Случайные векторы и их характеристики

Случайные векторы и их характеристики

Под случайным вектором размерности п понимается упорядоченный набор (Х19Х29 Xn) п одномерных случайных величин Х19 Х2, Хп9 имеющих некоторое совместное распределение вероятностей, задаваемое функцией распределения

F(vl9v29...9vn) = P{xl <vX9X2<v29...9Xn<vn -оо<^,^2,...,и„<оо.

В первой части учебника рассматриваются в основном случайные векторы, у которых совместное распределение случайных величин ХХ9Х29 Хп имеет совместную плотность распределения р(хх,jc„), так что

F(vl9v29...9vn)= J J... jp(xl9x29...9x„)dxldx2—dxn.

—00-00 —00

Если F(vltv2,...,vn)=P{Xx<v,}-P{X2<v2} -P{Xn<v„} = f[F(Vj),

n

p(xX9...9xn) = Ylp(Xj)9

7=1

то набор (Xl9 X29 Xn) представляет случайную выборку из распределения F9

имеющего функцию плотности р(х).

Пусть функция распределения F(yl9 v2,v„) известна (задана). Тогда:

для каждого j9j = 1, п9 становится известной одномерная функция распределения Fj(yj) = P{Xj <Vj}; например, Fx(vx) = F(vl9 со,oo). Последней соответствует px (jc, ) — одномерная плотность распределения случайной величины Хх;

для каждой пары индексов j, к9 1 <j <к<п9 становится известной двумерная функция распределения Fjk(yj9 vk) = P{Xj < vJ9 Xk < vk}'9 например, Fl2(vl9 v2) = F(Vj, v2, oo,со). Последней соответствуетplj2(*i 9x2) — совместная плотность распределения пары случайных величин Хх и Х2.

При выводе формул и формулировании результатов часто удобно представлять случайный вектор как вектор-столбец

х =

XnJ

Математическое ожидание случайного вектора Х = (Х19 Х2, Хп)Т определяется как вектор, состоящий из математических ожиданий случайных величин, его составляющих (конечно, если таковые существуют):

Е(Х) =

Е(Х2)

Математическое ожидание случайного вектора обладает свойствами, аналогичными свойствам математического ожидания одномерной случайной величины:

математическое ожидание вектора, компонентами которого являются неслучайные величины (константы), есть этот же самый вектор;

математическое ожидание линейной комбинации случайных векторов равно линейной комбинации математических ожиданий этих случайных векторов (с теми же коэффициентами). В частности, математическое ожидание суммы случайных векторов равно сумме их математических ожиданий, а математическое ожидание произведения случайного вектора X на число равно произведению этого числа на математическое ожидание вектора Х

если случайный вектор Y получен линейным преобразованием другого случайного вектора Х9 так что Y = СХ, где С — матрица с неслучайными элементами, то E(Y) = СЕ(Х) (постоянную можно выносить за знак математического ожидания).

Важными характеристиками случайного вектораXявляются дисперсии D(XX D(Xn) и ковариации его компонент

CoviXj, Хк) = E(Xj-E(Xj) )(Хк-Е(Хк)),

l<j,k<n.

а также коэффициенты корреляции

y]D(Xj)^D(Xk) '

CoviXj,Xk)

rxj,xk =Corr(Xj,Xk) =

Совокупность ковариации Cov(Xj, Хк), 1 <j, к < n, обычно представляют в виде матрицы

rCov{X„X,) ... Соу(Х„Х„У

Cov(X)-.

CoviX^X,) Cov(Xn,X„)

которую чаще называют ковариационной матрицей случайного вектора X, но

иногда — дисперсионной матрицей вектора X и дисперсионно-ковариационной матрицей вектора X, имея в виду, что Cov(Xj, Xj) = D(Xj), так что на диагонали этой матрицы расположены дисперсии компонент случайного вектора:

Cov(X) =

ад)

Cov{Xn,Xx)

Cov(X„Xny

ад)

Заметим также, что Cov(XJ9 Хк) = Cov(Xk9 Xj)9 таким образом ковариационная матрица симметрична. Более того, если ни одна из компонент случайного вектора X не является линейной комбинацией остальных компонент этого вектора (в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от 0), то ковариационная матрица этого случайного вектора положительно определена. Последнее означает, что для любого «-мерного вектора-столбца Z, не все компоненты которого равны нулю, выполняется соотношение

ZTCov(X)Z>0.

Ковариационные матрицы имеют свойства, аналогичные свойствам обычных ковариации:

ковариационная матрица вектора, состоящего из постоянных элементов, состоит из одних нулей;

ковариационная матрица вектора, являющегося линейной комбинацией случайных векторов, равна линейной комбинации ковариационных матриц этих случайных величин (с теми же коэффициентами).

Кроме того, при выводе различных утверждений используется следующее свойство:

если случайный вектор Y получен линейным преобразованием другого случайного вектораX, так что Y= СХ9 где С — матрица с неслучайными элементами, то

Cov(Y)= Cov(CX) = CCov(X)CT.

Заметим также, что если компоненты случайного вектора X попарно не коррели-рованы, то в этом случае Cov(X) — диагональная матрица. Если в такой ситуации все компоненты имеют еще и одинаковую дисперсию d(Xj) = <j2J = 1,п9 то

Cov(X) = a2I„9

где 1п — единичная матрица размера п х п.

Приложение П-26

МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

По аналогии с плотностью одномерного нормального распределения

Р(х) =

ПО

гехр

1 (х-м)2,

2о

т.е.

р(х) = {ілсг2) 2 exp

--(х-мУ(а2Гх-^,

определяется плотность /і-мерного нормального распределения

р(х19х2,...9хя) = к 2 ехр^--(х-//) YTx-fi) где х= (х19х29...9хп)т;

, -со<х19х29...9хя«х>9 (2.3)

р = (рх, //з,рп) — вектор с постоянными элементами; 2 —положительно определенная матрица размера п х п.

Если Х(Хх, Х2,Хп)Т— случайный вектор с функцией плотности (2.3), то

к = (2тг)п detX;

E(X) = ju9 Cov(X) = Z.

При этом говорят, что вектор Xимеет «-мерное нормальное распределение Nn(ju9 X) с математическим ожиданием /л и ковариационной матрицей X. Обозначим этот факт следующим образом:

Заметим, что если вектор X имеет «-мерное нормальное распределение Nn(ju, X), то его компоненты имеют обычное (одномерное) нормальное распределение:

где I.J. — у-й диагональный элемент матрицы X.

Среди свойств многомерного нормального распределения отметим лишь наиболее полезные для нашего изложения (ознакомление с другими свойствами нормального и связанных с ним распределений предусмотрено в заданиях для самостоятельной работы):

если Х-Nn(fu9 X), то Y= Хju ~ Nn(09 X) (центрирование вектора Х)

если компоненты вектора X, имеющего «-мерное нормальное распределение Nn(/u9 X), являются взаимно независимыми случайными величинами, то в этом случае ковариационная матрица X диагональна, если при этом все компоненты имеют одинаковые дисперсии D{Xj) = Х^. = a2 J = 1,и, то

X~N„(ji9 аЧп

В частности, если все компоненты вектора X имеют нулевые математические ожидания, то

X~Nn(09 аЧп).

Если Х~ Nn(ju9 X), а матрица С размерар х п имеет ранг р9 то

Y=CX~Np(Cn, СХСГ). (сохранение нормальности при линейных преобразованиях).