2.6.7. примеры оценивания систем одновременных уравнений.
2.6.7. примеры оценивания систем одновременных уравнений.
где
P розничная цена свежих фруктов, выраженная в постоянных ценах с использованием индекса розничных цен,
Q потребление свежих фруктов на душу населения,
DPI располагаемый доход на душу населения, дефлированный на индекс потребительских цен (CPI),
Weather климатическая характеристика, отражающая размер потенциальных потерь урожая из-за неблагоприятных погодных условий,
Invest дефлированный на CPI объем на душу населения чистых инвестиций производителей свежих фруктов, отражающий
издержки производства.
Первое уравнение является уравнением спроса, а второе -уравнением предложения.
Всего имеется 30 наблюдений; все переменные выражены в индексной форме с одним и тем же базовым периодом.
| Price (P) | Quantity (Q) | DPI | Weather | Invest | |
| 1 | 108.9 | 127.4 | 97.6 | 99.1 | 142.9 |
| 2 | 100.6 | 105.1 | 98.2 | 98.9 | 123.8 |
| 3 | 109.7 | 76.7 | 99.8 | 110.8 | 111.9 |
| 4 | 111.6 | 93.8 | 100.5 | 108.2 | 121.4 |
| 5 | 109.8 | 88.3 | 96.6 | 108.7 | 92.9 |
| 6 | 104.4 | 78.4 | 88.9 | 100.6 | 97.6 |
| 7 | 89.6 | 89.6 | 84.6 | 70.9 | 64.3 |
| 8 | 117.2 | 75.3 | 96.4 | 110.5 | 78.6 |
| 9 | 109.3 | 109.1 | 104.4 | 92.5 | 109.5 |
| 10 | 114.9 | 121.3 | 110.7 | 89.3 | 128.6 |
| 11 | 112.0 | 106.3 | 99.1 | 90.3 | 95.8 |
| 12 | 112.9 | 129.1 | 105.6 | 95.2 | 130.9 |
| 13 | 121.0 | 118.6 | 116.8 | 98.6 | 125.7 |
| 14 | 112.8 | 94.3 | 105.3 | 105.7 | 109.8 |
| 15 | 102.9 | 81.0 | 85.6 | 107.8 | 88.4 |
| 16 | 86.0 | 104.9 | 84.8 | 80.4 | 96.9 |
| 17 | 95.7 | 94.6 | 89.8 | 90.7 | 90.8 |
| 18 | 104.9 | 102.9 | 93.2 | 88.9 | 101.7 |
| 19 | 114.0 | 110.6 | 105.9 | 96.9 | 110.8 |
| 20 | 121.9 | 111.7 | 110.8 | 101.9 | 117.9 |
| 21 | 127.2 | 117.6 | 115.3 | 104.9 | 134.8 |
| 22 | 128.3 | 125.1 | 120.6 | 103.6 | 140.2 |
| 23 | 125.0 | 87.4 | 105.7 | 106.2 | 78.3 |
| 24 | 117.1 | 84.6 | 103.5 | 100.8 | 94.7 |
| 25 | 122.7 | 107.8 | 110.6 | 110.5 | 135.9 |
| 26 | 111.6 | 120.7 | 109.3 | 86.7 | 126.8 |
| 27 | 114.1 | 102.8 | 99.5 | 93.8 | 90.5 |
| 28 | 110.4 | 99.2 | 105.9 | 99.9 | 134.8 |
| 29 | 109.2 | 107.1 | 102.7 | 104 | 123.8 |
| 30 | 108.9 | 127.4 | 97.6 | 99.1 | 142.9 |
Переходя к обозначениям, использованным ранее при рассмотрении систем одновременных уравнений, запишем систему в виде:
где
yt1 = а11 yt 2 + #11xt1 + #21xt 2 + ut1, yt2 = a12yt1 + #12xt1 + #22xt3 + #32xt4 + ut2 , yt1 = Pt, yt 2 = Qt, xt1 = 1, xt 2 =
x=
(Weather )t,
(Invest)t . Список
x=
эндогенных
переменных: (yt1, yt2). Список
экзогенных переменных: (1, xt2, xt3, xt4 ). Полный список переменных, включенных в систему: (yt1, yt2,1, xt2, xt3, xt4). Соответственно, g = 2, K = 4,
Г
f
1
-a.
#11
#21
0 0
a12
1
#12 0
#22
#32 J
На элементы первого столбца матрицы A помимо нормировочного накладывается два исключающих ограничения a51 = 0, a61 = 0, так
что для этого столбца g* = 0, K* = 2, и g* + K* > g — 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется. На элементы второго столбца помимо нормировочного накладывается одно исключающее ограничение a42 = 0 , так что для этого столбца
g 2= 0, K2 = 1, и g 2 + K2 = g — 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.
Для проверки выполнения ранговых условий идентифицируемости воспользуемся Замечанием 3 из разд. 2.5. В
| i | yt1 | yt 2 | 1 | xt 2 | xt 3 | xt 4 |
| 1 | 1 | #11 | #21 | 0 | 0 | |
| 2 | a12 | 1 | #12 | 0 | #22 | #32 |
При рассмотрении первого уравнения выделяемая матрица сводится к одной строке с двумя элементами: (в22 в32). Ранг этой матрицы равен 1, что совпадает со значением g — 1 = 1, так что первое уравнение идентифицируемо. При рассмотрении второго уравнения выделяемая матрица сводится к одному элементу: (в21). Ранг этой матрицы равен также равен 1, так что и второе уравнение идентифицируемо. Разница только в том, что для первого уравнения g* + K* > g — 1, а для второго g + K2, = g — 1, т.е. первое уравнение сверхидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно. Соответственно, для оценивания второго уравнения можно использовать косвенный метод наименьших квадратов, а для оценивания первого уравнения этот метод не годится.
Чтобы применить косвенный метод наименьших квадратов, сначала раздельно оценим методом наименьших квадратов уравнения приведенной формы
yt1 = П11 + n21Xt 2 + n31Xt 3 + n41Xt 4 + Wt1, yt2 = П12 + П22Xt 2 + П32Xt3 + П42Xt4 + Wt2 .
Это дает следующие результаты (в пакете EVIEWS):
Используем теперь соотношение ПГ = В , которое в нашем примере принимает вид
| /(-12 | А | #12 ) | |||||
| к21 | к22 | ( | 1 | — a ^ 12 | 0 | ||
| к31 | к32 | V | 1 J | 0 | #22 | ||
| Vk41 | к42 J | v 0 | #32 j |
и приводит к уравнениям:
К11 —П12а11 =#l1, К12 —К11а12 = #l2,
П"21 П 22^0.1 — #21 , П 22 П 210^12 — 0 ,
п31 п32а11 = ^ к32 —К31а12 = #22 ,
к41 к42011 0 , к42 к41а12 #32 '
Поскольку точно идентифицируемо только второе структурное уравнение системы, интерес для применения косвенного метода наименьших квадратов представляют только коэффициенты этого уравнения а2, #12, #22 и #32. Это означает, что из восьми приведенных уравнений достаточно рассмотреть только четыре уравнения, стоящие в правом столбце. Решая эти уравнения, находим:
а 2 = к22 / к21 ,
#12 = П11 — П12 (7Г22І П21 #22 =П31 — П32 (п22І П21 )> #32 = П41 — П42 (П2^ П21 )•
Подставляя в правые части оцененные значения коэффициентов nki,
находим оценки для коэффициентов второго структурного
уравнения. Например,
а12 = П22/П21 = 0.581396/L030854 = 0.5639945. В отношении трех
остальных коэффициентов получаем:
#12 = 88.78386, #22 = -1.128017, #32 = 0.561206.
З а м е ч а н и е
В таблицах результатов применения косвенного метода наименьших квадратов обычно не приводятся значения стандартных ошибок коэффициентов, поскольку из-за нелинейности соотношений между коэффициентами структурной и приведенной форм вычисление стандартных ошибок оценок коэффициентов при конечных n затруднительно. В то же время при применении двухшагового метода наименьших квадратов для вычисления этих ошибок имеются соответствующие формулы. Поэтому мы могли бы вычислить искомые стандартные ошибки оценок коэффициентов первого уравнения рассматриваемой системы, используя 2SLS и имея в виду, что в случае точно идентифицируемого уравнения результаты оценивания его коэффициентов методами ILS и 2SLS совпадают. Проблема, однако, в том, что (см., например, [Sawa (1969)]) в этой ситуации у 2SLS оценки не существует конечных выборочных моментов. Соответственно, по сравнению с нормальным распределением, оценки более часто далеко отклоняются от истинных значений параметров, и это затрудняет интерпретацию полученных результатов.
Имея в виду сделанное замечание, применим все же двухшаговый метод наименьших квадратов для оценивания обоих
структурных уравнений. Результаты применения этого метода таковы:
Оценки всех коэффициентов кроме постоянной составляющей в первом уравнении имеют высокую статистическую значимость. Отрицательное значение оценки коэффициента при переменной yt2 в первом уравнении согласуется с тем, что первое уравнение является уравнением спроса. Положительное значение оценки при переменной yt1 во втором уравнении согласуется с тем, что второе уравнение является уравнением предложения. Также соответствуют априорным предположениям знаки оцененных коэффициентов при переменных xt2, x,3 и xt4 (увеличение спроса при возрастании дохода, уменьшение предложения при усилении неблагоприятных погодных факторов и увеличение предложения при возрастании инвестиций).
Вместе с тем, если обратиться к оцениванию корреляционной матрицы ошибок в структурных уравнениях, то оцененная на
"2SLS ry o2SLS
основании векторов остатков ui = yi — Zioi ковариационная матрица имеет вид:
(20.638675 16.439387Л 16.439387 36.328821, ' Ей соответствует оцененная корреляционная матрица
' 1 0.600370^
ч0.600370 1 , ,
указывающая на наличие заметной корреляции между ошибками в разных уравнениях. Это означает, что потенциально имеется возможность повысить эффективность оценивания, учитывая такую коррелированность и применяя трехшаговый метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия с полной информацией.
При применении 3SLS получаем: System: FRU
Estimation Method: Iterative Three-Stage Least Squares
Convergence achieved after: 2 weight matricies, 3 total coef iterations
| Coefficient | Std. Error | t-Statistic |
Обсуждение Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)Комментарии, рецензии и отзывы 2.6.7. примеры оценивания систем одновременных уравнений.: Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы), Носко Владимир Петрович, 2005 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В книге рассматриваются методы статистического анализа регрессионных моделей с ограниченной (цензурированной) зависимой переменной, систем одновременных уравнений, панельных данных, а также структурных форм векторных авторегрессий ...
|