу считать дисперсию доходности мерой риска инвестиций.
Однако, можно привести два довода против использования вариации в качестве меры риска. Первый — вариация учитывает отклонение в обе стороны по отношению к среднему значению. Действительно, реализованная доходность может быть как выше, так и ниже среднего значения, при этом первый случай также вносит вклад в величину вариации и, следовательно, риска. Инвестор же не расценивает превышение реальной доходности над ожидаемой как неприятный результат. Напротив, он только приветствует такой исход дела. Поэтому многие исследователи считают, что при измерении риска не должны рассматриваться случаи, когда возможная доходность выше ожидаемой.
Маркович понимал этот недостаток вариации и предлагал меру риска, которая учитывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению. Эту меру называют полувариацией. Полувариация рассчитывается как обычная вариация кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. Однако сложности вычисления, связанные с использованием полувариации, привели к тому, что в своих работах Маркович был вынужден ограничиться обычной вариацией.
В настоящее время при измерении риска снижения стоимости ценной бумаги финансисты-практики пользуются обоими понятиями.
Второй довод, относящийся к недостаткам вариации как меры риска, состоит в том, что она нечувствительна к асимметричности распределения отклонений от среднего значения. В случае несимметричных распределений приходится пользоваться другими характеристиками типа коэффициента асимметрии и т.п. Маркович не рассматривал подобные характеристики в своей теории. Использование вариации можно оправдать, основываясь на эмпирических исследованиях, подтверждающих относительную симметричность статистических распределений доходностей акций. Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рассматривает только ожидаемую доходность и вариацию, теория портфеля в формулировке Марковича получила название двухпара-метрической модели.
При вычислении стандартного отклонения портфеля пользуются понятием ковариачии. Ковариачия — это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ченных бумаг і и j, зависят друг от друга. Положительное значение ковариаций показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариаций, показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.
В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из п ценных бумаг, требует двойного суммирования п ценных бумаг, для чего необходимо сложить и2 членов:
Уг
(6.2.3)
ной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый нижний, как это показано на рис. 6.2 (б). В данном случае можно сказать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противоположно друг другу. То есть когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.
1=1 у=1
 |
где ед обозначает ковариацию ценных бумаг і и /
Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними умноженной на произведение их стандартных отклонений:
°щ = Рц?і°і> (6.2.4)
где ру обозначает коэффициент корреляции между доходностью на ценную бумагу і и доходностью на ценную бумагу j. Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.
Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 — полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.
Рисунок 6.2 (а) представляет собой точечную диаграмму до-ходностей гипотетических ценных бумаг А и В, когда корреляция между двумя этими ценными бумагами, полностью положительна. Заметим, что все точки лежат на прямой наклонной линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Соответственно, когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно низкую доходность, тогда и другая имеет относительно низкую доходность.
Однако корреляция между доходностями двух различных ценных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаграмма показывает, что точки лежат именно на прямой наклона) Полная б) Полная в) Некоррелированные
положительная отрицательная доходности
корреляция между корреляция между
доходностями доходностями
Доходность бумаги А
'ш Доходность 'бумаги А
Доходность бумаги А
Рис. 6.2. Доходность двух ценных бумаг
Доходность бумаги В Доходность бумаги В Доходность бумаги В
стоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положительную корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии наивной диверсификации.
Способ диверсификации Марковица и важность корреляции активов можно проанализировать на примере портфеля из трех активов. Для этого мы сначала покажем общую взаимосвязь ожи; даемого риска портфеля из трех активов и корреляции их доходностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с различными корреляциями на риск всего портфеля.
Портфель составлен из трех видов ценных активов А, В, С. Веса, с которыми каждый актив представлен в портфеле, равны Va = 50\% = 0,5, Vb = 30\% = 0,3 и Vc = 20\% = 0,2.
Доходы по каждому из активов представлены в табл. 6.1.
 |
^=S^2+2ES^cov<v, (6.2.7)
i=i i=i j>
где п — объем выборочной статистики по годам, к — число активов.
Для нахождения связи между доходами каждой ценной бумаги определяем ковариацию (корреляцию) каждой пары активов по формуле [69]
]Г(*-*)(у-у)
(6.2.5)
п-1
■J
и ковариацию актива с самим собой
и-1
Y(x-x)(x~x)
(6.2.6)
и~1
Для вычисленной ковариационной матрицы найдем, что о-р = 0,429 и ср = 0,65 = 65\%. Отсюда видно, что риск портфеля лишь несколько ниже риска отдельных активов и средневзвешенного риска отдельных активов равного, ар = (оа + + сь + сс): 3 = 0,88 = 88\%.
Составим новый портфель активов, заменив актив А на актив D, оставив его долю прежней, т.е. VdVa = 50\% = 0,5, а доходность актива D представлена в табл. 6.1. Составляем новую ковариацию доходов
К Vb Vc
Va 0,36 -0,46 0,005 Vb -0,46 0,65 -0,13 Vc 0,005 -0,13 0,54
Риск портфеля рассчитанный по формуле (6.2.7), равен Ор = 0,132 = 13,2\%. Риск этого портфеля в пять раз меньше, чем предыдущего. Это объясняется снижением коррелированности активов D и С и наличием отрицательной ковариации активов D и В. Стоимость портфеля даже несколько повысилась, так как средний доход по активам D равен 12\%, а по активам А — 11\%.
Подобная операция служит базой для хеджирования, когда отрицательная корреляция достигается продажей позиции по ин
струменту (актив А), который имеет высокую степень положительной корреляции и приобретением другого актива D.
Анализ значений риска рассмотренных портфелей показывает, что риск портфеля меньше, чем средняя взвешенная рисков отдельных ценных бумаг и среднее квадратическое отклонение портфеля падает, когда снижается степень корреляции пар активов. Общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Эффективная диверсификация достигается не просто добавлением активов к портфелю, а добавлением таких активов, доходы которых имеют самые низкие корреляции, а лучше и отрицательные, с активами, присутствующими в портфеле.
Рассмотрим выражение (6.2.7).
Представим, что имеется очень большое количество активов, доступных для инвестиций, скажем индекс из 100 или 500 акций. Допустим также, что все доходы по активам независимы. Выражение (6.2.7) сократится до следующего:
N
rf^Vfaf(6.2.8) (=1
Этот пример наглядно показывает эффект диверсификации Марковица. Данное явление иногда называют «чудом диверсификации». Стратегия диверсификации Марковица предполагает, что с увеличением корреляции (ковариации) доходностей активов, составляющих единый портфель, возрастает вариация (а следовательно, и стандартное отклонение) доходности этого портфеля. «Чудо» проявляется при отрицательной корреляции ожидаемых доходностей активов. Прекрасно то, что инвестор может снизить риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность при помощи сочетания активов с низкой (желательно отрицательной) корреляцией. Плохо лишь то, что активов с малой и отрицательной корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача превращается в поиск среди многочисленных активов таких, портфель из которых имел бы минимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы наибольшую доходность.
Так как предполагается, что доходы по активам независимы, ковариации равняются нулю. Теперь предположим, что равные
її
"5-Е
о = —
суммы инвестированы в каждый из и активов, тогда веса каждого станут равными 1/л, и дисперсия портфеля примет вид:
ґ і л
i=l
(6.2.9)
;=1
Выражение в прямоугольных скобках является средней дисперсией активов в портфеле. В то время как число активов (и) в портфеле становится больше, 1п уменьшается, и дисперсия портфеля снижается, приближаясь в пределе к нулю.
Однако в действительности не все доходы по активам независимы, особенно, когда мы рассматриваем активы, принадлежащие к одному классу, например, акции и облигации. У большинства активов будет присутствовать некоторый уровень ковариации. Отсюда на практике равенство (6.2.9) превращается в следующее:
(6.2.10)
" ґ і 2
COVy
(=1 V / i=l J>1 V
(6.2.11)
Это можно представить так:
COV.-.
(п-1)
п{п — 1)
п
2ЕЕ
(=1 j>
(6.2.12)
Первый член равенства представляет собой среднюю дисперсию, уже встречавшуюся выше в выражении (6.2.9), а второй — это тоже средняя, т.е. сумма ковариации, деленная на число ковариации п{п — 1). Выражение (6.2.11), таким образом, может быть упрощено до
1-2 П-1
— а і + covy
п п
Эта формула помогает объяснить, что происходит с риском портфеля, когда в него включено большое количество активов. Когда число активов в портфеле увеличивается, 1п уменьшается, и, таким образом, его произведение на среднюю дисперсию приближается к нулю. Однако (и -, 1)/и стремится к единице при увеличении п, отсюда второе слагаемое правой части выражения (6.2.12) приближается к средней ковариации. Следовательно, когда портфель диверсифицирован включением большого числа активов, дисперсия портфеля приближается ^средней ковариации отдельных активов.
Значит, общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Таким образом, общий риск состоит из двух частей: а) тот риск, который может быть исключен диверсификацией (несистематический риск, также известный как случайный или остаточный риск) и б) тот элемент риска, который не может быть исключен с помощью диверсификации (систематический риск, также известный как рыночный риск).
В заключении рассмотрим пример составления ковариационной матрицы.
Пусть рынок может находиться в одном их трех состояний: I, II и III. Известны вероятности этих состояний и доходности трех активов в процентах.
| Состояние | Вероятность | Доходность г первого актива | Доходность гг второго актива | Доходность гз третьего актива |
| I | 0,3 | 30 | 40 | -10 |
| II | 0,5 | 20 | 10 | 10 |
| III | 0,2 | 10 | -30 | 20 |
Находим математические ожидания доходности каждого из активов по формуле (6.2.1)
М(п) = 30 • 0,3 + 20 • 0,5 + 10 • 0,2 = 21, М(г2) = 40 • 0,3 + 10 • 0,5 + (-30) 0,2 =11, М(г3) = (-10) • 0,3 + 10 • 0,5 + 20 • 0,2 = 6.
Находим коэффициенты Щ ковариационной матрицы #п = cov(n, п) = ofyi) =
=(30 21)2 • 0,3 + (20 21)2 • 0,5 + (10 21)2 • 0,2 = 49;
Кп = #21 = covin, r2) = (30 21)(40 11) 0,3 +
+ (20 21) (10 11) 0,5 + (10 21Х-30 11) • 0,2 = 169;
#13 = #зі = covin, г3) = (30 21Х-10 6) • 0,3 +
+ (20 21) (10 6) • 0,5 + (10 21)(20 6) ■ 0,2 = -76;
Кп = cov(r2, гг) = o2(r2) = (40 II)2 ■ 0,5 + (10 II)2 • 0,5 + + (-30 -П)20,2 = 757,2;
#23 = #32 = cov(r2, гз) = (40 11Х-Ю 6) ■ 0,3 +
+ (10 11) (10 6) • 0,5 + (-30 11X20 6) • 0,2 = -256;
#зз = cov(r3, гз) = о^гз) =
= (_ю б)2 • 0,3 + (10 б)2 • 0,5 + (20 б)2 • 0,2 = 124. Эти результаты сведем в ковариационную матрицу
#
( 49 169 -764 169 757,2 256 -76 256 124
Стандартные отклонения по каждому из активов равны: o(h ) = х/49 = 17; 0(72) = V757,2 = 27,52; о(гъ) = Vl24 = 11,14. Определяем коэффициенты корреляции
Pll =Р22 =РЗЗ =1*
соу(г!,г2) _ 169 _поо, р12 = p2I = cor(r,,гг) = al[r&alj2) 7^52 -°'88'
соу(г,,г3) _ -7,6 _ псг7. р13 = р31 = corih,h) = а(гіуфг) -^ТЩ--°'97>
cov(r2,r3) -256
■ = -0,84.
Р23 -Рз2-cofy'rA-.otr2)ote) 27,52-11,14
Коэффициенты корреляции записываем в виде корреляционной матрицы
( 1 0,88 -0,97^1 0,88 1 -0,84 -0,97 -0,84 1
Обсуждение Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций
Комментарии, рецензии и отзывы