2.6.5. связь между различными оценками систем одновременных уравнений

2.6.5. связь между различными оценками систем одновременных уравнений

Пусть интерес представляет оценивание отдельного уравнения (single equation) структурной формы системы. Тогда:

если оно идентифицируемо без запаса (точно), то достаточно применить косвенный метод наименьших квадратов ILS;

если оно сверхидентифицируемо, то можно применить 2SLS, LIML, 3SLS, FIML.

Для применимости 3SLS и FIML необходимо знать структуру всех уравнений системы и убедиться в идентифицируемости всех этих уравнений. Для применимости 2SLS и LIML достаточно знать только структуру рассматриваемого уравнения и список (и значения) всех предопределенных переменных, включенных в систему. В 2SLS и LIML ошибка спецификации одного структурного уравнения системы локализуется в пределах этого уравнения; в 3SLS и FIML такая ошибка влияет на оценку всех уравнений.

Предположим теперь, что выполнены указанные ранее условия состоятельности оценок. Тогда:

если i -е структурное уравнение идентифицируемо точно, то оценки 2SLS, LIML и ILS совпадают; если же оно сверхидентифицируемо, то тогда оценки 2SLS и LIML имеют одинаковое асимптотическое распределение, но оценка LIML предпочтительнее при малом количестве наблюдений;

если i -е структурное уравнение идентифицируемо, то 2SLS дает состоятельные оценки параметров и Гп^ )---N(0,C2);

если все структурные уравнения идентифицируемы, то 3SLS дает состоятельные оценки параметров и

4П(SfSLS -S )--— N(0, C3), причем матрица C2 -C3 неотрицательно определена (положительно полуопределена), так что 3SLS приводит к более эффективным оценкам;

• если Е = Ig и все структурные уравнения идентифицируемы

„ S3SLS &2SLS .

точно, то i = i ;

оценки FIML и 3SLS имеют одинаковое асимптотическое распределение; при конечных п предпочтительнее FIML.

З а м е ч а н и е 8

Если в i -м структурном уравнении системы Г Г = X В + U ошибки автокоррелированы, то для учета этой автокоррелированности можно использовать комбинацию 2SLS и GLS, не прибегая к 3SLS. Пусть, например, ошибки в i -м уравнении следуют процессу авторегрессии первого порядка,

uti = put—1,i +*7t, И<1. Тогда естественно применить к i -му уравнению авторегрессионное преобразование (Кохрейна-Оркатта). Состоятельную оценку для р можно получить, оценивая обычным методом наименьших квадратов (OLS) уравнение

"IV „ "IV , „,

ut, =put—1,i + vt,

где остатки, полученные в результате применения к i -му уравнению метода инструментальных переменных. При этом для повышения эффективности оценивания к используемым в качестве инструментов в 2SLS переменным xt =(xt xtK) можно добавить

yt—1 = (yt—1,1, K , yt—1,g ) и xt —1 = (xt—1,1, K, xt—1,K ) •