2.6. доверительные интервалы для коэффициентов: реальные статистические данные

2.6. доверительные интервалы для коэффициентов: реальные статистические данные

Итак, практическому построению доверительных интервалов для коэффициентов в j нормальной модели линейной

множественной регрессии

E (S 2 ) =

а2

т. е. S2 — несмещенная оценка для а2.

Замечание. В частном случае p = 1 модель наблюдений

принимает вид

yt =01 +є і , і = 1,n,

(случайная выборка из распределения N (0і,а2)). Несмещенной оценкой для а2 служит

S 2 _ RSS ~ n -1 .

Оценкой наименьших квадратов для параметра в 1 является 6* 1 = у , так что RSS = ^ у) = TSS , и

n

S2 =^ = Var (y) .

n -1

Таким образом, выборочная дисперсия Var (у) переменной у, получаемая делением TSS именно на n 1 (анена n ), является несмещенной оценкой для о2 в модели случайной выборки из нормального распределения, имеющего дисперсию о2. Этим и объясняется сделанный нами выбор нормировки при определении выборочных дисперсий и ковариаций.

При выполнении стандартных предположений отношение

|(n p)S2 _ RSS

имеет стандартное распределение, называемое распределением хи-квадрат с (n-p) степенями свободы. Такое же распределение имеет сумма квадратов n — p случайных величин, независимых в совокупности и имеющих одинаковое

стандартное нормальное распределение. При п р = 15 график функции плотности этого распределения имеет вид

0.08

Для обозначения распределения хи-квадрат с К степенями свободы используют символ ^(К).

на

заменить неизвестное нам значение

Итак, мы не знаем истинного значения а2 и поэтому в попытке построить доверительный интервал для в j вынуждены

D(e j ) = [а2( XTX) 1

его несмещенную оценку

Соответственно, вместо отношения

0,-0,

приходится использовать отношение

I . I

0,-0

s9,

Однако последнее отношение как случайная величина уже не имеет стандартного нормального распределения, поскольку в знаменателе теперь стоит не постоянная, а случайная величина.

Тем не менее, распределение последнего отношения также относят к стандартным, и оно известно под названием t-распределения Стъюдента с (n-p) степенями свободы,

Для распределения Стьюдента с К степенями свободы принято обозначение t (К). Квантиль уровня р такого распределения будем обозначать символом tp (K). График функции плотности распределения Стьюдента симметричен относительно нуля и похож на график функции плотности нормального распределения. Например, при К=