Тема 3.3 двунаправленные модели
Тема 3.3 двунаправленные модели
Двунаправленные модели с фиксированными эффектами
Рассмотрим модель, в которую помимо индивидуальных эффектов (individual effects) а і включаются также временные эффекты (time effects) Xt
yit =// + a;+4 +Pxit+uin i = l9...9N9 t = l9...9T9
N T
где = 0, =0, так что at и A, — дифференциальные эффекты. При
этом и ai9 и А, интерпретируются как неизвестные постоянные. Обозначив
1 Т
У і = ■— ^yit и т.д. (средние по времени),
Т t=
Y N Т
у = ^yit и т.д. (средние по всем наблюдениям),
NT /=1 ,=1
получим:
(У* ~Уі-Уі+У) = (хіі ~xi-xt+x)P + (uit-ui -и,
Оценка наименьших квадратов для коэффициента /3 в этом уравнении (двунаправленная внутри групповая оценка — two-way within estimator) имеет вид:
N т
ЛЛіУи ~Уі ~Уі +У)(хп-*i-Xt + *) w
Pcv- n t ___ ~W '
1=1 t=l
На основании соотношений
(У і -У) = а і + (*/ " х)Р + («і " и) >
№ -50 = Л -й)
можно получить оценки для а і и Л,:
Л KU-^bA^ (*,"*)•
Для оценивания двунаправленной модели с фиксированными эффектами в пакете Stata применяется процедура xtreg, fe с включением дамми-пере-менных для временных периодов.
ПРИМЕР 3.3.1 (продолжение примера 3.2.3 — размер заработной платы)
Результаты оценивания двунаправленной модели с фиксированными эффектами приведены в табл. 3.32.
Заметим, что значимыми здесь оказываются оцененные коэффициенты при тех же переменных, что и в однонаправленной модели с фиксированными эффектами. Остальная часть протокола представлена в табл. 3.33. Результаты последнего теста не выявляют значимого влияния временных эффектов. ■
Таблица 3.33
Оценка двунаправленной модели с фиксированными эффектами (продолжение)
sigma_а 0.40078197 sigmaji 0.3509988
rho 0.56593121 (fraction of variance due to a J)
F test that allA_i = 0:
F(544, 3804) = 7.97, Prob >F= 0.0000 test У81 = У82 = У83 = У84 = У85 = У86 = 0
(здесь У81 — дамми-переменная, равная 1 в 1981 г. и равная 0 в остальные годы; аналогично определяются У82,У86)
F(6, 3804) = 1.96, Prob >F= 0.0680
Двунаправленные модели со случайными эффектами
Пусть теперь в двунаправленной модели
yit =iu + ai+Xt +fixit +uin і = 1,...,7V, ґ = 1,...,Г,
предполагается, что at и Я, — случайные величины и что
£(«,) = E(At) = E(uit) = 0,
[О если / Ф j9
[О если t Ф 5,
Jo-2, если/ = у И / = J, [О в противном случае,
Е(а, Я,) = 0, £(«,. и„) = О, Е(Я, ии) = О, £(«,. хй) = Е(Я, х„) = Е(ии хи) = О. Определим v,Y = а, + Я, + и,-,. Тогда
если l = j9t*S9
Cov(vinvJS) =
£)(|/л) = £)0'^) = ^+<т1+аи2, так что ошибка состоит из трех компонент. При этом
а9 если / = 5, j9
Corr(vinvs) = <
^2
—2—, если l = J9t*S9
D(vit)
о ■ ■
——, если t = S9 1Ф /,
1, если t = s9 іj9
О, если t*S9 ІФ j9
«Межсубъектная» оценка определяется следующим образом:
N
R -tl = -J2L
НЫ N д '
Х(*,-*)2
;'=1
а «межвременная» оценка равна:
т
J^(xt х)(у, у)
В -111 -Z2L
GLS-оцент равна:
Pgls = ЩРсу + щРы + \% К >
где
W W
XX _ гг XX
т т
XX XX
ф2_ <?и ,2_ °и
Иначе говоря, GLS-oijeHKa является взвешенным средним одной «внутри»-и двух «между»-оценок с весами, отражающими источники изменчивости.
• Если о2 = <т/ = 0 (такчто все at и Л, равны нулю), то
ФІ=ФІ=, о>2=^, соъ=^, txx = wxx+b„ + c„,
w w в bxv с с„ + В„ + с„
Tf XX ху _|_ хх ху ^ ^хх ху _ ху ху ху_ _
Т W ТВ тс ~w +в +с
XX XX XX XX XX XX XX XX XX
n т
= '=l '„ т = Pols (как для пула).
12>„-*)2
/=1 t=l
• При Т —> оо и N —> оо имеем фі —> О и фі —> 0, и
Pgls Pcv (как Ддя модели с фиксированными эффектами).
Можно также комбинировать фиксированные временные эффекты и случайные индивидуальные эффекты с включением дамми-переменных для временных периодов.
Критерии для индивидуальных и временных эффектов
Критерий Бройша — Пагана. Это критерий для проверки гипотезы
н0: <jI = сг| = 0 (сведение к модели пула).
Здесь опять можно использовать OLiS-оценки параметров для получения СУ^-остатков йіг
Статистика критерия BP = LMX + LM2, где
LMX =
LM2 =
NT
2(Г-1)
NT
2(7-1)
т2^
1 = 1
n t
N±uf
t=l
1=1 f=l
При гипотезе Я0 статистика BP имеет асимптотическое распределение J2(2). При гипотезе #<f: = О LMX ~ \%\) при гипотезе Н\%: <тл2 = О LM2 ~ j2(l).
В качестве альтернативных могут быть использованы F-критерии, как при проверке гипотез для фиксированных эффектов:
• для проверки гипотезы
Щ: <Ja = 0 (при условии Л, = 0)
используем применявшуюся ранее статистику:
$2 ~$
N-1
NT-N-l где S2 — RSS от ОІ^-регрессии (пул);
Sx — RSS от однонаправленной «внутригрупповой» регрессии (основанной на однонаправленной СУ-оценке);
для проверки гипотезы
Я0 :а]=а2 =--= aN_l = 0, = ^ =--= Яг_1 =0 используем статистику:
^3 ~ ^2w
N + T-2
2-way
J2w
(TV-ixr-i)-i
где S2w — RSS от двунаправленной «внутригрупповой» регрессии; для проверки гипотезы
"о
используем статистику: = 0 при Л, * 0
$4 ~ $2w
F АГ-1
^2и>
(ЛГ-1)(Г-1)-1
где SA — RSS от регрессии
(у a ~yt)(хи -*t)P + ("it щ);
• для проверки гипотезы
Я0: Л = Л2 = • • • = ЛТ_Х = 0 при а і Ф О используем статистику:
^1 ~ ^2w
(AT-ixr-D-i
Может иметь смысл трактовка at как случайных, а Л, как фиксированных эффектов.
Для рассматриваемого примера. В рамках модели с фиксированными индивидуальными и временными эффектами проверка гипотезы об отсутствии индивидуальных эффектов дает результат, представленный в табл. 3.34. Полученное значение F-статистики приводит к отвержению этой гипотезы на любом разумном уровне значимости.
Таблица 3.34
Проверка гипотезы об отсутствии индивидуальных эффектов
F test that all A J = 0:
F(544, 3804) = 7.97, Prob >F= 0.0000
Проверка в рамках той же модели гипотезы об отсутствии временных эффектов дает результат, приведенный в табл. 3.35. Гипотеза об отсутствии фиксированных временных эффектов не отвергается F-критерием на 5\%-м уровне значимости.
Таблица 3.35
test: 781 = 782 = 783 = 784 = 785 = 786 = 0 F(6, 3804) = 1.96, Prob >F= 0.0680
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Как производится оценивание двунаправленных моделей с фиксированными эффектами?
Как производится оценивание двунаправленных моделей со случайными эффектами?
Проверка гипотезы об отсутствии временных эффектов
Обсуждение Эконометрика Книга вторая Часть 3
Комментарии, рецензии и отзывы