3.2. проверка адекватности подобранной модели имеющимся статистическим данным: формальные статистические процедуры

3.2. проверка адекватности подобранной модели имеющимся статистическим данным: формальные статистические процедуры

Помимо графических, существует довольно много процедур, предназначенных для проверки выполнения стандартных предположений о линейной модели наблюдений, использующих статистические критерии проверки гипотез. Мы остановимся только на нескольких таких процедурах. В каждой из этих процедур в качестве нулевой гипотезы берется гипотеза

1 •>

n

U. d. N(0,o-2).

Однако приспособлены соответствующие критерии для выявления специфических нарушений стандартных предположений, что делает каждый из критериев особо чувствительным именно к тем нарушениям, на которые он «настроен».

Критерий Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt). Если графический анализ остатков указывает на возможную неоднородность дисперсий ошибок D^s i), то

наблюдения, насколько это возможно, упорядочивают в порядке предполагаемого возрастания дисперсий случайных ошибок;

отбрасывают r центральных наблюдений (для более надежного разделения групп с малыми и большими дисперсиями случайных ошибок), так что для дальнейшего анализа остается n — r наблюдений;

производят оценивание выбранной модели отдельно по первым {n r)/2 и по последним {n r)j2 наблюдениям;

вычисляют отношение F RSS2/RSS1 остаточных сумм квадратов, полученных при подборе модели по последним {n rУ2 (остаточная сумма квадратов RSS2) и по первым

(n r)/2 (остаточная сумма квадратов RSS1) наблюдениям.

При принятии решения учитывают, что если все же D^s i) = а2, i = 1,..., n, (дисперсии однородны) и выполнены

остальные стандартные предположения о модели наблюдений, включая предположение о нормальности ошибок, то тогда отношение

F RSS J RSS1

имеет F — распределение Фишера

п г

2

р и

п r

2

р I степенями свободы.

Гипотеза

H0: D(et)

= а2, i = 1, ..., п, (дисперсии однородны)

отвергается, если вычисленное значение F -отношения

«слишком велико», т. е. превышает критический уровень

Критерий Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson). Этот критерий применяется, когда наблюдения производятся последовательно во времени, с равными интервалами, и график изменения остатков во времени указывает на наличие автокоррелированности случайных составляющих є i модели наблюдений. Предполагается, что эта автокоррелированность определяется соотношением

et = рєi_1 +St, i = 1,^,п,

где p I < 1, a Si , i = 1,...,п, — независимые в совокупности случайные величины, имеющие одинаковое нормальное

5 i не зависит статистически

от є i_s для s > 0.

Статистика Дарбина-Уотсона определяется соотноше-

где е^...,еп — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений.

В качестве нулевой гипотезы здесь берется гипотеза |H>: Р = 0,1

соответствующая (при нашем предположении о нормальности распределения случайных ошибок) независимости в совокупности случайных величин є х,...,еп. В качестве альтернативной при анализе экономических данных чаще всего используют гипотезу

соответствующую положительной автокоррелированно-сти случайных величин є х,...,єп (т. е. тенденции преимущественного сохранения знака случайной ошибки при переходе от і -го наблюдения к і + 1-му).

Статистика DW принимает значения в интервале от 0 до 4. Рассматриваемая как случайная величина она имеет при гипотезе H0 : р 0 (т. е. если эта гипотеза верна) функцию плотности p(x), симметричную относительно точки x = 2 — середины этого интервала. Если в действительности р = р* > 0 , то тогда значения статистики DW тяготеют к левой границе интервала. Поэтому, в соответствии с общим подходом к построению односторонних статистических критериев, мы должны были бы для выбранного нами уровня значимости а найти соответствующее ему критическое значение da (0 < da < 2) и отвергать гипотезу H0 : р 0 в пользу HA : р > 0 при выполнении неравенства DW < da.

Однако распределение статистики Дарбина-Уотсона зависит не только от n и p, но также и от конкретных значений xtj, j = 1,...,p, і = 1,...,n, объясняющих переменных, что деHA: р>0,

лает неосуществимым построение таблиц критических значений этого распределения. Дарбин и Уотсон преодолели это затруднение следующим образом. Они нашли (при различных значениях n и p) нижнюю dLa и верхнюю dUa границы интервала, в котором только и могут находиться критические значения da статистики Дарбина-Уотсона, независимо от того,

каковы конкретные значения xij, j = 1,..., p, i = 1,..., n . Иными словами,

0 < dLa< da< dUa < 2

где dLa и dUa не зависят от конкретных значений

xtj, j = 1,...,p, i = 1,..., n, а определяются только количеством

наблюдений, количеством объясняющих переменных и установленным уровнем значимости критерия. Гипотеза |H0 : р 0

отвергается в пользу гипотезы IHA : р > 0 I, если

DW < dLa|;

не отвергается, если

Если же

dLa< DW < dUa ,

то никакого вывода относительно справедливости или несправедливости гипотезы H0 : р 0 не делается.

При соблюдении этих правил вероятность ошибочного отвержения гипотезы H0 : р 0 не превосходит заданного уровня значимости а.

Критерий Жарка-Бера (Jarque-Bera). Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в eviews) для проверки гипотезы H0 нормальности ошибок в модели наблюдений, точнее,

Я0 : є „ ~ i.i.d. N(o,a2 j

(значение а2 не конкретизируется). Если эта гипотеза верна,то при большом количестве наблюдений п статистика

JB = n

(sample skewness)2 (sample kurtosis 3)2

24

имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы х 2 (2), функция плотности которого имеет вид

p{x) = 2 е ~x/2, х > 0 .

Здесь «sample skewness» — выборочный коэффициент асимметрии,

«sample kurtosis» — выборочный коэффициент эксцесса,

sample kurtosis = —2

m2

где

і

m

-1 Z e'

i=1

и e.

остатки, полученные при оценивании модели.

Если распределение ошибок действительно является нормальным, то значения выборочного коэффициента асимметрии близки к нулю, а значения выборочного коэффициента эксцесса близки к 3.

Существенное отличие выборочного коэффициента асимметрии от нуля указывает на несимметричность (относительно нуля) графика функции плотности распределения ошибок («скошенность» распределения). Существенное отличие от 3 выборочного коэффициента эксцесса указывает на не характерные для нормального распределения «островершинность» (при значении этого коэффициента, большем трех) или излишнюю «сглаженность» (при значении этого коэффициента, меньшем трех) графика функции плотности распределения ошибок.

При нарушении условия нормальности распределения ошибок значения статистики JB имеют тенденцию к возрастанию. Поэтому гипотеза нормальности ошибок отвергается, если значения этой статистики «слишком велики», а именно,

ЄСЛИ

JB >jL(2) ,

где Z^-a{2)— квантиль распределения \%г (2), соответствующая уровню 1 — а.

Замечание. Критерии Дарбина-Уотсона и Голдфелда-Квандта являются точными, в том смысле, что они непосредственно учитывают количество наблюдений n. В противоположность этому, критерий Жарка-Бера является асимптотическим критерием: распределение статистики JB хорошо приближается распределением \% 2 (2) только при большом количестве наблюдений. Поэтому вполне полагаться на результаты применения критерия Жарка-Бера можно только в таких ситуациях. Помимо критерия Жарка-Бера в специализированные пакеты программ статистического анализа данных часто встраиваются и другие асимптотические критерии, например, критерии Уайта и Бройша-Годфри, которые рассматриваются ниже.

Критерий Бройша-Годфри (Breusch-Godfrey). Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS) для проверки гипотезы некоррелированности ошибок в модели наблюдений

Уі =°ixiі+---+Qpxip + £і , i = n.

При наших предположениях это соответствует гипотезе независимости в совокупности случайных величин si, i = 1,..., n. Напомним, что критерий Дарбина — Уот-сона основан на рассмотрении модели наблюдений, в которой случайные составляющие є i связаны соотношением

где р | < 1, а 8 i , i = 1,...,n, — независимые в совокупности случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение N{0,a2s ). В такой модели наблюдений случайные составляющие є i, разделенные двумя или более периодами времени и очищенные от влияния промежуточных є j, оказываются независимыми.

Критерий Бройша-Годфри допускает зависимость случайных составляющих є i, разделенных K периодами времени и также очищенных от влияния промежуточных є j; соответствующая модель зависимости имеет вид

ki = ахЄі_1 +^.+акєі_к +S.i .

Статистика этого критерия равна |nR |, где R2 коэффициент детерминации, получаемый при оценивании модели

e = Ї1 xi 1+—+Гpxip +a1ei-1 +•••+« Kei-K + vi , i = ^--^n,

a e^..., en остатки, полученные при оценивании основной модели наблюдений. (Недостающие значения e0,...,e1_к заменяются нулями.)

В рамках последней модели проверяется гипотеза

|i/0: а 1 =••• =сск 0.

Если эта гипотеза верна, то при большом количестве наблюдений n статистика критерия имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с K степенями свободы. Гипотеза H0 отвергается при заданном уровне значимости а, если вычисленное значение nR2 превышает критическое значение, равное квантили уровня 1 — а указанного распределения,^Г-Є-ЄСЛИ

он допускает зависимость «очищенных» случайных ошибок только на один шаг, т. е. K = 1;

он неприменим в ситуациях, когда в число объясняющих переменных включаются запаздывающие значения объясняемой переменной.

Критерий же Бройша-Годфри свободен от этих ограничений.

Критерий Уайта (White). Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS) для проверки однородности дисперсий ошибок в

модели наблюдений

Критерий имеет два варианта.

Вариант I. В рамках модели

р р

e = ai+£« jxij+Z^jx5 + vi , i=1,•••,n,

j=2 j=2

где ех.

остатки, полученные при оценивании ос-

новной модели наблюдений, проверяется гипотеза

Н0: а .

/?. = 0 , j = 2,..., p.

Статистика критерия равна

nR I, где R2 коэффициент де-

терминации, получаемый при оценивании последней модели.

Если указанная гипотеза верна, то при большом количестве наблюдений n статистика критерия имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с (2p 2) степенями

свободы. Гипотеза H0 отвергается при заданном уровне значимости а, если вычисленное значение nR2 превышает критическое значение, равное квантили уровня 1 — а указанного

распределения, т. е. если

nR 2 >(nR 2 L=^U2p 2>

терминации, получаемый при оценивании последней модели.

Если указанная гипотеза верна, то при большом количестве наблюдений n статистика критерия имеет распределение,

близкое к распределению хи-квадрат с (p2 + p — 2}J2 степенями свободы. Гипотеза H0 отвергается при заданном уровне значимости а, если вычисленное значение nR2 превышает

Как и в случае критерия Бройша-Годфри, при интерпретации результатов применения обоих вариантов критерия Уайта следует помнить, что этот критерий асимптотический.

Замечание. При описании критериев Уайта мы неявно

предполагали, что хп = 1. Если постоянная не включена в исходную модель наблюдений, то в моделях, оцениваемых на втором шаге обоих вариантов критерия Уайта, суммирование следует производить, начиная с j = 1.