Задания для семинарских занятий, работы в компьютерном классе и для самостоятельной работы

Задания для семинарских занятий, работы в компьютерном классе и для самостоятельной работы

К разделу 7

Задание 1. Проверка гипотезы случайности: непараметрические критерии

Ниже приведены данные о значениях индекса Доу — Джонса за период с 1897 по 1913 г. Проверьте гипотезу случайности для ряда этих значений, используя критерий поворотных точек и критерий Кендалла. Проведите аналогичное исследование для логарифмической доходности индекса, определяемой как изменение логарифма индекса от года к году.

Методические указания. Описание указанных критериев приведено в Приложении П-1 к разд. 7. Проведите вычисления непосредственно, не используя пакеты программ эконометрического анализа.

Задание 2. Проверка гипотезы случайности и гипотезы нормальности

В пакете Е Views создайте новый рабочий файл с названием dj_1984_daily.wfl. На сайте http://www.measuringworth.org возьмите дневные данные по индексу Доу — Джонса (на момент закрытия) за период с 28 февраля по 31 декабря 1984 г. Поместите их в форме ряда (Series) с названием dj (ряд Index) в созданный рабочий файл.

Сначала рассмотрите период с 28 февраля по 7 июня (наблюдения с номерами 1—71). Проверьте гипотезу случайности для ряда значений индекса на этом периоде, используя критерий серий.

Проведите на этом же периоде аналогичный анализ для логарифмической доходности индекса (ряд Return), определяемой как изменение логарифма индекса от сессии к сессии, используя критерий поворотных точек, критерий Кендалла и критерий серий. После этого проверьте гипотезу о том, что значения ряда логарифмических доходностей на этом периоде образуют случайную выборку из нормального распределения, используя критерии согласия, включенные в версии пакета EViews выше 4.0 (Kolmogorov— Smirnov, Lilliefors, Cramer—von Mises, Anderson—Darling, Watson), а также критерий Харке — Бера. 3. Проведите аналогичный анализ ряда логарифмических доходностей на всем периоде 28 февраля по 31 декабря (наблюдения с номерами 1—214).

Методические указания. В этом и в следующем заданиях для вычисления значений статистик критерия поворотных точек, критерия Кендалла и критерия серий составьте соответствующие программы в пакете EViews. Для создания новой программы используйте в главном меню опции: File/New/Program. В открывшемся окне наберите текст программы, по окончании набора пошлите программу на исполнение, нажав виртуальную кнопку Run. Ниже приведены примеры программ, которые можно приспособить для каждого конкретного случая. Апострофом отделяется комментарий к соответствующей строке программы (команда, стоящая в строке после апострофа, не исполняется). (При копировании текста программы, набранного не в окне программного файла EViews, в это окно символ апострофа воспринимается программой неправильно; в EViews6 при правильном восприятии апострофа соответствующий ему комментарий выделяется зеленым цветом. Если окрашивание отсутствует, в окне программы надо удалить из текста соответствующий апостроф и набрать его непосредственно в окне программы.)

Программа, реализующая критерий серий

load dj_1984_daily.wfl Здесь указывается название рабочего файла, в котором содержатся статистические данные и в который будут записываться результаты. Если этот файл находится не в главной директории пакета, следует указать путь к нему, например, load «C:program fileseviews6econometricadj_1984_daily.wfl».

smpl 1 71 'Рассматриваются первые 71 наблюдение.

!п=71 'Количество используемых наблюдений.

series x=dj 'Процедура использует ряд dj из рабочего файла. Если

анализируется ряд логарифмических доходностей, то полагается: series х = d{o\%{dj)).

series m=@median(x) 'Строится ряд т, все значения которого равны медиане ряда х.

series sign 'Декларируется создание нового ряда sign, элементы которого равны 1 или -1 в зависимости от того, какой знак имеет отклонение значения ряда х от его медианы в данном наблюдении.

'Далее производится построение ряда sign.

'Вычисляются количество плюсов и количество минусов в последовательности отклонений от медианы, scalar п 1=0 scalar п2=0

for !i=l to !п 'Здесь !i = 1 для ряда Index и !i = 2 для ряда Return.

if x(!i)>m(!i) then

nl=nl+l

sign(!i)=l

endif

next

for !i=l to !n

if x(!i)<=m(!i) then

n2=n2+l

sign(!i)=-l

endif

next

'Вычисляются количество серий, состоящих из плюсов, и количество серий, состоящих из минусов, scalar z 1=0 scalar z2=0 !i=l

if sign(!i)>0 then 'Рассматривается ситуация, когда на первом месте стоит

плюс.

zl=l

for !i=2 to !n

if sign(!i)<sign(!i-l) then

z2=z2+l

endif

if sign(!i)>sign(!i-l) then

zl=zl+l

endif

next

else 'Рассматривается ситуация, когда на первом месте стоит

минус.

22=1

for !i=2 to !n

if sign(!i)<sign(!i-l) then

z2=z2+l

endif

if sign(!i)>sign(!i-l) then

zl=zl+l

endif

next

endif

scalar z=zl+z2 'Вычисляется общее количество серий z.

'!n=!n-l 'Если рассматривается ряд Return, то !п уменьшаем на 1.

scalar exp_z=(2*nl *n2/!n)+l 'Вычисляется математическое ожидание Z. scalar var_z=2*nl*n2*(2*nl*n2-!n)/(!nA2*(!n-l)) 'Вычисляется дисперсия Z.

scalar z_star=(z-exp_z)/@sqrt(var_z) 'Вычисляется значение статистики z*.

Программа, реализующая критерий поворотных точек

load dj_1984_daily.wfl 'См. комментарий к предыдущей программе.

!start=l !end=71

!n=!end-!start+l series x=d(log(dj))

series z=na

'Начало выборки. 'Конец выборки. 'Количество наблюдений.

'Если анализируется ряд индексов, полагается series х = dj если анализируется ряд доходностей, полагается series х = d(log(dj)).

'Декларируется создание ряда z.

'!i = 2 — для Return, !i = 1 — для Index.

scalar с 1=0 scalar c2=0 for !i=2 to !n-2 ifx(!i+l)>x(!i) thencl=l endif

ifx(!i+l)>x(!i+2)then c2=l endif

ifx(!i+l)<x(!i)thencl=0 endif

if x(!i+l)<x(!i+2) then c2=0 endif

ifcl-c2=0 then z(!i)=l

else z(!i)=0

endif

next

scalar s=@sum(z)

'Если анализируются лог-доходности, то !п уменьшается на 1. !n=!n-l

scalar exp_s=2*(!n-2)/3 scalar var_s=(16*!n-29)/90

scalar s_star=(s-exp_s)/@sqrt(var_s) 'Значение статистики S*.

Программа, вычисляющая статистику критерия Кендалла

Программа для вычисления статистики «тау Кендалла» 'Вычисляются нижняя и верхняя границы.

loaddj_1984_daily.wfl

smpl 1 71

!n=71

series x=na 'очистка.

series x=d(log(dj)) '— для Return, dj — для Index.

scalar Q Q=0

for !i=l to(!n-l) for !j=!i+l to !n

if x(!i)>x(!j) then Q=Q-f-l 'В этом блоке при равенстве значений

ставится 0.

endif

next

next

scalar Q_low=Q Q=0

for!i=l to(!n-l) for !j=!i+l to !n

if (x(!i)>x(!j) or x(!i)=x(!j)) then Q=Q+1 'В этом блоке при равенстве значений

ставится 1.

endif

next

next

scalar Q_up=Q

'Если dog(dj), надо уменьшить n на единицу: !n=!n-l

scalar tau_up= 1 -((4*Q_low)/(!n*(!n-1))) scalar tau_low= 1 -((4*Q_up)/( !n*( !n-1)))

scalar var_tau=(2*(2*!n+5))/(9*(!n*(!n-l)))

scalar taustar_low=tau_low/@sqrt(var_tau) 'Нижняя граница для тау Кендалла. scalar taustar_up=tau_up/@sqrt(var_tau) 'Верхняя граница для тау Кендалла.

Задание 3. Проверка гипотезы случайности

На сайте http://www.rts.ru возьмите дневные данные по индексу РТС-1 (на момент закрытия) за период с 9 октября 1998 г. по 10 октября 2000 г.

Проверьте гипотезу случайности для ряда значений логарифмической доходности индекса, определяемой как изменение логарифма индекса от сессии к сессии, используя критерий поворотных точек, критерий Кендалла и критерий серий.

Задание 4. Построение реализаций процесса белого шума

Смоделируйте 4 реализации процесса гауссовского белого шума с единичной дисперсией. Постройте раздельные графики этих реализаций и объединенный график для всех 4 реализаций. Для каждой реализации проведите обычную диагностику остатков от оцененной регрессии реализации на константу.

Методические указания. Образуйте новый рабочий файл white_noise.wfl, рассчитанный на 100 наблюдений, и в меню этого файла выберите опцию Genr. В открывшемся окне укажите формулу порождения ряда epsl:

epsl=@nrnd.

Снова выберите Genr, и в открывшемся окне укажите формулу порождения ряда eps2:

eps2=@nrnd.

Проделайте аналогичные действия для получения рядов eps3 и eps4.

Образуйте новый объект Group —> GroupOl — группу, включающую все полученные ряды. В меню этой группы выберите View —> Multiple Graph —» Line — это дает раздельные графики полученных рядов. В меню той же группы GroupOl выберите View —> Graph —> Line — это объединенный график для полученных рядов.

Задание 5. Проверка ряда на независимость и одинаковую распределенность с использованием критериев согласия

Проверьте гипотезы о том, что полученные в задании 4 ряды являются реализациями гауссовских процессов белого шума, используя критерии согласия, включенные в версии пакета EViews выше 4.0 (Kolmogorov—Smirnov, Lilliefors, Cramer—von Mises, Anderson—Darling, Watson).

Согласуются ли результаты применения критериев согласия с результатами диагностики, проведенной в задании 4?

Задание 6. Построение реализаций процесса авторегрессии Смоделируйте реализации (длины 100) процессов авторегрессии

Xt = at + axXt_x + et с одной и той же реализацией процесса гауссовского белого шума, полагая

Проследите за особенностями полученных реализаций. Сравните гладкость реализаций, полученных в пп. 1—3. Вокруг каких уровней происходят флуктуации построенных реализаций? Вокруг каких уровней должны происходить флуктуации в теоретических моделях? Объясните различие в поведении реализации, полученной в п. 4, и реализаций, полученных в пп. 5 и 6. Сравните скорости выхода на стационарный режим реализаций, полученных в пп. 4 и 7, 5 и 8, 6 и 9.

Методические указания. Постройте базовую реализацию процесса гауссовского белого шума под именем eps.

1. Создайте объект Series с именем xl9 используя клавишу Genr в меню рабочего файла: Enter equation —> xl=0. Создайте объект Model с именем Ml и специфицируйте его следующим образом: xl=0.1*xl(-l)+eps. В меню модели Ml выберите клавишу Solve. В открывшемся меню отключите Stop on missing data в Iteration control и нажмите клавишу ОК. В результате ряд х становится реализацией модели 1. В меню этого ряда выберите:

View: Descriptive Statistics —» Histogram and Stats.

В строке Mean указано среднее значение ряда xl, а в строке Std. Dev. — стандартное отклонение этого ряда.

Создайте объект Series с именем х2, используя клавишу Genr в меню рабочего файла: Enter equation -> х2=0. Создайте объект Model с именем М2 и специфицируйте его следующим образом: x2=0.5*x2(-l)+eps. В меню модели Ml выберите клавишу Solve. В открывшемся меню отключите Stop on missing data в Iteration control и нажмите клавишу ОК. В результате ряд х2 становится реализацией модели 2. В меню этого ряда выберите:

View: Descriptive Statistics -» Histogram and Stats.

В строке Mean указано среднее значение ряда х2, а в строке Std. Dev. — стандартное отклонение этого ряда.

Создайте объект Series с именем х39 Enter equation -» х3=0. Создайте объект Model с именем МЗ и специфицируйте его следующим образом: x3=-0.5*x3(-l)+eps. В результате ряд хЗ становится реализацией модели 3.

Создайте объект Series с именем х4, Enter equation -> х4=10. Создайте объект Model с именем М4 и специфицируйте его следующим образом: x4=5+0.5*x4(-l)+eps. В результате ряд х4 становится реализацией модели 4.

Создайте объект Series с именем х5, Enter equation —> х5=5. Создайте объект Model с именем М5 и специфицируйте его следующим образом: x5=5+0.5*x5(-l)+eps. В результате ряд х5 становится реализацией модели 5.

Создайте объект Series с именем хб, Enter equation —> х6=0. Создайте объект Model с именем Мб и специфицируйте его следующим образом: x6=5+0.5*x6(-l)+eps. В результате ряд хб становится реализацией модели 6.

Задание 7. Одно свойство коррелограммы стационарного временного ряда Докажите, что если xt — стационарный временной ряд и с — некоторая постоянная, то временные ряды xt и (xt + с) имеют одинаковые коррелограммы.

Задание 8. Свойства оператора запаздывания

Оператор запаздывания (обратного сдвига) действует на последовательность Xt следующим образом: LXt = Xt_x. Если оператор запаздывания применяется к раз, это обозначается как Lk;

LkXt = X,_kLk.

Единичный оператор при этом выражается как L0, так что

іУх^ — 1— Х^,

а обратный к L оператор — как L'1 (оператор опережения — lead operator),

L lXt = Xt+l.

Докажите следующие свойства оператора запаздывания:

LkC=C;

Lk(CXt) = CX,_k;

{Lk+Lm)Xt = LkXt + L'»Xt = Xt_k+Xt_m;

LkLmXt = X,_m_k=LmXt_k =Lm+k Xt = LmLkXt;

для£>0 1г*х, = х,+к;

если I a I < 1, то (1 aL)( +aL + c?l} + ...) Xt = Х„ так что оператор

(1 +aL + dLL2 + ...) является обратным для оператора (1 аЬ). Это соответствует записи: — = (1 + aL + a2L2 +.. ;

1-aL

если | л | > 1, то (1 - + (aL)~l + (лі)"2 + ...) Xt = aLXt. Это соответствует записи: = -(aL)~l (1 + (aL)'1 + (aL)'2 +.. )Xr

1-aL

Методические указания. Свойства 1—5 проверяются непосредственно. Для доказательства свойства 6 следует рассмотреть разность

Xt-(-aL)( + aL + a2L2 +... + anLn)Xn

а для доказательства свойства 7 — разность

(-оВД (1 аЩ + (aL)'1 + (я!)-2 +... + (aLyn )Xt

и проверить, что обе они сходятся к нулю в среднем квадратическом при п —>оо.

Задание 9. Стационарные решения AR(1) уравнения

При определении модели AR(1) Xt = aXt_x + et предполагалось, что случайные величины £t образуют инновационную последовательность, так что st — процесс белого шума с D(st) = а2 и Cov(Xt_s, st) 0 для всех s > 0. При этом было показано, что если а < 1, то стационарное решение уравнения Xt aXt_x + £t имеет

00

вид Xt =

k = 0

Покажите, что если снять условие Cov(Xt_s, €t) = 0 для всех s > 0, то уравнение Xt = aXt_x + st имеет стационарное решение и при а > 1. Найдите это решение.

Методические указания. В случае | а < 1 используйте последовательность итераций:

Xt = aXt_ i + £t = a(aXt_2 + et_ {) = ... Для случая I a > 1 начните итерации с соотношения

х-^х

a a

m = 0

Xt aXt_! +

Остается заметить, что E(Xt) = 0, и показать, что D(Xt) = const и Cov(Xt, Xt+k) зависит только от к.

Задание 10. Использование оператора запаздывания

Найдите значение выражения —.

1-0.51

Запишите случайный процесс xt = 0Лх^} + 0.2xt_2 + £t с использованием оператора запаздывания.

5 приводимых ниже заданиях под стационарностью случайного процесса подразумевается стационарность в широком смысле. Соотношение st ~ WN(0, ст^) означает, что случайный процесс st является процессом белого шума с нулевым математическим ожиданием и дисперсией &1. Предполагается, что в моделях AR последовательность значений процесса £t образует инновационную последовательность.

Задание 11. Условие стационарности процесса авторегрессии. Вычисление характеристик стационарного процесса авторегрессии

Пусть et ~ WN(09 1), тогда

а) является ли случайный процесс xt = 1 Q.5xt_x + st стационарным? Найдите

его математическое ожидание, дисперсию и автоковариации. Вычислите

первые 5 значений автокорреляционной функции и постройте ее график.

Если возможно, представьте этот процесс в виде процесса скользящего

среднего бесконечного порядка;

б) является ли случайный процесс xt = 1 2xt_x xt_2 + st стационарным?

в) является ли случайный процесс xt = 1 + O.lx,.! + 0.2xt_2 + £t стационарным? Найдите его математическое ожидание, дисперсию и автоковариации. Если возможно, представьте этот процесс в виде процесса скользящего

среднего бесконечного порядка. Вычислите первые 5 значений автокорреляционной функции и постройте ее график.

Методические указания. Для случая в) чтобы вычислить автокорреляции, используйте уравнения Юла — Уокера и найдите дисперсию, применяя выражение для /(0). Для получения МА(оо)-представления используйте соотношение:

1 1

xt = + є,.

a(L) a{L)

Задание 12. Вычисление характеристик процесса скользящего среднего Пусть £t ~ WN(0, 1), тогда

а) является ли случайный процесс xt = -5 + et 0.8^_ j стационарным? Найдите его математическое ожидание, дисперсию и автоковариации. Вычислите первые 5 значений автокорреляционной функции и постройте ее график.

Если возможно, представьте этот процесс в виде процесса авторегрессии

бесконечного порядка;

б) является ли случайный процесс xt = £t + £t_ х стационарным? Найдите его

математическое ожидание, дисперсию и автоковариации. Вычислите первые 5 значений автокорреляционной функции и постройте ее график. Если

возможно, представьте этот процесс в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка;

в) является ли случайный процесс xt -1 + st О.І£,_! 0.2£,_2 стационарным? Найдите его математическое ожидание, дисперсию и автоковариации.

Вычислите первые 5 значений автокорреляционной функции и постройте

ее график. Если возможно, представьте этот процесс в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка.

Задание 13. Частная автокорреляционная функция процесса авторегрессии Докажите, что если Xt — процесс типа AR(p), то ppart{k) = 0 для к > р.

Задание 14. Вычисление частной автокорреляционной функции

Для каждого из стационарных процессов, рассмотренных в заданиях 11 и 12, вычислите значения частной автокорреляционной функции ppart{k) для значений k = 1, 2 и 3.

Используя пакет EViews, смоделируйте реализации стационарных процессов, рассмотренных в заданиях 11 и 12, сравните средние значения полученных реализаций и их коррелограммы с теоретическими значениями.

Задание 15. Вычисление характеристик процесса ARMA

Пусть st ~ WN(09 1), рассмотрите случайный процесс xt = 1 + 0.4лгг_! + £t Q.\%xt_x.

Является ли он стационарным?

Найдите его математическое ожидание, дисперсию, автокорреляции и частные автокорреляции до 3-го порядка включительно;

Если возможно, представьте его в виде процесса авторегрессии бесконечного порядка и в виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка;

Смоделируйте его реализацию (длины 100), сравните оцененную коррело-грамму с теоретической.

Задание 16. Вычисление значений автокорреляционной функции

по известным значениям частной автокорреляционной функции

По известным значениям частной автокорреляционной функции ppart{) = 0.4 и ppart(2) = 0.6 случайного процесса найдите значения р(1) и р(2) его автокорреляционной функции.

Задание 17. Идентификация стационарной модели ARMA(p, q) по значениям ее частной автокорреляционной функции

Найдите параметры р, q стационарной модели ARMA(p, q) и коэффициенты ах, ар и bl9 bq соответствующей модели, если /^г,(1) = 0.5, ppart(2) = 0.5, РрагД) = 0лляк>3.

Задание 18. Идентификация обратимой модели ARMA(p, q) по значениям ее автокорреляционной функции

Найдите параметры р9 q обратимой модели ARMA(p, q), коэффициенты al9 ар

и Ьх,bq соответствующей модели, если рх = 0.4, рк = 0 для к > 2.

Задание 19. Вычисление коэффициентов процесса авторегрессии по значениям его автокорреляционной функции

Найдите коэффициенты стационарного процесса AR(2)9 если известно, что А = ~ и р2 = 0.

Задание 20. Идентификация модели ARMA(p, q) по значениям ее автокорреляционной функции

Найдите параметры р9 q модели ARMA(p9 q)9 коэффициенты al9 ар и bl9 bq соответствующей модели, если рх = -0.5 и рк = 0 для к > 2. Является ли эта модель обратимой?

Задание 21. Вычисление коэффициентов обратимой модели ARMA(p, q) по значениям ее автокорреляционной функции

Найдите коэффициенты обратимой модели ARMA(1, 1), для которой рх= р2 = 0.5.

Задание 22. Идентификация параметров puq модели ARMA(p, q)

В таблице заданы первые 10 значений выборочных автокорреляционной функции rk и выборочной частной автокорреляционной функции rpart(k) временного ряда хг Известно, что ряд содержит Т = 100 наблюдений. Идентифицируйте параметры р и q модели ARMA(p9 q).

Задание 23. Идентификация параметров puq модели ARMA(p, q)

В таблице заданы первые 10 значений выборочных автокорреляционной функции rk и частной автокорреляционной функции rpart(k) временного ряда хг Известно, что ряд содержит Т 100 наблюдений. Идентифицируйте параметры р и q модели ARMA(p, q).

Задание 24. Идентификация параметров puq модели ARMA(p, q)

В таблице заданы первые 10 значений выборочных автокорреляционной функции rk и частной автокорреляционной функции rpart(k) временного ряда хг Известно, что ряд содержит Т = 100 наблюдений. Идентифицируйте параметры р и q модели ARMA(p, q).

Задание 25. Построение реализаций смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего. Проблема общих множителей

Постройте реализации (длины 100) процессов

Xt = 3Xt_x 0AXt_2 + є,0.3s,_! 0.4£,_2, Y