2.5. нормальная множественная регрессия: доверительные интервалы для коэффициентов

2.5. нормальная множественная регрессия: доверительные интервалы для коэффициентов: Институт экономики переходного периода, Носко Владимир Петрович, 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предлагаемое учебное пособие имеет своей целью обеспечить базу для изучения вводного полугодового курса эконометрики, когда в распоряжении преподавателя имеется всего порядка 12 лекций и некоторое количество часов практических занятий.

2.5. нормальная множественная регрессия: доверительные интервалы для коэффициентов

Рассматривая нормальную модель линейной множественной регрессии

с є і ~ і. і. d. N (о, а2), мы установили, что оценка наименьших квадратов в j неизвестного истинного значения в j коэффициента при j — ой объясняющей переменной имеет нормальное распределение, причем

Е(в j) = в] , d(6> j) = [a2(XTX) 1 j = 1,...,n .

Рассмотрим теперь случайную величину

~0 j-0j

получаемую путем вычитания из случайной величины в j ее математического ожидания и деления полученной разности на корень из дисперсии в j (т. е. путем центрирования и

нормирования случайной величины в j). При совершении

этих двух действий мы не выходим из семейства нормальных случайных величин, получая опять же нормальную случайную величину, но только уже с другими математическим ожиданием и дисперсией. Используя упомянутые ранее свойства математического ожидания и дисперсии, находим:

[Е ф j)-в} ) = 0,

1,

Иными словами, в результате центрирования и нормирования случайной величины в j мы получили случайную величину, имеющую стандартное нормальное распределение, т. е. нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функцию распределения и функцию плотности распределения такой случайной величины обозначают, соответственно, как Ф(x) и <р (x) :

Подпись: <р( z)

1

Для каждого значения p,0 < p < 1 , определим символом

zp число, для которого Ф(гр) = p , так что если случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение, то

тогда

Такое число называется квантилью уровня p стандартного нормального распределения.

Заштрихованная площадь под графиком плотности стандартного нормального распределения находится правее квантили zp уровня 0.95;

эта квантиль равна z0 95 = 1.645. Поэтому площадь под кривой, лежащая левее точки z = 1.645, равна 0.95, а заштрихованная площадь равна 1 0.95 = 0.05 . Последняя величина есть вероятность того,что случайная величина Z, имеющая стандартное нормальное распределение, примет значение, превышающее 1.645.

то получим следующую картину:

Если мы возьмем какое-нибудь число а в пределах от 0.5 до 1, 0.5 <а < 1, и выделим интервал

Из симметрии функции плотности нормального распределения вытекает равенство площадей областей, заштрихованных на последнем рисунке. Но площадь правой заштрихованной области равна 1 -(l--f) = -f; следовательно, такова же и

площадь левой заштрихованной области. Это, в частности, означает, что вероятность того, что случайная величина Z примет значение, не превышающее -z , равна -f, так что

2 2

Часть площади под кривой стандартной нормальной плотности, лежащая в пределах выделенного интервала, меньше единицы на сумму площадей заштрихованных областей («хвостов»), т. е. равна

1 "(f + т ) = 1

2 Заметим, что в этом и других подобных выражениях знак < можно свободно заменять знаком < , а знак > знаком > (и обратно), поскольку мы всегда предполагаем существование функции плотности распределений рассматриваемых случайных величин.

Эта величина равна вероятности того, что случайная величина Z, имеющая стандартное нормальное распределение, примет значение в пределах указанного интервала2:

-zj_^ < Z < zx_J.

J -a

Но ранее мы установили, что стандартное нормальное распределение имеет случайная величина

О ,-в

И* j)

Иными словами, с вероятностью, равной 1-а, случайный

интервал

накрывает истинное значение коэффициента в j. Такой интервал называется доверительным интервалом для в j с уровнем доверия (доверительной вероятностью) 1-а, или (1—а)-доверительным интервалом, или 100(1—а)-процентным доверительным интервалом для в j.

Последний рисунок был получен при значении а = 0.05. Поэтому площади заштрихованных областей («хвосты») равны у = 0.025, сумма этих площадей равна 0.05 , и площадь области под кривой в пределах интервала |—, z12L j равна 1—0.05 = 0.95. Остается заметить, что

Zo.95 1-960 ,

так что случайный интервал

в j -1.96 , в j +1.96

является 95\%-доверительным интервалом для в j. Его длина

2 • 1.96

да

пропорциональна j j — среднеквадратической

ошибке (среднеквадратическому отклонению) оценки коэффициента 6j.

Хотелось бы, конечно, прямо сейчас построить доверительные интервалы для коэффициентов линейной модели по

каким-нибудь реальным статистическим данным. Однако этому препятствует то обстоятельство, что в выражения для дисперсий

D& j) = [<х2(XTX)-1 ] , і = 1,...,n ,

2

входит не известное нам значение а .

Институт экономики переходного периода

Институт экономики переходного периода

Обсуждение Институт экономики переходного периода

Комментарии, рецензии и отзывы

2.5. нормальная множественная регрессия: доверительные интервалы для коэффициентов: Институт экономики переходного периода, Носко Владимир Петрович, 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предлагаемое учебное пособие имеет своей целью обеспечить базу для изучения вводного полугодового курса эконометрики, когда в распоряжении преподавателя имеется всего порядка 12 лекций и некоторое количество часов практических занятий.