3.3. случайные эффекты

3.3. случайные эффекты

Запишем модель

yt =a+Pxu + u,t, г = І*--^ t = l"^ T , соответствующую гипотезе H1 , в равносильном виде:

yit =M + ai +ex,t + u,t,

N

где 2] a = 0 (при таком условии ai называют

i=1

дифференциальными эффектами). В ряде ситуаций N субъектов, для которых имеются статистические данные, рассматриваются как случайная выборка из некоторой более широкой совокупности (популяции), и исследователя интересуют не конкретные субъекты, попавшие в выборку, а обезличенные субъекты, имеющие заданные характеристики. Соответственно, в таких ситуациях предполагается, что a являются случайными величинами, и мы говорим тогда о модели

у и =M + a+ex и + uu как о модели со случайными эффектами (random effects). В такой модели a уже не интерпретируются как значения некоторых фиксированных параметров и не подлежат оцениванию. Вместо этого оцениваются параметры распределения случайных величин

a.

Обозначая vit = a + uit, получаем другую запись такой модели:

уи =M + ex,t + (щ + uit ) = М + Д xit + у* . В такой форме модели ошибка vjt состоит из двух компонент a и ujt. Как и в модели с фиксированными эффектами, случайные эффекты ai также отражают наличие у субъектов исследования

некоторых индивидуальных характеристик, не изменяющихся со временем в процессе наблюдений, которые трудно или даже невозможно наблюдать или измерить. Однако теперь значения этих характеристик встраиваются в состав случайной ошибки, как это делается в классической модели регрессии, в которой наличие случайных ошибок интерпретируется как недостаточность включенных в модель объясняющих переменных для полного объяснения изменений объясняемой переменной. К прежним предположениям о том , что uit~ i.i.d.N(0,a2), i = 1,...,N, t = 1,...,T, и E(xjtuJs) = 0 для любых i, j = 1,...,N, t,s = 1,...,T ,

(это означает, что последовательность значений a1,k,aN

представляет случайную выборку из распределения N (о, стЦ2)),

Е(хиа}) = 0,i, j = N, t = T ,

(так что E(xuVjS) = 0, и в модели со случайными ошибками vu

переменная х является экзогенной переменной). Если предположить еще, что

Е(ииаг)=00,

то тогда условная относительно хй дисперсия случайной величины уй равна

D(yuxlt) = D(vitxit) = D(vit) = D(a, + uit ) = a2a + a2. Таким образом, дисперсия yit складывается из двух некоррелированных компонент; их называют компонентами дисперсии, а саму модель называют

моделью компонент дисперсии;

однофакторной моделью компонент дисперсии;

стандартной моделью со случайными эффектами (RE модель random effects model).

В векторной форме эта модель имеет вид yi = [exi ]S+vt,

где

Заметим, что

ы ы °a + если t = s,

I aa, если t Ф s,

ковариационная матрица

так что случайные величины vit и vs коррелированы даже если некоррелированы ошибки u it, случайного вектора vt имеет вид

V = E(v,vJ It +ОІ eeT . Например, при T = 3

V

*u + *a *a

*a *u + *a

2 2

і ^-2

При этом

2

Corr{vu ,vls ) = 2 a—r = p для всех t Ф s

(предположение равной коррелированности в модели компонент дисперсии).

Оценивание

В RE-модели оценка

N T

^H(xit xi )yit yi)

PCV = NT

i =1t =1

остается несмещенной и состоятельной оценкой для р . Однако она

перестает быть эффективной оценкой (BLUE), как это было в модели с фиксированными эффектами, поскольку не учитывает коррелированность vjt во времени для субъекта i.

Мы можем ожидать, что обобщенная оценка наименьших квадратов (GLS-оценка), учитывающая такую коррелированность,

будет более эффективной. Заметим, что GLS-оценка для 8 имеет

вид

V-1 =

1

N T

л §§(x't -x Wit -у )

= i=1 t =1

N T

i =1t =1

где

1 NT 1 NT

Г = NT § § y;' r = NT § § 4.

Это выражение можно представить в виде где

T

§ ((i x її, У)

Дь = 1 1 "межгрупповая" оценка (между 

i =1

оценка, between-group estimate), соответствующая регрессии средних значений у на константу и средние значения xi, т.е.

yi =Ju + exi +v~i

("модель для групповых средних"), и игнорирующая внутригрупповую изменчивость,

N

i =1

w =—— .

§§(xit -X)) + 4>§ft -x))

i=1t=1 i=1 Таким образом, обобщенная оценка наименьших квадратов eGLS в RE-модели учитывает и внутригрупповую и межгрупповую изменчивость. Она является взвешенным средним "межгрупповой" оценки Дь (учитывающей только межгрупповую изменчивость) и

"внутригрупповой" оценки pCV (учитывающей только внутригрупповую изменчивость), а w измеряет вес, придаваемый межгрупповой изменчивости. При сделанных предположениях обе

оценки /Зь и /3CV состоятельны, так что состоятельна и сама J3GLS . Если T — оо, то Ч — 0, w — 0 и

Pgls — Pcv ,

так что при больших T оценки для в, получаемые в рамках моделей фиксированных и случайных эффектов, эквивалентны.

Если о2а — 0, то Ч — 1 и V = e(vivt )=alIt + 02аeeT —>оIt . Соответственно, при этом GLS-оценка переходит в OLS-оценку, т.е.

N T

^^{хи -xЇУи -y)

1^GLS — N T = в

i=1 t=1

(в пределе нет никаких эффектов). Заметим далее, что

d(Pgls ) = —

°1

i=1 t=1 i =1

В то же время

П(всу )= aU

N T

ZZfexi)2

i=1 t=1

Поскольку Ч > 0, то из двух последних соотношений следует, что

d(0gls )< d(0cv ), т.е. GLS-оценка эффективнее. Она эффективнее оценки pCV именно потому, что использует как информацию о внутригрупповой изменчивости, так и информацию о межгрупповой изменчивости.

Чтобы реализовать эту GLS, т.е. получить доступную GLS-оценку (FGLS feasible GLS, или EGLS estimated GLS), надо подставить в выражения для *Р (и в) подходящие оценки для сг2 и

<*1 + Тої

Оценить о2и можно, используя внутригрупповые остатки

ІУи Уі )-Pcv(xit xi )>

полученные при оценивании модели, скорректированной на индивидуальные средние:

О2 = j=u=^

N(X і)1

(в знаменателе число степеней свободы равно количеству наблюдений NT минус количество оцениваемых параметров N +1).

Оценить дисперсию Оа случайных эффектов оа = D(ai) можно, заметив, что при оценивании модели yi = f + в xt + vi, приводящей к межгрупповой оценке

Т

Z (xix )yiy)

вb =

_ i =1

b

Z (xix )2

i =1

дисперсия

остатка для i -й группы равна

D{yl -ft ь в)=ои2/ T + a2a

Состоятельной оценкой для о21Т + О2а является

N I- " V

N — 2

i =1

Поэтому состоятельной оценкой для о2а служит

а N — 2

N

а2 + Tol = T —

N—2

является состоятельной оценкой для а"2 + To2a. Эти две оценки используют межгрупповые остатки. Они являются также оценками максимального правдоподобия соответствующих дисперсий.

Следует только отметить, что, особенно при небольших значениях N и T , значение вычисленной указанным образом оценки дисперсии о2а может оказаться отрицательным.

З а м е ч а н и е

Внутригруповую и GLS-оценки можно получить в пакете STATA, используя команду xtreg (с опциями fe или re).

Как мы уже отмечали выше, J3GLS можно представить в виде

Pols = wPb + (1 — w)Pcv , так что j3GLS является линейной комбинацией "внутри" и "между" оценок. Эта линейная комбинация оптимальна. Поэтому, например, оценка fiOLS, также являющаяся линейной комбинацией этих

двух оценок (при У = 1), хотя и состоятельна, но менее эффективна.

Критерий Бройша-Пагана для индивидуальных эффектов.

Это критерий для проверки в рамках RE-модели (со стандартными предположениями) гипотезы

H0.a1a = 0 (сведение к модели пула). Идея критерия основана на тождестве

N ( T Л2 NT N

i =1 =1

i =1 s*t

из которого следует , что

2

ZIZ'

i

ZZusuit

i =1

i =1 s&

ZZu2 ZZu2

i =1 =1 i =1 =1

При отсутствии автокоррелированности случайных ошибок ий правая часть последнего равенства мала. Поэтому статистику критерия можно основывать на выражении, стоящем в левой части, в которое вместо ненаблюдаемых значений ий подставляются

остатки uit, полученные при OLS-оценивании модели пула. Против гипотезы H0 говорят "слишком большие" значения

Г

N ( T

i =1 { t=1

N T

Y

— 1

2

EE" I

i =1 =1

Статистика критерия Бройша-Пагана

при гипотезе h0 имеет асимптотическое распределение X ()• Соответственно, гипотеза H0 отвергается, если наблюдаемое значение статистики BP превышает критическое значение, рассчитанное по распределению X ()•