Множественная и частная корреляции

Множественная и частная корреляции

В настоящее время при построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности. Эти условия обеспечивают линейный характер связи между изучаемыми признаками, что делает правомерным использование в качестве показателей тесноты связи парного, частного коэффициентов корреляции и коэффициента множественной корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют связи двух признаков из совокупности признаков при условии, что все связи этих признаков с другими признаками элиминированы, т.е. закреплены на условно-постоянном (среднем) уровне.

Понятие частного коэффициента корреляции

характеризует тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значении остальных факторов

ВАЖНО!

Если парный коэффициент корреляции между двумя случайными величинами оказался больше частного коэффициента между теми же случайными величинами, то это говорит о том. что третья фиксированная величина усиливает взаимосвязь между изучаемыми величинами, т.е. более высокое значение парного коэффициента обусловлено присутствием третьей величины. Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующими частными свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действием фиксируемой величины

Частный коэффициент корреляции, например г { )ч характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами у и х] при исключенном влиянии третьей величины хг, включенной в модель. Он определяется по формуле

г — г г

_ уц уч м-ч

то же — зависимость у от х, при исключении ВЛИЯНИЯ Х{.

г г г

_ У*2 У-* хх2

,ч""^('-<я)('-^)'

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

г — г г

_ -4*2 Ух Ух2

Частный коэффициент корреляции изменяется в пределах от —I до +1. Если частный коэффициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин

Если есть матрица парных коэффициентов корреляции R, то переход к матрице частных коэффициентов корреляции осуществляется на основании последовательного расчета коэффициентов частной корреляции и замены ими в матрице R коэффициентов парной корреляции с использованием формулы

-А:,

где г — коэффициент частной корреляции между і-м и у'-м признаками;

Аг — алгебраическое дополнение к элементу г.. матрицы парных коэффициентов корреляции; Аи,А— алгебраические дополнения к элементам матрицы парных коэффициентов корреляции л. и г соответственно. Знак частному коэффициенту корреляции присваивается по знаку соответствующего коэффициента регрессии в модели связи у = Axj).

Частные коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. С этой целью используется /-критерий Стьюдента, который определяется по формуле

n-k -1

/ = Г і 'расч Л і 2

V 1 г

Значение /-критерия сравнивают с табличным /п;, где а — заданный уровень значимости; у = (п — к — 1) — число степеней свободы.

Если выполняется неравенство /расч > г , то значение коэффициента корреляции признается значимым, т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство пулю коэффициента корреляции, отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации.

L ВАЖНО!

Частный коэффициент детерминации показывает долю вариации признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора

В случае двухфакторной линейной модели коэффициент множественной корреляции определяется по следующей формуле.

Формула определения коэффициента множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции

Л,,

К'ч + Ь

— 2г г г

ВАЖНО!

Коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак

Когда известна матрица парных коэффициентов корреляции R, коэффициент множественной корреляции получают, решив матричное уравнение вида

R R"

где R — определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; R: — определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, в которой вычеркнуты строка и столбец, характеризующие связи независимых переменных х с зависимой переменной у.

Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции можно использовать ґ-критсрий, который определяется по формуле:

R2

F =

R2

при к и п — к: — 1 степенях свободы.

к-

ВАЖНО!

Наиболее достоверные результаты в корреляционном анализе можно получить, когда число объектов наблюдения (п) превышает число анализируемых признаков (т) в 6—8 раз