1.10. нелинейная связь между переменными

1.10. нелинейная связь между переменными

Разумеется, связь между конкретными экономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.

C = f (DPI)

скорее всего, должна замедлять свои рост при возрастании DPI, так что возможный график этой функции имеет вид

В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого, в рассмотрение вводят понятие предельной (marginal) склонности к потреблению (MPC), которая для заданной величины DPI располагаемого дохода определяется формулой

PI) = lim f (DPI + ADPI) f (DPI).

ADPI —>0 ADPI

Иначе говоря,

MPC( DPI) = -^— = f '(DPI)

Замедление скорости роста функции f [DPI) соответствует убыванию MPC(DPI) с возрастанием DPI. Уточняя пред

Например, если мы рассматриваем зависимость от располагаемого дохода DPI не всех затрат на личное потребление, а лишь затрат C на некоторый продукт питания (или группу продуктов питания), например, на куриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функция связи

положения о поведении MPС, можно получить ту или иную форму связи между переменными DPI и С.

Среди прочих возможных форм связи между DPI и С отметим степенную связь

С = f (DPI ) = a-(DPI У

в которой а> 0, 0 < Р<

. Для такой связи

MPС(DPI) = ар DPI

р-1

так что предельная склонность к потреблению монотонно убывает с ростом DPI.

Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).

Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем

соотношение

или, обозначая log С = С *, log а = а*, log DPI = DPI * , С * = а*+ р-DPI * .

Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений

С=а*+р-DPI * + ei , i = 1,..., n, которую мы уже умеем оценивать.

Заметим, что коэффициент Р в последних выражениях есть не что иное как

і — : 1

d log С

d log DPI

эта величина не зависит от выбора основания логарифмов, так что

llog С = loga + plog DPI ,1 d ln C

fi=

d In DPI

где используются натуральные логарифмы. Вообще, если мы имеем связь между какими-то переменными экономическими факторами X и Y в виде Y = f (X) ,

то мы определяем функцию

dY

как предельную склонность Y по отношению к X.

В экономической теории существенную роль играет функция эластичности, определяемая как предел

rkX)

f ( X + AX) f ( X)

AX

X

f(X)

lim AX -»0

• 100

100

отношения процентного изменения Y к процентному изменению X, когда последнее стремится к нулю. Правую часть последнего соотношения можно записать в виде

<X ) =

X ddL X

Y dX ~ Y

MPY(X)

Заметим также, что d lnf(X) (d lnf(X)^

d ln X

так что

dlnX dX

Y ' dX

rkX)

d ln Y X

d ln X Y

MPY ( X)

dXjX

Значение MPdyX0) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции Y = f (X) при X X0, тогда как значение ^(X0) равно угловому коэффициенту касательной к графику зависимости ln Y от ln X при X X0. Как следствие, условие постоянства MPd^X), т. е. MPd^X^^p, означает

линейную связь между уровнями факторов Y= a + pX,

а условие постоянства эластичности ^(X) = /3 означает

линейную связь между логарифмами уровней ln Y = a + plnX,

соответствующую степенной связи между уровнями Y = exp(а + р lnX) = Сотї ■ Xр ,

выражающей степенное возрастание (при /3 > 0) или убывание (при /3< 0) уровней фактора Y при возрастании уровней фактора X.

Заметим, что если ^(X) = /3, то эту постоянную можно

трактовать как процентное изменение уровня фактора Y при изменении фактора X на 1\%.

Отметим также, что в модели Y = а + /3X функция эластичности имеет вид

4x )=X-p=^L_=_L_

J3X

и при а/3 > 0 возрастает от 0 до 1 с возрастанием значений X от 0 до со. Если а = 0, то ^(X) = /3. При а/3 < 0 функция эластичности ^(X) убывает от +со до 1, когда X изменяется от -a.jp до +со.

К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.

Так, если Y — объем плановых инвестиций, a Z — норма процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме

Y=a + — , а> О, /3> О, Z

и имет графическое представление

У

СЕ

О

Z

Заменой переменной X = 1/ Z приводим указанную связь к линейной форме Y =а + /ЗХ. В этой модели эластичность Y по Z отрицательна и меньше единицы по абсолютной величине:

Z

dZ Y У Z2

Z

(«объем плановых инвестиций неэластичен по отношению к норме процента»).

В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах

уровней, выражающая уменьшение MPC^DPI) с возрастанием

DPI, все же не всегда удовлетворительна, поскольку эластичность в такой модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, скорее более подходящей будет модель связи с убывающей (в конечном счете) эластичностью. Такого рода связь между факторами Y и Z может иметь вид Y = a + /3 Z, а>О, /?>О .

(См. следующий график, построенный при а = 5, /3 = 10.)

Действительно,

dZ Y VZJ a + /3 Z

Z

->0 ;

однако, здесь возникают проблемы с отрицательными значениями Y при малых значениях Z. Последнего недостатка нет в модели

In Y =а 

т. е.

Y

: exp

a-Є-Z

(График построен при значениях а =0.1, J3=1.) Здесь

*Z) = 1

(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу).

Обе последние модели сводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратным величинам.

Замечание

Если исследователь принимает модель наблюдений

InYt =а* + p Xt +є{ ,

то тем самым, он соглашается тем, что

y = ea' ■ Xf ■ es,

или

y =<*■ Xf-v, ,

т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок v. в нелинейное уравнение для y ■

В то же время, не исключено, что по существу дела модель должна иметь вид

y =а-Xf + vt ,

т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случае взятие логарифмов от обеих частей не приводит к линейной модели наблюдений. В такой ситуации оценки наименьших квадратов параметров а и /3 приходится получать итерационными методами, в процессе реализации которых производится последовательное приближение к минимуму суммы квадратов