3.10.2. модель хаусмана-тейлора
3.10.2. модель хаусмана-тейлора
Рассмотрим модель
Уи = Xfi + Zyy+a + uu, i = N, t = 1,T, где Xjt — строка k наблюдаемых переменных, изменяющихся и от субъекта к субъекту и во времени, а Z{ — строка g наблюдаемых
переменных, инвариантных относительно времени на периоде наблюдений. Предполагается, что выполнены обычные предположения RE-модели (в частности, что все объясняющие переменные экзогенны в обычном смысле), за исключением того, что теперь ненаблюдаемые индивидуальные эффекты ai могут быть коррелироваными с одними объясняющими переменными и некоррелироваными с другими объясняющими переменными.
Хаусман и Тейлор предложили в таком случае производить разбиение:
Xit = X1it X2it L Zi = iZ1i Z2i L
где k1 переменных, входящих в состав X1it , и g1 переменных, входящих в состав Z1i, экзогенны по отношению к a в том смысле, что
E(Xa ) = E(Zua ) = 0, а k2 переменных, входящих в состав X2it , и g2 переменных, входящих в состав Z2i, эндогенны по отношению к a в том смысле, что
E(X 2ita, )* 0, E(Z 2,a, )* 0. При таком разбиении модель записывается в виде
Уи = X1tA + X2fi2 + Z1iy1 + Z2iy2 +ai + UU ,
и переход к модели, скорректированной на индивидуальные средние,
У tt У t = {Хігt Хц )в1 + {Х2гt Хъ + Uu ,
приводит к возможно неэффективной, но состоятельной оценке
jiCV для в = (вв ,вТОднако при этом опять вместе с a выметаются переменные, инвариантные относительно времени.
Получив оценку ecv = (eTCV, eTCV) для в , вычисляем для каждого субъекта остатки от оцененной "внутри"-регрессии:
d и = Хи У г )-(Хш Хи )j3lcv (Х21 )в2^
и получаем состоятельную оценку для дисперсии случайных ошибок D(ult ) = а2:
£U = RSScv u = NT -(kL + k 2)' Далее, по аналогии с уже делавшимся ранее, замечаем, что
У t XlA Х^в2 = Z1tyL + Z2ty2 + (a + Utt ) .
Только на этот раз в правой части E(Z2 ai)^10, так что OLS-оценки для у и у2, получаемые по этой модели (between-оценки) смещены и несостоятельны. Поэтому здесь для получения состоятельных оценок для у и у2 применяем метод инструментальных переменных (2SLS), используя инструменты [Z1t XLи]. При этом количество экзогенных переменных в XL tt (kL) должно быть не меньше числа эндогенных переменных в Z2 t (g2). Полученные оценки для у и у2 обозначим у IV и y2IV .
Используя теперь все четыре полученные оценки, образуем "остатки"
ett = ytt Х1 ttP^LCV Х2tt/^2,CV Z1tyi,IV Z2ty2,IV
и на их основе определим статистику і n t
S2 =— уу^2,
которая является состоятельной оценкой для суммы а2 + Та2а. Тогда состоятельная оценка для а2а получается как
а а = —.
Следующим шагом является выполнение стандартного GLS-преобразования всех переменных, используемого в RE-модели:
Уи = У а -вУі и т.п. Для реализации этого преобразования в качестве оценки параметра
в берется вв = 1 - , где
у 2
а У2 и полученные выше состоятельные оценки для и а2а. Это приводит к преобразованному уравнению
К этому уравнению применяем метод IV (2SLS), используя инструменты [хы Xu, X2U X2i, Xu, Zu ], и получаем в результате
для вектора 8 = XT, У1 ] инструментальную оценку ХаусманаТейлора 88ht = Х^, fm]] .
З а м е ч а н и я
В процедуре Хаусмана-Тейлора инструменты берутся внутри самой модели.
X1 и используется как инструмент дважды: как среднее и как отклонение от среднего.
Если k1 < g2, то параметр у не идентифицируем. В этом
случае pHT = PCV и у'дт не существует.
4. Если k1 = g2, то fiнт =ficv и ym =ylv =(flIV,yTxw J .
(Случай точной идентифицируемости.)
5. Если k1 > g2, то уравнение сверхидентифицируемо. В этом
случае матрица Cov(fiCV )Cov(fiHT ) положительно определена и оценка Хаусмана-Тейлора более эффективна, чем "внутри"-оценка.
Влияние метода Хаусмана-Тейлора на прикладные исследования относительно мало из-за трудности нахождения экзогенных переменных X1 , которые можно было бы уверенно
рассматривать как не коррелированные с a (так что E(Xwa) = 0 ). 3.11. Динамические модели
Рассмотрим динамическую модель.
yit =yyi,t-1 +ai + uu, i = І---^ t = в которой y< 1, uu~ iid.N(0,0^) — инновации (так что E(uityit-k )= 0 для k > 0). Будем предполагать, что значения yjt наблюдаются для t = 0,1,к,T . "Внутри"-оценка для y имеет вид:
N T
^H(yit -yi tyu-1 -yi,-1)
y = i=1 t=1
ICV n T '
Y.H(yit-1yi,-1)2
i=1 t=1
где
1 t _ 1 T
yi =—Z ytt, yi,-1 = r Zy
T t =1 T t =1
В соответствии с определением модели, 1
t=1
так что
)fu У, = ТІ)'ut-1 Л-1)+ {(lt *)
и
YY(y-1 У , -1 Y/nt
=1t =1
Рассмотрим предел по вероятности числителя дроби в правой части последнего выражения:
1 NT
P NT YY (У U, )(у, ,t-1 У,,-1 ) =
1
NT
=p limT?F YI Y м«У<,t-1u, Y У»,t-1-л -1Yu tt+Tu У
t ,t-1 ,t-1 , -1 t ,-1
N—=° Ml ,=1 у t=1 t =1 t =1 J
1N
= Plim N Y(йУ,-1Y Заметим, что
У ,1 =ТУ,0 +l+ u n,
У,2 = ТУ П + l + Ur2 = Г" У,0 + (Т+ 1)l + YU,1 + Ur2 , Уrt = ТУ,0 + (1 -Y )аі/(1 -Y)+ Y-1 U,1 + + YU,,t-1 + U rt .
Отсюда, в частности, получаем, что при T = 2 указанный предел по вероятности равен
1N
1 N (J2 1 ^ .2 u
P Xim^rT Y ))y+ 1)уі0 +l + U ,1 ))U,1 + U,2 ) =
p lim Y u 2 = Ф 0
n—~ 4 N t1 4
так что оценка уCV несостоятельна. При произвольном Т получаем:
1 NT _ . _ ,
P^ТТ^ЕЕ(и« Ut Юг,t-1 yt,-1 ) =
n-»°° NT t=i t=i
= p 1im77 Z(u tyt,-i )= °l
T -1 Ty+yT
t 2 (1 -y)2
.. 1 ^( У ъ ol [. 1 2 T -1 Ty+yT
NT tL^Vu-1 t,- 1 -y2 [ T * T2(1 -y)2
Отсюда вытекает, что если не только N — °°, но и T — °°, то первый предел по вероятности стремится к нулю, а второй к
P lim }>CV =-°Т * 0,
N—~,T —°о 1 -у
так что p lim yCV = у. Если же значение Т фиксировано, то тогда первый предел не равен нулю и p lim уCV Ф у, так что оценка yC несостоятельна.
Асимптотическое смещение вызывается "внутри"-преобразованием, исключающим индивидуальные эффекты a из каждого наблюдения, что порождает корреляцию между остатками (uи U) в преобразованной модели и "объясняющей переменной"
(ytt-L yt-1). Когда Т велико, эта корреляция близка к нулю. Для малых значений Т смещение отрицательно, если у > 0 . Например, для Т асимптотическое смещение равно (і у)/2 . Следующий график иллюстрирует, как асимптотическое смещение оценки уCV изменяется c ростом Т.
0.8
0.6 4
0.4 0.2
0
-0.2 -0.4 З
"Внутри"-оценка остается несостоятельной при малых T и когда в правую часть уравнения модели добавляются экзогенные объясняющие переменные.
Для преодоления этой проблемы можно воспользоваться другим преобразованием, "выметающим" а{: вместо вычитания средних по
),
u
,t-1
У
У
УгЛ У
времени перейти к первым разностям временных рядов для каждого субъекта. При этом получаем:
i,t-i
i,t-2
i,t-1
)+k
или
Ayi,t = YAyu -i + Aut, где обозначено
Ayi,t = yi,tyi,t-i, Auit = uitui,t-i. Здесь
C°V{Ayi,t-1, Auit )= C°V{yi,t-1 yi,t-2, uit ui,t-1
= -Cov{yu-i, -i 0.
)=
Поэтому OLS-оценка для y в преобразованном
("продифференцированном") уравнении оказывается
— ^i,t-2' ~ "—
Cov(yi,t^ Auit )= Cov(yi,t-2, uit ui,t-1 )= 0 , Cov(yi,t-2, Ayi,t-1 )= ^AAt^ yi,t-1 yi,t-2 )* 0 :
несостоятельной даже если T — °°. Однако к преобразованному уравнению можно применить метод инструментальных переменных (IVinstrumental variables). Для этого достаточно заметить, что если взять переменную yi t-2, то для нее
i,t-2 i,t-1 i,t-2 i,t-1 i,t-2
а это означает, что эта переменная может использоваться в качестве инструмента, и это приводит к оценке
NT
ZZ(yf.tyi,t-1 )yi,t i=1 t=1 IV = NT
ZZ(yi.t-1 yi,t-2 )yi,t-2
i =1t =2
Необходимое условие состоятельности этой оценки:
1 NT
P N (T 1) ZZ(uit ui,t-1 )yi,t-2 = 0
при T — °° или/и N — °°.
В качестве инструмента вместо yi,t-2 можно использовать,
например, разность yi t-2 yi t-3, что приводит к другой оценке
NT
ZZ (yi,tyi,t-1 hi,t-2yi,t-3)
y = i=1 t=1
'IV N T '
ZZ (yi,t-1 yi,t-2 ^i.t2 yi,t-3 )
i =1t =3
для состоятельности которой необходимо, чтобы
1 NT
N -—«>
PN(T 2) ^ ^ ^U ui,t-1 )((^i,t-2 Уі,.-3 ) = 0
Состоятельность обеих оценок гарантируется отсутствием автокоррелированности uit. Заметим теперь, что
1 NT
P т(гг A YY(yt U rt-1 )Y ,t-2 = E hit Ur,t-1 Kt-21 = 0
N—~ N (T 1Y=1 t=2
PгЛ/1 0)YY)ut Urt-1 ))у,t-2 УгЛ-3 Y = N—~ Ny 2Y=1 t=3
= E [(urt Ur,t-1 )(уМ-2 У r,t-3 )]= 0.
Это условия на моменты совместных распределений пар случайных
величин (u,t u,,t-1) , .У,-1-2 и (u,t Ur,t-1 Y , U.t-2 }>i,t-3 ) . Если оба Эти
условия (условия ортогональности) выполняются, то использование сразу двух инструментов приводит к повышению эффективности оценок (используется большее количество информации). Заметим, что можно найти и другие подходящие инструменты. Например, каждая из переменных Уи-2-j, j = 0,1,к
удовлетворяет условиям
E[(u rt U r,t-1 ) )>r,t-2-j ]= 0 Ehr,t-1 )>r,t-2 ) У,,і -2j ]* 0,
так что и эти переменные годятся в качестве инструментов.
Arellano, Bond (1991) предложили расширить список инструментов, поступая следующим образом. Пусть, например, Т = 4. Соотношение
E[{U,2 U,1 )Y0 ]= 0
рассматривается как моментное условие для t = 2 . Для t = 3 имеем
E[{U,3 U,2 )y1 ]= ^
но при этом справедливо и соотношение
E[)u3 U,2 )Y0 ] = 0.
Для t = 4 имеется три аналогичных моментных условия:
Elk 4 | Ut3 )Уг0 ] = | 0, |
Е[(иг 4 | Ut3 )Уй ] = | 0, |
E[{Ul 4 | Ut3 )У,2 ] = | 0. |
Всю эту совокупность моментных условий можно использовать рамках обобщенного метода моментов (GMM generaltzed method of moments).
Для произвольного Т определим (Т і)х 1 -вектор
Ґ Ut2 U tl ^
Au t =
v Ut,T Ut,T -1 j
0 0
и (T l)x(T(T і)/2)-матрицу
ґk ] 0 —
Z , =
0 [У, o, Уа] —
0 — 0 У
Ю'"^ yt,T-и j
каждая строка матрицы Zi содержит инструменты, подходящие для
соответствующего момента времени. В этих обозначениях,
указанная совокупность T(T -1)/2 моментных условий
записывается в виде:
Ay
E[ZT Au t ]= 0. Если определить еще ґ „ _„ >
■yt,
v yt,T -і л,т-2 j то последнее соотношение записывается также в виде: E[ZT (Ay-yAy-i )] = 0.
В отличие от метода наименьших квадратов здесь мы имеем количество моментных условий больше необходимого для
определения с их помощью значения у, так что использование разных условий приводит к различным оценкам. Следовательно, нет возможности получения значения у, при котором выполняются все
указанные моментные условия. Вместо этого приходится ограничиваться требованием в каком-то смысле "наилучшего" приближения ко всем моментным условиям сразу. Чтобы использовать всю совокупность моментных условий, в GMM минимизируется квадратичная форма от выборочных аналогов моментных условий
Q(rYWn
~ 1 N I 1Т Г 1 N I
-XZT(Ay,-/Ay,,-) Wn nXZT(Ay,-TAyh_i) ,
n
где Wn симметричная положительно определенная весовая матрица. Искомый минимум достигается при значении, равном
(( n Л ( n ЛГ1
n
X ZT Ay,
gmm
XZT Ay,,-i
Это и есть GMM-оценка параметра у . Свойства этой оценки зависят от выбора взвешивающей матрицы Wn . Хотя она состоятельна при положительной определенности матрицы Wn , в частности, для единичной матрицы Wn = IN, желательно выбирать матрицу Wn таким образом, чтобы GMM-оценка была по возможности наиболее эффективна о такой матрице говорят как об оптимальной взвешивающей матрице. Такая матрица должна удовлетворять условию:
pNmWN =(Cov(zT An, ))4 =[e [zt An, (An, )T Z, )]~
И если на ковариационную матрицу вектора ошибок наблюдений для і -го субъекта не накладывается никаких ограничений, то можно поступить следующим образом.
Сначала полагаем Wn = IN и производим GMM-оценивание
коэффициента у в модели Ay,. t = yAyi t-i + An it с такой
■ y(1) Ay
Au it = >
i,t-1
взвешивающей матрицей, получая предварительную оценку y' y . При этом получаем остатки
:Ayi,t
для
и составляем из них векторы
au i
Au-і =
au
i,T J
Искомая матрица определяется после этого соотношением
W
opt
1
N
Z ZT au і (Au. )TZi
i=1
-1
Если ujt ~ i.i.dто положение значительно упрощается. В этом
случае
E(Aut(Aut)T)=о2 G = о2
Г 2 | -1 | 0 | 0 | 01 | |
-1 | 2 | -1 | 0 | 0 | |
0 | -1 | 2 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 | 2 | -1 | |
v 0 | 0 | 0 | -1 | 2 J |
и поэтому не требуется предварительного оценивания Оптимальная матрица определяется соотношением
Г і n л-1 WT = N Z ZTGZ, vN i=1 J и GMM-оценивание производится за один шаг.
.
В общем случае GMM-оценка y
имеет асимптотически
нормальное распределение с ковариационной матрицей
P 1im N Z AyUZ, N Z ZTAu, (Au, )TZ, Z ZTAyh-1 .
N—ж [VN ,=1 JVN t=1 J VN ,=1 J)
Если ujt ~ i.i.dто средняя составляющая редуцируется к
0 WT =0 [-N ±ztgz, 1
Рассмотрим теперь динамическую модель с экзогенными переменными
yu = yyt,t-1 + xTfi + a + u,t, г =^ t =1,к,т . Здесь дифференцирование приводит к модели
Ayt,t = yAy,,t-1 + AxTfi + Au,t. Если предполагать, что все p объясняющих переменных, входящих
в состав вектора xjt, строго экзогенны, в том смысле, что они не
коррелированы с каждым uis , то тогда
E(xu Auis) = 0 для всех t, s,
так что в указанные ранее списки инструментов для каждого момента (периода) времени можно добавить xt1,...,xT . Тогда для момента t список инструментов принимает вид: yi0, Уг1,к, yit-2, xt1,K, xiT ]. Такой список может быть весьма длинным, если p и T не очень малы. В то же время при строгой экзогенности xit имеем также:
Auit )= 0 для каждого t ,
так что Axit могут выступать в качестве инструментов для самих себя. При таком подходе список инструментов для момента t имеет
вид:
_ yi0' \%>•"> yi, t 2> ^iV-' Axit
Этот список существенно
короче, если панель достаточно длинна.
Предположим теперь, что переменные в xit не являются строго экзогенными, но являются предетерминированными, в том смысле, что
E(xitnis ) = 0 для всех s > t. В этом случае уже не все хл,...,x Т годятся в качестве инструментов для продифференцированного уравнения в момент t , а только xn,..., xi t-i, и, соответственно, накладываются моментные условия
E (x,,t jAn ,t) = 0 для J = L —, t -1.
Разумеется, если в состав x й входят как строго эндогенные, так и предетерминированные переменные, то списки инструментов соответствующим образом корректируются.
З а м е ч а н и е
Указанная выше "оптимальная" взвешивающая матрица является оптимальной в отношении выбранного множества инструментов. В то же время возникает вопрос об "оптимальном" выборе самих инструментов.
Привлечение большего количества инструментов подразумевает получение более эффективных оценок. Однако здесь возникают две опасности:
некоторые из переменных, привлеченных в качестве инструментов, в действительности могут быть коррелированными с ошибками; для предотвращения таких ситуаций необходимо проверять гипотезу о выполнении соответствующих условий ортогональности;
оценки коэффициентов могут иметь значительное смещение вследствие оценивания взвешивающей матрицы Wn .
Проверка гипотез о правильности спецификации динамической модели
П р и м е р
Вернемся к рассмотренным ранее данным об объемах инвестиций y и прибыли x трех предприятий (N = 3) за десятилетний период (Т = i0) и рассмотрим на этот раз динамическую модель первого порядка
y,t =М + Щ + 7y,,t-i + Pi x,t + р x,,t-i + n,t, i =1,2,3, t = 2 ,i0. Дифференцирование приводит к модели для разностей:
Ay,t = 7Ay,,t-i + pi Ax,t + p2 Ax,,t-i + An,t, i = i,2A t = 3, -,i0. Если следовать описанию программы xtabond в пакете Stata8, то в этой программе будут использованы в качестве инструментов:
t | Инструменты | Кол-во | |
3 | y ,1 | i | |
4 | y ,^ y,2 | 2 | |
5 | y ,^ y,2, y,3 | 3 | |
6 | y ,1, y,2, y,3, y,4 | 4 | |
7 | y,1, y,2, y,3, y,4, y,5 | 5 | |
8 | yii, Уi2, yi3, Уi4, yi5, yi6 | 6 | |
9 | yii, Уi2, yi3, Уi4, yi5, yi6, yi7 | 7 | |
10 | yii, yi2, y,3 , Уi4, yi5 , yi6, yi7 , yi8 | 8 | |
Всего: | 36 |
а также Axi3 + + Axii0 и Axi2 + + Axi9. Это дает всего 36 + 2 = 38
моментных условий. Поскольку модель в разностях содержит 3 неизвестных коэффициента, для оценивания этих коэффициентов достаточно использовать только 3 моментных условия, а остальные 38 -3 = 35 условий - избыточные. Их можно было бы не использовать вовсе, но это снизило бы эффективность получаемых оценок.
Вместе с тем наличие избыточных условий позволяет проверять адекватность сделанных в отношении модели предположений. Точнее говоря, возникает возможность проверки гипотезы H0 о том,
что избыточные условия (выведенные на основании исходных
предположений о рассматриваемой модели) действительно
выполняются. Для проверки этой гипотезы используется
статистика Саргана (Sargan):
s = nq{§gmm ),
где 0GMM GMM-оценка вектора коэффициентов в модели (в
нашем примере в = (г,Д,АТ), а Q^mm ) значение при в = ()gmm минимизируемой в методе GMM квадратичной формы. Если гипотеза H0 справедлива, то статистика Саргана имеет
асимптотическое (при N — °°) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным количеству избыточных моментных условий (в нашем примере оно равно 35).
Приведем теперь результаты применения программы xtabond при использовании взвешивающей матрицы
Wopt = " N ~
( 1 N £ ZJGZ, Nj-t ' ' j
(так что оценивание производится за один шаг).
. xtabond y x ll(x), lags(l)
Arellano-Bond dynamic panel-data estimation
Number of obs = 24 Number of groups = 3 Obs per group: min = 8
chi2(35) = 21.81 Prob > chi2 = 0.9600
Результаты применения критерия Саргана говорят в пользу гипотезы о выполнении избыточных предположений. В то же время коэффициенты при запаздывающей разности значений объясняемой переменной и запаздывающей разности объясняющей переменной статистически незначимы, что возвращает нас к статической модели регрессии.
В программе xtabond используется еще один критерий проверки адекватности модели. Он основан на следующем обстоятельстве. Если ошибки un,...,ujT взаимно независимы, то
"соседние" разности Auit, Auit-1 коррелированы, т.к.
Corr(Ault, Aui,t-1) = Corr[ult ui,t-1, ui,t-1 ui,t-2) = ;
отстоящие на большее количество периодов времени разности Auit, Auit-s, s = 2,3, к напротив, не являются
коррелированными. Соответственно, с целью дополнительной проверки адекватности оцененной модели проверяется "наличие автокоррелированности первого порядка" и "отсутствие автокоррелированности второго порядка". Приведем результаты такой проверки для только что оцененной модели:
Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 1 is 0: H0: no autocorrelation z = -2.56, Pr > z = 0.0106.
Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 2 is 0: H0: no autocorrelation z = 0.77, Pr > z = 0.4427.
Полученные результаты подтверждают правильность сделанных предположений об ошибках
П р и м е р
Здесь мы обратимся к исследованию, предпринятому в работе Konigs, Roodhooft [De Economist, 145 (1997)] и касающемуся эластичности спроса на труд со стороны предприятий Бельгии. Данные относились к более, чем 3000 крупных фирм в период с 1986 по 1994 г.
Статическое уравнение спроса на труд бралось в форме
ln Lu = Д + Д ln wt + Дln гй + Дln Yл + Дln wjt + uu, где w й стоимость единицы труда, rtt стоимость единицы капитала, Y й объем выпуска,
wit средняя реальная заработная плата по отрасли. Динамические модели брались в разных формах, из которых простейшей была модель, в правую часть которой включалось запаздывающее на один период значение объясняемой переменной. При этом rjt заменялась акционерным капиталом Ktt, а в качестве Уи выступала условно-чистая продукция. Соответствующая модель имела вид
ln L,t =Д +Д ln wu +дз1п Ku +д41п Y,t +д51п wjt +ln Ал +a + £,t. Здесь а отражает наличие ненаблюдаемой переменной, специфичной в отношении фирм и не изменяющейся во времени.
Переходя к первым разностям, выметаем а{, но полученное уравнение нельзя состоятельно оценить OLS из-за наличия корреляции между A ln Zit_1 и Aeit. Кроме того, может
существовать коррелированность между Aeit и A ln wit вследствие наличия договоров нанимателей с профсоюзами по вопросу о занятости и оплате труда, так что помимо A ln Lit_1 надо
инструментировать и A ln wit. В качестве инструментов можно
использовать запаздывающие разности A ln wit—2, A ln wit —3 и т.д.
Приводимые ниже результаты оценивания относятся к модели, в правую часть которой дополнительно включались временные и региональные дамми-переменные.
Переменные | Оценка коэффициента | Стандартная ошибка |
0.60 | 0.045 | |
ln У« | 0.008 | 0.005 |
-0.66 | 0.19 | |
ln wjt | 0.054 | 0.033 |
ln Kit | 0.078 | 0.006 |
Значимость коэффициента при ln Lit-1 говорит в пользу
динамической модели. Значение -0.66 характеризует
"краткосрочную" эластичность спроса по заработной плате, а значение — 0.60/(1 — 0.60) = —1.6 характеризует "долговременную" эластичность спроса по заработной плате.
Заметим, что если производить оценивание "долговременной" эластичности в рамках статической модели, интерпретируя такую модель как модель долговременной связи между переменными, то тогда долговременная эластичность оценивается величиной —1.78. Такого рассогласования оценок можно было бы избежать в рамках модели коррекции ошибок.
Впрочем, к самим полученным результатам можно отнестись критически хотя бы по следующим обстоятельствам. В процессе инструментирования было использовано 29 "лишних" инструментов. Соответственно, имеется возможность проверить гипотезу о выполнении соответствующих 29 условий
ортогональности с помощью статистики Саргана S = Nq(6gmm ), где
9OMM оценка вектора кэффициентов модели обобщенным методом моментов. Статистика Саргана принимает здесь значение 51.66, что соответствует P-значению, рассчитанному по распределению хи-квадрат с 29 степенями свободы, равному 0.006. Следовательно, гипотеза о выполнении дополнительных моментных условий отвергается.
Обсуждение Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)
Комментарии, рецензии и отзывы