3.2. фиксированные эффекты

3.2. фиксированные эффекты

Начиная с этого раздела, мы обращаемся к методам анализа панельных данных, предназначенным в основном для анализа данных yu, xit; i = N, t = 1,...,T}, в которых количество субъектов исследования N велико, а количество наблюдений T над каждым субъектом мало. Вследствие малости T в таких ситуациях затруднительно использовать технику, интерпретирующую y1t,y2tyNt как N временных рядов длины T (например,

технику векторных авторегрессий и моделей коррекции ошибок для нестационарных временных рядов). Основная направленность методов, предполагающих малость T , получение по возможности наиболее эффективных оценок коэффициентов.

Сначала мы сфокусируем внимание на модели, соответствующей гипотезе H1 со скалярной объясняющей переменной x:

ya = а + pxu + ua, i = N, t = T.

т.е.

N

Уit = Yjad j +вХit + U t :

где dj = 1, если і = j и dj = 0 в противном случае, так что мы имеем здесь в правой части N дамми-переменных. Здесь а

трактуются как неизвестные фиксированные параметры (фиксированные эффекты, fixed effects). Как и ранее, будем предполагать , что в этой модели

utt~ i.i.d. N(0,al), i = N, t = 1,k,T , и что

E(xituJs) = 0 для любых і, j = 1,...,N, t,s = 1,...,T ,

так что x является экзогенной переменной. Альтернативные названия этой модели:

OLS дамми модель (LSDV least squares dummy variables);

модель с фиксированными эффектами (FE fixed effects model);

модель ковариационного анализа (CV covariance analys s).

В этой модели оценка наименьших квадратов, как мы уже отмечали выше, имеет вид:

e = i=1 t=1 .

PCV = NT ;

N T

t=1

N T

i=1 t=1

при этом

i=1 t=1

Альтернативные названия для этой оценки

"внутригрупповая" оценка ("внутри"-оценка, within-estimator),

оценка фиксированных эффектов,

ковариационная оценка.

Часто для этой оценки используют также обозначения pW (индекс

W от within) и fiFE. Как мы уже отмечали выше, эта оценка теоретически имеет одно и то же значение при двух альтернативных методах ее получения: в рамках статистической модели

N

yit = ^iaidij + fixtt + uu с дамми-переменными и в рамках модели в

отклонениях от групповых средних yjt y =p(xtt xi )+(uit U), i = 1,...,N, t = 1,...,T . Однако если количество субъектов анализа N велико, то в первой модели приходится обращать матрицу весьма большого размера (N+1), тогда как во второй модели такой проблемы не возникает.

Оценки для фиксированных эффектов вычисляются по формуле:

аг = уг -вxi, i = N. При сделанных предположениях f3CV является наилучшей линейной несмещенной оценкой (BLUE) для коэффициента в ,

но

p lim ai Ф ai, хотя E(ai )=ai.

Таким образом, J3CV является состоятельной оценкой и когда N — °° и когда T — °°, в то время как ® состоятельна только, когда Т— °°. Последнее есть следствие того, что оценивание каждого с производится фактически лишь по Т наблюдениям, так что при фиксированном Т с ростом N происходит лишь увеличение количества параметров а{, но это не приводит к возрастанию точности оценивания каждого конкретного с .

Заметим, что если нас интересует только состоятельность оценки PCV , но не ее эффективность (т.е. свойство BLUE), то для этого не требуется строгая экзогенность x (т.е. не требуется , чтобы E(xit2js) = 0 для любых i,у = N, t,s = 1,...,Т). В этом случае

достаточно выполнения соотношений E(xjt2js ) = 0 для любых t,s = Т и i = N (т.е. требуется лишь экзогенность x в рамках каждого отдельного субъекта исследования).

В модели с фиксированными эффектами получаемые выводы -условные по отношению к значениям эффектов с в выборке. Такая интерпретация наиболее подходит для случаев, когда субъектами исследования являются страны, крупные компании или предприятия, т.е. каждый субъект "имеет свое лицо".

Сами эффекты с по-существу отражают наличие у субъектов исследования некоторых индивидуальных характеристик, не изменяющихся со временем в процессе наблюдений, которые трудно или даже невозможно наблюдать или измерить. Если значения таких характеристик не наблюдаются, то эти характеристики невозможно непосредственно включить в правые части уравнений регрессии в качестве объясняющих переменных. Но тогда мы имеем дело с "пропущенными переменными" с ситуацией, которая может приводить к смещению оценок наименьших квадратов. Чтобы исключить такое смещение, в правые части уравнений вместо значений ненаблюдаемых индивидуальных характеристик как раз и вводятся ненаблюдаемые эффекты ai. Проиллюстрируем возникновение указанного смещения следующим примером.

П р и м е р

На следующем графике представлено облако рассеяния точек (xit, yit), порожденных моделью

ул =a +exa + utt, i = 1,2, t = 1,...,100,

в которой a= 150, a2 = 250, Д = 0.6, uu~ i.i.d. n(0,102). Значения

xit заданы (неслучайны); при i =1 значения x1t меньше 150, а при

50^ 1 1 1 1 1

0 50 100 150 200 250

X

Облако точек распадается на две группы точек: в группе 1 объединяются точки, соответствующие i = 1, а в группе 2 точки, соответствующие i = 2. Точки первой группы располагаются вдоль (теоретической) прямой у = 150 + 0.6 x (нижняя пунктирная линия на графике), точки второй группы вдоль (теоретической) прямой y = 250 + 0.6x .

Если по имеющимся 100 наблюдениям оценивать статистическую модель

yu =a+pxu + uu, i = 1,2, t = 1,к,100,

(пул), не принимающую во внимание возможное наличие индивидуальных эффектов, то оцененная модель принимает вид

у и = 8.00 + 1.88 xlt, так что оценка коэффициента Д оказывается завышенной втрое по сравнению со значением, использованным при моделировании.

В то же время, если перейти от переменных xjt, уи к отклонениям от средних значений в группах xjt — xi и уи — уі, то для новых переменных облако рассеяния концентрируется вокруг начала координат (на следующем графике соответствующие точки изображены черными квадратами) и вытянуто в правильном направлении:

450п

300н

250

Оцененная модель в отклонениях от средних в группах имеет вид: У it = 0.517 xit,

и на этот раз оценка коэффициента Д оказывается близкой к значению Д = 0.6 , использованному при моделировании. Если оценивать модель с дамми-переменными

У rt =a1di1 +a2 di 2 +Pxrt + urt ,

где dj = 1, если j = i, и dj = 0 в противном случае, то результаты оценивания таковы:

значениям параметров, использованным при моделировании.