Метод инструментальных переменных

Метод инструментальных переменных

Для оценивания параметров моделей авторегрессии применяют различные методы.

Рассмотрим метод инструментальных переменных, который позволяет устранить нарушение предпосылки МНК об отсутствии связи между факторным признаком и случайной величиной.

Суть метода инструментальных переменных

Лаговую переменную у1_1 заменяют на новую переменную, которая, с одной стороны, не коррелирует со случайной величиной є,, с другой — тесно связана с переменной

Параметры измененной исходной модели регрессии (появилась новая — инструментальная переменная) оценивают с помощью МНК

Приведем пример. В модели авторегрессии yt = с + bx yt_, + + а0х1 + є, результативный признак у зависит от факторного признака хґ Следовательно, >>м будет зависеть и от х г Иначе говоря, имеет место регрессия

У,-і = ci + fli *м + П,, или у^ = у; + г),, где п( — случайная составляющая.

Инструментальной переменной является у"г Измененная исходная модель авторегрессии имеет вид:

у, = с + Ьх ( у' + л,) + а0 х. + є,,

или

У, = с + Ь{у' + Ь]ц1 + a,pct + є, = = с + bf у; + flox( + (й,р, + є,).

Оценки параметров Ь[ и а0 измененной модели авторегрессии находим с помощью МНК. Эти же оценки будут искомыми для исходной модели авторегрессии.

Метод инструментальных переменных часто приводит к появлению мультиколлинеарности факторов в модели. Эту проблему разрешают в определенных случаях с помощью включения в модель с инструментальной переменной фактора времени

Модели адаптивных ожиданий

учитывают желаемое значение факторного признака в период (г + 1)

Моделью адаптивных ожиданий является, например, уравнение

у, = с + а0-х'^ +е„

причем — ожидаемое в следующий период значение факторного признака, которое формируется в виде среднего арифметического взвешенного реального и ожидаемого значений этого признака в текущем периоде, т.е. ~х1+1 = Ъс, + (1 )х,. Это равенство определяет механизм формирования ожиданий.

л',+| = Хх, + (1 Л,)*,,

Механизм юрмиртанн ожиданий

=1

где 0 < X < I. Чем ближе А, к

тем быстрее ожидаемое

шим реальным значениям. Чем ближе X к 0, тем меньше ожидаемое значение отличается от ожидаемого значения предыдущего периода х]

Почему нельзя применять

МИК для оценки параметров

модели адаптивных ожиданий?

Ожидаемые значения факторного признака, включенные в модель, нельзя получить эмпирическим способом

Покажем, как можно преобразовать модель адаптивных ожиданий

У, = с + о0х*+, +е„ (1)

чтобы оценка параметров стала возможной.

7 Эконометрика в схемах и іаблицах

у, = с + \% [Хх, + (1 Х)х*) + У, с + а0Хх, + о0(1 Х)х* + є,. (2)

Исходная модель (1) справедлива и для периода (t 1):

>>,_, = с + а0х, + £,_,. (3)

Умножив равенство (3) на величину 1 А., получим равенство:

(1 X)yr_i = (1 Х)с + (1 X)a0xt + (1 а.)є,_,. (4)

Вычитаем почленно из равенства (2) равенство (4) и получаем модель авторегрессии, параметры которой вычисляем известными методами:

у, (1 X)y,_i = Хс + Xauxt + [є, (1 *.)£,_,],

или

у, = Хс + Ха0х, + (1 X)yt_l + [е, (1 А.)ем]. (5)

Исходная модель адаптивных ожиданий (1) — это долгосрочная функция модели адаптивных ожиданий: результативный признак зависит от ожидаемых значений факторного признака.

Преобразованная модель адаптивных ожиданий (5) — это краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий: результативный признак зависит от фактических значений факторного признака.