Тема 3.3 двунаправленные модели

Тема 3.3 двунаправленные модели

Двунаправленные модели с фиксированными эффектами

Рассмотрим модель, в которую помимо индивидуальных эффектов (individual effects) а і включаются также временные эффекты (time effects) Xt

yit =// + a;+4 +Pxit+uin i = l9...9N9 t = l9...9T9

N T

где = 0, =0, так что at и A, — дифференциальные эффекты. При

этом и ai9 и А, интерпретируются как неизвестные постоянные. Обозначив

1 Т

У і = ■— ^yit и т.д. (средние по времени),

Т t=

Y N Т

у = ^yit и т.д. (средние по всем наблюдениям),

NT /=1 ,=1

получим:

(У* ~Уі-Уі+У) = (хіі ~xi-xt+x)P + (uit-ui -и,

Оценка наименьших квадратов для коэффициента /3 в этом уравнении (двунаправленная внутри групповая оценка — two-way within estimator) имеет вид:

N т

ЛЛіУи ~Уі ~Уі +У)(хп-*i-Xt + *) w

Pcv- n t ___ ~W '

1=1 t=l

На основании соотношений

(У і -У) = а і + (*/ " х)Р + («і " и) >

№ -50 = Л -й)

можно получить оценки для а і и Л,:

Л KU-^bA^ (*,"*)•

Для оценивания двунаправленной модели с фиксированными эффектами в пакете Stata применяется процедура xtreg, fe с включением дамми-пере-менных для временных периодов.

ПРИМЕР 3.3.1 (продолжение примера 3.2.3 — размер заработной платы)

Результаты оценивания двунаправленной модели с фиксированными эффектами приведены в табл. 3.32.

Заметим, что значимыми здесь оказываются оцененные коэффициенты при тех же переменных, что и в однонаправленной модели с фиксированными эффектами. Остальная часть протокола представлена в табл. 3.33. Результаты последнего теста не выявляют значимого влияния временных эффектов. ■

Таблица 3.33

Оценка двунаправленной модели с фиксированными эффектами (продолжение)

sigma_а 0.40078197 sigmaji 0.3509988

rho 0.56593121 (fraction of variance due to a J)

F test that allA_i = 0:

F(544, 3804) = 7.97, Prob >F= 0.0000 test У81 = У82 = У83 = У84 = У85 = У86 = 0

(здесь У81 — дамми-переменная, равная 1 в 1981 г. и равная 0 в остальные годы; аналогично определяются У82,У86)

F(6, 3804) = 1.96, Prob >F= 0.0680

Двунаправленные модели со случайными эффектами

Пусть теперь в двунаправленной модели

yit =iu + ai+Xt +fixit +uin і = 1,...,7V, ґ = 1,...,Г,

предполагается, что at и Я, — случайные величины и что

£(«,) = E(At) = E(uit) = 0,

[О если / Ф j9

[О если t Ф 5,

Jo-2, если/ = у И / = J, [О в противном случае,

Е(а, Я,) = 0, £(«,. и„) = О, Е(Я, ии) = О, £(«,. хй) = Е(Я, х„) = Е(ии хи) = О. Определим v,Y = а, + Я, + и,-,. Тогда

если l = j9t*S9

Cov(vinvJS) =

£)(|/л) = £)0'^) = ^+<т1+аи2, так что ошибка состоит из трех компонент. При этом

а9 если / = 5, j9

Corr(vinvs) = <

^2

—2—, если l = J9t*S9

D(vit)

о ■ ■

——, если t = S9 1Ф /,

1, если t = s9 іj9

О, если t*S9 ІФ j9

«Межсубъектная» оценка определяется следующим образом:

N

R -tl = -J2L

НЫ N д '

Х(*,-*)2

;'=1

а «межвременная» оценка равна:

т

J^(xt х)(у, у)

В -111 -Z2L

GLS-оцент равна:

Pgls = ЩРсу + щРы + \% К >

где

W W

XX _ гг XX

т т

XX XX

ф2_ <?и ,2_ °и

Иначе говоря, GLS-oijeHKa является взвешенным средним одной «внутри»-и двух «между»-оценок с весами, отражающими источники изменчивости.

• Если о2 = <т/ = 0 (такчто все at и Л, равны нулю), то

ФІ=ФІ=, о>2=^, соъ=^, txx = wxx+b„ + c„,

w w в bxv с с„ + В„ + с„

Tf XX ху _|_ хх ху ^ ^хх ху _ ху ху ху_ _

Т W ТВ тс ~w +в +с

XX XX XX XX XX XX XX XX XX

n т

= '=l '„ т = Pols (как для пула).

12>„-*)2

/=1 t=l

• При Т —> оо и N —> оо имеем фі —> О и фі —> 0, и

Pgls Pcv (как Ддя модели с фиксированными эффектами).

Можно также комбинировать фиксированные временные эффекты и случайные индивидуальные эффекты с включением дамми-переменных для временных периодов.

Критерии для индивидуальных и временных эффектов

Критерий Бройша — Пагана. Это критерий для проверки гипотезы

н0: <jI = сг| = 0 (сведение к модели пула).

Здесь опять можно использовать OLiS-оценки параметров для получения СУ^-остатков йіг

Статистика критерия BP = LMX + LM2, где

LMX =

LM2 =

NT

2(Г-1)

NT

2(7-1)

т2^

1 = 1

n t

N±uf

t=l

1=1 f=l

При гипотезе Я0 статистика BP имеет асимптотическое распределение J2(2). При гипотезе #<f: = О LMX ~ \%\) при гипотезе Н\%: <тл2 = О LM2 ~ j2(l).

В качестве альтернативных могут быть использованы F-критерии, как при проверке гипотез для фиксированных эффектов:

• для проверки гипотезы

Щ: <Ja = 0 (при условии Л, = 0)

используем применявшуюся ранее статистику:

$2 ~$

N-1

NT-N-l где S2 — RSS от ОІ^-регрессии (пул);

Sx — RSS от однонаправленной «внутригрупповой» регрессии (основанной на однонаправленной СУ-оценке);

для проверки гипотезы

Я0 :а]=а2 =--= aN_l = 0, = ^ =--= Яг_1 =0 используем статистику:

^3 ~ ^2w

N + T-2

2-way

J2w

(TV-ixr-i)-i

где S2w — RSS от двунаправленной «внутригрупповой» регрессии; для проверки гипотезы

"о

используем статистику: = 0 при Л, * 0

$4 ~ $2w

F АГ-1

^2и>

(ЛГ-1)(Г-1)-1

где SA — RSS от регрессии

(у a ~yt)(хи -*t)P + ("it щ);

• для проверки гипотезы

Я0: Л = Л2 = • • • = ЛТ_Х = 0 при а і Ф О используем статистику:

^1 ~ ^2w

(AT-ixr-D-i

Может иметь смысл трактовка at как случайных, а Л, как фиксированных эффектов.

Для рассматриваемого примера. В рамках модели с фиксированными индивидуальными и временными эффектами проверка гипотезы об отсутствии индивидуальных эффектов дает результат, представленный в табл. 3.34. Полученное значение F-статистики приводит к отвержению этой гипотезы на любом разумном уровне значимости.

Таблица 3.34

Проверка гипотезы об отсутствии индивидуальных эффектов

F test that all A J = 0:

F(544, 3804) = 7.97, Prob >F= 0.0000

Проверка в рамках той же модели гипотезы об отсутствии временных эффектов дает результат, приведенный в табл. 3.35. Гипотеза об отсутствии фиксированных временных эффектов не отвергается F-критерием на 5\%-м уровне значимости.

Таблица 3.35

test: 781 = 782 = 783 = 784 = 785 = 786 = 0 F(6, 3804) = 1.96, Prob >F= 0.0680

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Как производится оценивание двунаправленных моделей с фиксированными эффектами?

Как производится оценивание двунаправленных моделей со случайными эффектами?

Проверка гипотезы об отсутствии временных эффектов