Тема 1.4 нелинейная связь между экономическими факторами

Тема 1.4 нелинейная связь между экономическими факторами

Связь между уровнями экономических факторов вовсе не обязательно должна быть линейной. Например, если рассмотреть зависимость от располагаемого дохода DPI не всех затрат на личное потребление, а лишь затрат С на некоторый продукт питания или группу продуктов питания (например, на молочные продукты), то уже по чисто физиологическим причинам функция связи

С = /(£>/>/),

скорее всего, должна замедлять свой рост при возрастании DPI. Возможный график этой функции приведен на рис. 1.20.

В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого в рассмотрение вводят понятие предельной склонности к потреблению {marginal propensity to consume — MPC) (или предельной нормы потребления), которая для заданной величины располагаемого дохода DPI0 определяется соотношением:

MPC(DPh)= Km /(P",+AZW)-/(DW0)

Иначе говоря,

MPC(DPI0) = dC

dDPI

= f'(DPI0).

DPI=DPI0

Замедление скорости роста функции f(DPI) соответствует убыванию MPC(DPI) при возрастании DPI. Уточняя предположения о поведении МРС, можно получить ту или иную форму связи между переменными DPI и С.

Среди возможных форм связи между DPI и С отметим степенную связь (power relationship):

C = f(DPI) = a(DPiy,

в которой а > 0, 0 < Р < 1. Для такой связи

МРСфРІ) = aP(DPlfтак что предельная склонность к потреблению монотонно убывает с ростом DPI.

Степенную форму связи можно привести к линейной, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но по одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы). Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем:

logC = loga + /?log£>P/, или, обозначая logC = С*, loga= a*, logDPI = DPI*,

C*=a+PDPI*.

Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений:

С* =а* +PDPI* +єі9 / = 1,...,и, которую мы уже умеем оценивать методом наименьших квадратов.

Напомним: если имеется связь между какими-то переменными экономическими факторами X и Y в виде

Y = f(X),

то функция

MPY(X) = ^ = f'(X) ал

определяется как предельная склонность Y по отношению кХ.

В экономической теории существенную роль играет функция эластичности (elasticity function) г](Х), значение которой при X = Х0 определяется как предел отношения процентного изменения Y = f(X) к процентному изменению X, когда последнее стремится к 0:

f(XQ+AX)-f(X0) т

100

Если Т](Х0) > 1 или tj(X0) < -1 (так что j(X0) > 1), то говорят, что фактор Y эластичен (elastic) по отношению к фактору X при Х=Х0. Если же ^(Л^)! < 1, то говорят, что фактор Y неэластичен (non-elastic) по отношению к фактору X при Х= Х0. Отдельно выделяют пограничные случаи tj(X0) 1 и tj(XQ) = -1 (единичная эластичность (unit elasticity)).

Правую часть соотношения, определяющего функцию эластичности, можно записать в виде:

у fjy X tj(X) = —— =—MPY(X).

Y dX Y

Заметим также, что

d f(X) d f(X)= dX _XdY dlnX d vX Y dX ' dX

так что

n(X) = ^=*MPY(X) = ^:*X.

dlnX Y Y X

Значение MPY(X0) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции Y=f(X) при X Х0, тогда как значение rj(X0) равно угловому коэффициенту касательной к графику зависимости In Y от 1пХ при X = Х0. Как следствие, условие постоянства MPY(X), т.е. MPY(X) = Д означает линейную связь между уровнями факторов:

Y = a + j3X,

а условие постоянства эластичности Т](Х) = /? означает линейную связь между логарифмами уровней

lnY = a + pinX,

соответствующую степенной связи между уровнями

Y = Qxp(a + /ЗЫХ) = Const -Хр,

которая выражает степенное возрастание (при (3 > 0) или убывание (при J3 < 0) уровней фактора Y при возрастании уровней фактора X.

Заметим: если т](Х) = Д то постоянную /? можно в определенной мере трактовать как процентное изменение уровня фактора Y при изменении фактора X на 1\%. Пусть, например, Y = л[х, так что Р = 0.5, и пусть значение фактора Х4 возрастает на 1\% , т.е. до значения Х 4.04. Тогда значение фактора Г изменяется от 7= 2 до 7=л/4.04, т.е. на 0.498\%, что очень близко к 0.5\%.

Если (3 > 1 или /? < -1 (так что |/?| > 1), то фактор Y эластичен по отношению к фактору X. Если же Р < 1, то фактор Y неэластичен по отношению к фактору X. Пограничные случаи /? = 1 и /?= -1 соответствуют единичной эластичности.

Отметим также, что в модели Y= а + РХ функция эластичности имеет вид

Y а + рХ а | )

рх

и при ар> 0 возрастает от 0 до 1 с возрастанием значений X от 0 до со. Если а = 0, то Т](Х) = 1. При аР<0 функция эластичности г](Х) убывает от +оо до 1,

когда л изменяется от до +оо.

Заметим, наконец, что степенную форму связи С = f(DPI) = a(DPI)^ можно линеаризовать переходом к логарифмам по любому основанию:

logC = loga + pogDPI.

При этом величина /? = не зависит от выбора основания логарифИ dXogDPI

мов (так что

= d DPI' К0ГДа ИСП0ЛЬЗУЮТСЯ натуральные логарифмы, Р = ^ppj ' когда используются десятичные логарифмы)

и представляет собой эластичность расходов на потребление соответствующего продукта (группы продуктов) по располагаемому доходу.

ПРИМЕР 1.4.1

Вернемся к примеру с совокупным располагаемым доходом (DPI) и совокупными расходами на личное потребление (С) в США. Будем использовать де-флированные данные, принимая за базовый 1972 г. (табл. 1.9).

По таким данным за период 1970—1979 гг. была подобрана модель линейной связи

С = -67.66 + 0.98£>Р/

(значения оценок, полученные ранее, округлены здесь до сотых долей). Величина 0.98 оценивает склонность к потреблению по отношению к располагаемому доходу, которая в этой модели постоянна. Оцененная эластичность расходов на личное потребление по отношению к располагаемому доходу изменяется на периоде с 1970 по 1979 г. от значения

0.98-751.6 =ыо

-67.66 + 0.98-751.6

до значения

0.98-1015.7

= 1.07.

-67.66 + 0.98-1015.7

Таким образом формально расходы на личное потребление оказываются эластичными по располагаемому доходу на всем этом периоде. В дальнейшем мы подробно обсудим вопрос о том, насколько надежны такие выводы, имея в виду, что при вычислениях эластичностей в данном случае используются не «истинные» значения параметров а и Д а их оценки. ■

К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.

Так, если Y объем плановых инвестиций, a Z норма банковского процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена следующим образом:

Y = a + £, а>0, /?>0, Z

и имеет графическое представление, приведенное на рис. 1.21.

Заменой переменной X = приводим указанную связь к линейной форме Y = а + РХ. В этой модели эластичность Y по Z отрицательна и меньше 1 по абсолютной величине:

Z2)a + l fi + aZ Z

ю-**J ^ 2 е

dZ Y

(объем плановых инвестиций неэластичен по отношению к норме процента).

В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшение MPC(DPI) с возрастанием DPI, все же не всегда удовлетворительна, поскольку эластичность в такой модели постоянна. Опять же по физиологическим причинам более подходящей будет, скорее, модель связи с убывающей (в конечном счете) эластичностью. Такого рода связь между факторами Y и Z может иметь вид

Y = a + p Z, а>0, /?>0

(см. график на рис. 1.22, построенный при а= 5, /?= 10). Действительно,

Ґ7Л dY Z

n(Z) = =

A dZY

a + 0 Z

>0.

Однако здесь возникают проблемы с отрицательными значениями Y при малых значениях Z.

Последнего недостатка нет в модели

1п7 = а--|-, у9>0, т.е. У = ехр

а-1

Z

Здесь

(закон Энгеля (убывание эластичности потребления продуктов питания по доходу)). Заметим также, что значения Y в этой модели ограничены сверху значением ехр(а).

Приведенный на рис. 1.23 график кривой 7 = ехр значениям а = 3, /3= 10.

а—

соответствует

Обе последние модели приводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или к обратным величинам.

if Замечание 1.4.1. Пусть X и Y— уровни двух экономических переменных, тогда

уравнение Y а + J3X называют level-level уравнением. Коэффициент Р в таком уравнении равен изменению значения переменной Y при увеличении значения переменной Хна 1;

уравнение 1пГ= а + pinX называют log-log уравнением. Коэффициент Р в таком уравнении является эластичностью переменной Y по отношению к переменной X и приблизительно равен процентному изменению значения Y при увеличении значения переменной Хна 1\%;

уравнение 1п7= а + РХ называют log-level уравнением. Коэффициент р в таком уравнении называют полуэластичностью (semi-elasticity). При увеличении значения переменной X на 1 значение переменной Y изменяется приблизительно на 100/?\%;

уравнение Y = а + pinX называют level-log уравнением. При увеличении значения переменной Хна 1\% значение переменной Y изменяется приблизительно на единиц.

F 100

Если исследователь принимает модель наблюдений

Yt=a +fixiXi+ei9

значит, он соглашается с тем, что

Yt=ea*Xfe€i9 или Yt=aXfvi9

т.е. допускает мультипликативное вхождение ошибок v, в нелинейное уравнение для Yt.

В то же время не исключено, что, по существу, модель должна иметь вид

т.е. содержит аддитивные ошибки. Преобразование X —> Х& не является доступным, если значение J3 — неизвестный параметр, подлежащий оцениванию. Соответственно в последней модели X15 не является объясняющей переменной, поскольку значения Xf недоступны наблюдению. Взятие логарифмов от обеих частей не приводит здесь к линейной модели наблюдений, и мы имеем дело с существенно нелинейной моделью наблюдений.

В такой ситуации оценки параметров а и jB можно опять определить как значения а и Ь, минимизирующие сумму квадратов

Q(a,b) = f^(Yi-aX'>)2.

1 = 1

Однако нормальные уравнения в данном случае становятся нелинейными, и решения этих уравнений не выражаются в явном виде. Здесь приходится прибегать к нелинейному методу наименьших квадратов (nonlinear least squares — NLLS). Сумму квадратов отклонений минимизируют с помощью итерационных методов, в которых сначала задаются некоторые стартовые значения оцениваемых параметров, а затем производится последовательное приближение значений а и Ь к значениям, минимизирущим Q(a, b). При этом возникает проблема поиска именно глобального, а не локального максимума функции Q(a, b). Более того, результаты, касающиеся вероятностных свойств получаемых оценок (что и представляет основной интерес в эконометрике), в нелинейных моделях только асимптотические, т.е. предполагают наличие большого количества наблюдений. В то же время в линейной модели:

а) оценки параметров вычисляются по явной формуле и гарантируют

обеспечение глобального минимума суммы квадратов;

б) результаты, касающиеся вероятностных свойств получаемых оценок,

являются точными и при небольшом количестве наблюдений.

Поэтому так важна возможность сведения модели нелинейной связи к линейной модели наблюдений.

Пример подбора моделей нелинейной связи, сводящихся к линейной модели преобразованием переменных

Если в нашем распоряжении нет теоретической модели связи между переменными, приходится исходить из характера расположения точек на диаграмме рассеяния и на этой основе подбирать подходящую модель. Рассмотрим следующий пример.

Суть политики Кеннеди — Джонсона1 состояла в сокращении налогов, увеличении расходов на оборону и в ускорении роста количества денег в об 

Джон Кеннеди — президент США с 1961 по 1963 г., Линдон Джонсон — президент США с 1963 по 1969 г.

ращении. Предполагалось, что это вызовет оживление экономики США и будет способствовать снижению нормы безработицы (т.е. доли безработных в общей численности рабочей силы). Ожидалось также, что возрастание темпов инфляции будет при этом не очень сильным. Обратимся, однако, к реальным статистическим данным за период с 1961 по 1969 г. (табл. 1.11).

На рис. 1.24 приведены диаграмма рассеяния для переменных UNJOB и INF, построенная по указанным данным, и прямая, подобранная методом наименьших квадратов исходя из предположения о линейном характере связи между этими переменными, т.е. исходя из модели наблюдений

INFt=cc + pUNJOB +єі9 і = 1,...,/і.

Достаточно высокое значение коэффициента детерминации — R2 = 0.7184, соответствующее полученной прямой, могло бы говорить о хорошем приближении истинной модели связи линейной моделью1. Однако характер расположения точек на диаграмме рассеяния явно указывает на наличие нелинейной связи между рассматриваемыми переменными в период с 1961 по 1969 г. (кривая Филлипса).

В связи с этим при подборе моделей к реальным статистическим данным следует обращать внимание не только

на коэффициент детерминации, но и на соответствие подобранной модели характеру статистических данных. Позднее мы специально обсудим эту проблему, известную как проблема адекватности полученной модели имеющимся статистическим данным.

Поскольку на первый взгляд расположение точек на рис. 1.24 напоминает график обратно пропорциональной зависимости, можно рассмотреть модель наблюдений

Позднее мы сможем более квалифицированно говорить о том, действительно ли получаемое при подборе модели значение коэффициента детерминации достаточно велико.

INFt = а + В - + £., / = 1,л,

UNJOB і 1

соответствующую линейной связи между переменными INF и UNJOBINV = 1 „ ^

= . Подбор такой связи приводит к модели

UNJOB F F

1

INF = -3.90 + 27.47 UNJOB

с еще более высоким значением коэффициента детерминации: Л2 = 0.8307. Однако характер диаграммы рассеяния переменных INF и UNJOBINV(рис. 1.25) указывает на нелинейную связь и между этими переменными.

Обратившись еще раз к диаграмме рассеяния исходных переменных INF и UNJOB для данных за 1961 —1969 гг. (рис. 1.24), можно заметить, что кривая зависимости INF от UNJOB, по-видимому, имеет вертикальную асимптоту INF' = 3. Последнее обстоятельство можно учесть в рамках модели Михаэли-са — Ментон (Michaelis-Menton model):

UNJOB

вг + UNJOB' которую можно преобразовать к виду

Ш = ві вл1^_

1 в2+UNJOB

предусматривающему наличие вертикальной и горизонтальной асимптот. Такая модель связи линеаризуется переходом к обратным величинам

Y —-—, X = . Действительно, тогда

INF UNJOB

Yr= і _в2+ишов і | ех _aigX

INF ві-UNJOB Єх в, UNJOB '

Диаграмма рассеяния для обратных величин Y = ——, X = і приF INF UNJOB

ведена нарис. 1.26.

Теперь уже точки на диаграмме рассеяния весьма хорошо следуют прямой линии, подобранной методом наименьших квадратов:

Y= 1.947 5.952Л; R2 = 0.9914.

0,15 0,20 0,25 0,30 UNJOBINV 0,15 0,20 0,25 0,30 UNJOBINV

Рис. 1.25 Рис. 1.26

а

Ментон имеет вид:

0.514 UNJOB 3.057 + UNJOB'

Здесь а = 1.947, /3 = -5.952, так что вх= — = 0.514, 92 =рвх = -3.057,

и оцененная модель Михаэлиса  

INF = ft

Модель Михаэлиса — Ментон хороша тем, что учитывает наличие асимптот и линеаризуется. В то же время она является лишь частным случаем более общей нелинейной модели связи

INF = e, +02+UNJOB

с тремя свободно изменяющимися параметрами. Действительно, в модели Михаэлиса — Ментон

въ = -вх • в2,

и она только двухпараметрическая, так что модель с тремя свободными параметрами является более гибкой. Однако указанная трехпараметрическая модель уже не линеаризуется, и параметры вх в2 въ приходится оценивать, используя итерационную процедуру последовательного уменьшения суммы квадратов

/=1

iNR-a

ft

в2 + UNJOB t

(конечно, в предположении аддитивности ошибок et). Стартовые значения параметров вІ9 в2 в этой процедуре можно взять близкими к оценкам в19 в2, полученным при оценивании предыдущей модели (например, вх = 0.5 в2 = -3.0), а стартовое значение въ можно положить равным 1.

3 =0.581, в2 =-3.117, 0з=1.37О;

1.370

оцененная модель имеет вид

INF = 0.5Sl + UNJOB-ЪЛМ

На рис. 1.27 показаны диаграммы наблюдаемых значений переменной INF (INFtrue) и значений (INFmodel), получаемых по оцененной модели.

Подобранная модель показывает, что экспансионистские экономические мероприятия сначала обеспечивают снижение нормы безработицы и реальный экономический рост при умеренной инфляции. Однако удержать норму безработицы ниже ее естественного уровня в течение продолжительного времени можно лишь за счет постоянно ускоряющегося темпа инфляции. К окончанию срока пребывания у власти Линдона Джонсона темп инфляции стал стремительно расти, в связи с этим потребовалась смена экономической политики.

Замечание 1.4.2. Формально можно получать все большее соответствие модели имеющимся статистическим данным, усложняя функцию связи и вводя в нее все большее количество параметров. Однако при этом становится все труднее содержательно интерпретировать параметры модели и проверять гипотезы о значениях этих параметров.

Более того, детальная модель, построенная по статистическим данным за некоторый период времени, может оказаться совершенно бесполезной для описания связи между рассматриваемыми переменными на другом временном промежутке.

Так, если рассмотреть данные о значениях переменных UNJOB и INF на более широком периоде — с 1958 по 1984 г., то для такого набора данных диаграмма рассеяния имеет вид, представленный нарис. 1.28.

На сей раз облако рассеяния довольно округло, и это согласуется с весьма низким значением коэффициента детерминации R2 = 0.0864, полученным при подборе модели линейной зависимости INF от UN JOB. Диаграмма рассеяния не указывает и на какой-либо другой тип зависимости между этими двумя переменными на расширенном периоде наблюдений.

Замечание 1.4.3. Рассматривая альтернативные модели зависимости темпа инфляции от доли безработных в общей численности рабочей силы, всякий раз мы приводили значение коэффициента детерминации, соответствующее оцененной модели. При этом использовались как модели, в которых объясняемой являлась переменная INF, так

и модель, в которой объясняемой являлась переменная ^ = ^рОднако следует иметь в виду, что сравнение значений коэффициента детерминации, полученных при оценивании моделей, в которых объясняемые переменные различны, не имеет смысла, поскольку при этом оказываются различными и полные суммы квадратов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Как ведет себя предельная склонность к потреблению при возрастании DPI в модели степенной связи между DPI и расходами на потребление?

Как ведет себя эластичность расходов на потребление при возрастании DPI в модели степенной связи между DPI и расходами на потребление?

Как ведет себя эластичность расходов на потребление при возрастании DPI в модели линейной связи между DPI и расходами на потребление?

Какие две различные эконометрические модели можно выбрать для эконометрического анализа исходя из одной и той же модели степенной связи между переменными? Как влияет при этом выбор модели на процедуру, реализующую метод наименьших квадратов?

Что дает возможность сведения модели нелинейной связи к линейной модели наблюдений?

Каковы достоинства модели Михаэлиса — Ментон? Каким образом она линеаризуется?

Частным случаем какой трехпараметрической модели является модель Михаэлиса — Ментон? Как реализуется метод наименьших квадратов в этих двух моделях?

Почему нельзя сравнивать между собой значения коэффициента детерминации, полученные при оценивании альтернативных моделей связи, в которых объясняемые переменные различны? Как можно поступать в таких случаях?