Тема 3.5 динамические модели
Тема 3.5 динамические модели
Динамическая модель: несостоятельность «внутри»-оценки
Ранее была рассмотрена двунаправленная модель, в которую помимо индивидуальных эффектов at включались также временные эффекты Л,:
уи =ju + at+At +[5xit +uin / = 1,...,#, f = 1,...,Г.
При этом индивидуальные эффекты at оставались постоянными во времени, а временные эффекты Л, не изменялись от субъекта к субъекту. Между тем довольно часто панельные данные используются для оценивания связей, которые имеют динамический характер. В таких ситуациях естественно рассматривать модели, содержащие в правых частях уравнений запаздывающие значения объясняемой переменной; в простейшем случае таковой является динамическая модель
У и = ГУ и t+ai+u»> 1 = I • • • > N> t = l9...9T9
в которой / < 1, uit Lid. N(0, сг„2) — инновации (так что E(uit yijt_k) = 0 для к > 0). Будем предполагать, что значения yit наблюдаются для / = 0, 1, Т. «Внутри»-оценка (ковариационная оценка) для у имеет вид:
N Т
Ц(Л-Й(Дм-Лгі)
_ /=1 t=
Усу - N т
Ц(Дм-Д-і)2
где
В соответствии с определением модели,
У і = 7 Z (ГДм + <*/ + w*) = УУи-х + + и / >
7 г=1
1 т
где и, = —Zw/" так что
У it У і = Г( Д ,-1 Уі,-1) + (U it U)
/=і /=і
NT
ZZovi-д-і)2
/=1 г=1
Такая оценка существует, если знаменатель дроби в правой части последнего выражения отличен от нуля.
Можно показать (см., например, (Hsiao С, 2003, р. 72)), что предел по вероятности числителя дроби в правой части последнего выражения равен:
i N т
р lim Z Z ("к їїі ) (дм Д-і)=
i= t=
j N f T T T ^
=p Іш Z Z ua д м и, Z Дм д-і Z w*+т їїі д00 7V7 /=iU=i /=і /=i
7V->oo ДГ f
1 * cr = ^i™T7Z(-^,-i) = -^
1=1
Т--Ту + у
а предел по вероятности знаменателя этой дроби равен:
NT -2
^1 (r-i)-W
Г Г2(1-/)2
Отсюда вытекает, что если не только N -> оо, но и Т -» оо, то первый предел по вероятности стремится к нулю, а второй — к отличному от нуля значению
1-у
так что р lim ycv = у,и ycv является состоятельной оценкой параметра у
N-+cc
Если же значение Г фиксированное, тогда первый предел не равен нулю и р lim ycv у, так что оценка ycv несостоятельна.
N-+cc
Асимптотическое смещение оценки уСу является следствием «внутри»-преобразования, выметающего индивидуальные эффекты at из каждого наблюдения, что порождает корреляцию между остатками (uit ut) в преобразованной модели и объясняющей переменной (yut_x -Уі,-)Когда Г велико, эта корреляция близка к нулю. Для малых значений Т смещение отрицательно, если у > О, и не стремится к нулю при у^> 0. Поскольку в типичной панели Т мало, возникающее смещение трудно игнорировать. Например, для Т = 2
+ у
асимптотическое смещение равно . На рис. 3.6 показано, как асимптотическое смещение оценки ycv изменяется с ростом Г.
Получение состоятельной оценки: обобщенный метод моментов
«Внутри»-оценка остается несостоятельной при малых Т и когда в правую часть уравнения модели добавляются экзогенные объясняющие переменные.
Для преодоления этой проблемы можно воспользоваться другим преобразованием, выметающим ц: вместо вычитания средних по времени перейти к первым разностям временных рядов для каждого субъекта. При этом получаем:
Л t ~ у і, t= г (у і, t- ) + (utt ui. /-і )> / = 1,..., t = 2,Г,
или где обозначено:
ДД t = Д t ~ Дм > Аип = uu ~ ui, t-x •
Здесь
Cov(Ay/eM, Дміг) = Соу(дм д,_2, uit -ui\%t_x) = -Cov(yit_x, uit_x)*Q.
Поэтому 015-оценка для у в преобразованном («продифференцированном») уравнении оказывается несостоятельной, даже если Т —> оо. Однако к преобразованному уравнению можно применить метод инструментальных переменных. Для этого достаточно заметить, что если взять переменную
Cov(yu ,_2, Aw/Y) = Cov(д ,_2, uit uit t_x) = 0,
Cov{yit_2, Ayu.x) = Cov(yit_2, yit_x -д,_2) * 0,
а это означает, что данная переменная может использоваться в качестве инструмента для Ayit_x = уид ,_2, и это приводит к оценке:
ы т
'iv ~ n т
Ц(Д/-ГДг-2)Д/-2
/=1/ = 2
Необходимое условие состоятельности этой оценки:
J # г
при Г—> оо или/и 7V—> оо.
В качестве инструмента для Ay/W_! = .y/f/-i ~Уі9І-2 вместо д,_2 можно использовать, например, разность (д,_2 Д ,_3), что приводит к другой оценке:
n т
Z Z (Д / " Д /-і XД /-2 Д /-з)
_ / = 1 ; = 3 Уiv - n т
Z Е<Д/-1 Д/-2>(Д/-2 Д/-з)
/=1t=3
для состоятельности которой необходимо, чтобы
j n т
р lim У У (и,., -и,, ,)(у,, 9 -V,, -») = 0.
Состоятельность обеих оценок гарантируется отсутствием автокоррелиро-ванности и,,.
Заметим теперь, что
| NT
j NT
p lim У У (uit U: ,_i)(v, ,_2 ->> з) =
^^oo N(T-2)J^X^3 ' '
= £[(«Г«/,м)(Л,г-2-Л,г-з)] = 0'
Это условия на моменты совместных распределений пар случайных величин (uit ии_хуи_2 и (uit uit_x (уи_2 -д,_3). Если оба эти условия ортогональности, моментные условия (orthogonality conditions, moment conditions) выполняются, то применение сразу двух инструментов приводит к повышению эффективности оценок (используется большее количество информации). Заметим, что можно найти и другие подходящие инструменты. Например, каждая из переменныхуи-2-], У = О» U ••• удовлетворяет условиям
E[(uit-uit_x)yit_2_j] = ^
Е[(уи-х-уи-2)Уи-2-М^
так что для Ayit_x =yUt_x -Д,_2 и эти переменные годятся в качестве инструментов.
С учетом того, что у нас / = 2, ..., Г, можно, следуя работе Ареллано и Бонда (Arellano, Bond, 1991), создать список инструментов, поступая следующим образом.
Предположим, что Т2, так что имеем только уравнения
У и 2 ~ У и і = У^Уи і " У и о) + (w/2 " Ч і)' * = Ъ—>М. В силу сказанного выше в качестве инструмента для Ауих =уих -До годится переменная д0.
Если Т= 3, так что для каждого і = 1,TV имеем 2 уравнения:
Уі,2 -Уіл=У{Уіл -Л.о) + (И/2 ~иіЛ
У і, з У и 2 = ГІУі, 2-Уі,) + ("із «/, 2 I то в качестве инструмента для Ayu =укх -д0 опять годится переменная д0, а в качестве инструмента для Ау/2 = У иг ~ Уі, — как До» так и ДіСоответственно соотношение
Е[(иі2-ип)уі0] = 0
рассматривается как моментное условие для / = 2, а для t = 3 имеем пару моментных условий:
Е [(ui3 ui2 )yiX ] = О, Е [(ui3 и,.2)yi0 ] = 0.
Если Т = 4, то для / = 2 и / = 3 годятся те же условия, что и в случае / = 3, а для t = 4 — три моментных условия:
Е[(иі4-иі3)уі0] = 0,
Е[(иі4-иі3)уп] = 09
Е[(иІА-иІЗ)уі2] = 0.
T(T-l)
Всю эту совокупность —моментных условии можно использовать
в рамках обобщенного метода моментов (GMM — Generalized Method of Moments).
Для произвольного Г определим (Г1) х 1-вектор:
Дм,=
і, Г-1
Т(Т-)
и (Г-1)х матрицу:
О [Уіо,Уп]
о
о о
0 [Ут—>Уі,т-г
Каждая строка матрицы Z, содержит инструменты, подходящие для соответствующего момента времени. В этих обозначениях указанная совокупна -1)
ность моментных условии записывается в виде:
E[Z[Aui] = 0.
Если определить еще
Уа-Уп
Уп-Ую
Уі,т-Уі,т-
Дг-і-Дг-2
то последнее соотношение записывается также в виде:
£[Zf (Ад;.-ГДд _,)] = ().
В отличие от метода наименьших квадратов, количество моментных условий здесь больше числа условий, необходимых для определения с их помощью значения у так что использование разных условий приводит к различным оценкам. Следовательно, нет возможности получить значение у при котором выполняются все указанные моментные условия. Вместо этого приходится ограничиваться требованием в каком-то смысле «наилучшего» приближения ко всем моментным условиям сразу. Чтобы использовать всю совокупность моментных условий, в GMM минимизируется квадратичная форма от выборочных аналогов моментных условий:
000 =
где WN — симметричная положительно определенная взвешивающая матрица. Искомый минимум достигается при значении, равном
(г
-1
Ygmm —
2>[_,Z, WN ^ZfAy,
2>[-iZ, WN ^ZfAy,
1=1
/=1
Это и есть GMM-оценка параметра у. Свойства этой оценки зависят от выбора взвешивающей матрицы WN. При положительной определенности матрицы WN — в частности, для единичной матрицы WN = IN — GMM-оценка состоятельна.
Однако желательно выбирать матрицу WN таким образом, чтобы GMM-оценка была по возможности наиболее эффективной, — о такой матрице говорят как об оптимальной взвешивающей матрице (optimal weighting matrix). Такая матрица должна удовлетворять условию:
р lim WN =(Cov(ZfAW/))-1 =[£(Z/rAi*|.(Ai*/)rZ/)]-1.
jV->oo
Если на ковариационную матрицу вектора ошибок наблюдений для /-го субъекта не накладывается никаких ограничений, можно поступить следующим образом.
Сначала полагаем WN = IN и производим GMM-оценивание коэффициента у в модели Ад, = yAyit_x + Auit с такой взвешивающей матрицей, определяя предварительную оценку у{Х) для у. При этом получаем остатки
СО)/
и составляем из них векторы
Aui2
Аи. =
Айит
Искомая матрица определяется после этого соотношением
( і n
N м )
Если и,., ~ i.i.d., то положение значительно упрощается. В этом случае
(2 | -1 | 0 .. | . 0 | ||
-1 | 2 | -1 .. | . 0 | 0 | |
Е(Аиі(Аиі)Т) = ст2С = ст2 | 0 | -1 | 2 .. | . 0 | 0 |
0 | 0 | 0 .. | . 2 | -1 | |
0 | 0 .. | . -1 | 2, |
и поэтому не требуется предварительного оценивания у. Оптимальная матрица определяется соотношением
-YZ,rGZ,.
и GMM-оценивание производится за один шаг.
В общем случае GMM-оценка yGMM имеет асимптотически нормальное распределение с ковариационной матрицей
р lim
jV->oo
^7І>.-^z](l-tz!Aui(AuifZi I Wz/Ay,..,
Если м„ ~ i.i.d, то средняя составляющая редуцируется к
Ґ Л N Vі
lYZ,rGZ,.
Рассмотрим теперь динамическую модель с экзогенными переменными:
У а = ГУи-і + ХІР + ai + и»> * = і,/ = і,.г. Здесь дифференцирование приводит к модели
Ду., = уДу. м + Ьхр + Лмй.
Если предполагать, что все /? объясняющих переменных, входящих в состав вектора xit9 строго экзогенны — в том смысле, что они не коррелированы с каждым uis9 тогда
E(xit Auis) = О для всех s9
так что в указанные ранее списки инструментов для каждого момента (периода) времени можно добавить хП9 xiT. Тогда для момента t список инструментов принимает вид: [у/0, уП9 уи_2> хп-> •••> хітТакой список может быть весьма длинным, если р и Т не очень малы. В то же время при строгой экзогенности xit имеем также:
E(Axit Auit) = О для каждого t,
так что Axit могут выступать в качестве инструментов для самих себя. При
таком подходе список инструментов для момента t имеет вид: [yz0, yil9
yi>t-2> Д^ії]Этот список существенно короче, если панель достаточно
длинна.
Предположим теперь, что переменные в xit не являются строго экзогенными, но являются предешерминированными — в том смысле, что
E(xit uis) = О для всех s > t.
В этом случае уже не все хП9 xiT годятся в качестве инструментов для продифференцированного уравнения в момент а только хП9 xiи соответственно накладываются моментные условия
Е(хи t4 Auit) = 0 для j = 11.
Разумеется, если в состав хп входят как строго эндогенные, так и преде-терминированные переменные, то списки инструментов соответствующим образом корректируются.
і/ Замечание 3.5.1. Указанная выше «оптимальная» взвешивающая матрица является оптимальной в отношении выбранного множества инструментов. В то же время возникает вопрос об «оптимальном» выборе самих инструментов.
Привлечение большего количества инструментов подразумевает получение более эффективных оценок. Однако здесь возникают две опасности:
некоторые из переменных, привлеченных в качестве инструментов, в действительности могут быть коррелированными с ошибками; для предотвращения таких ситуаций необходимо проверять гипотезу о выполнении соответствующих условий ортогональности;
оценки коэффициентов могут иметь значительное смещение вследствие оценивания взвешивающей матрицы WN.
Проверка гипотез о правильности спецификации динамической модели
ПРИМЕР 3.5.1
Вернемся к приведенным ранее данным об объемах инвестиций у и прибыли х трех предприятий (N = 3) за десятилетний период (Г = 10) и рассмотрим на этот раз динамическую модель первого порядка
У it =jU + (*i+ Г У і, t-i + A xit + 02xi, t-i +uit> / = 1, 2,3, t = 2,..., 10.
Дифференцирование приводит к модели для разностей:
Ayit = yAyit_x + A Ax/Y + P2Axit_x + Аиіп і = 1, 2,3, Г = 3,..., 10.
В программе xtabond в пакете Stata 8 в качестве инструментов используются переменные, указанные в табл. 3.43, а также Ахі3 + ... + Дх/10 и Axi2 + ... + Ах/9.
Это дает всего 38 (36 + 2) моментных условий. Поскольку модель в разностях содержит 3 неизвестных коэффициента, для оценивания этих коэффициентов достаточно использовать только 3 моментных условия, а остальные 35 (38 3) условий — избыточные. Их можно было бы не использовать, но это снизило бы эффективность получаемых оценок. ■
Вместе с тем наличие избыточных условий позволяет проверять адекватность сделанных в отношении модели предположений. Точнее говоря, возникает возможность проверки гипотезы Н0 о том, что избыточные условия (выведенные на основании исходных предположений о рассматриваемой модели) действительно выполняются. Для проверки этой гипотезы используется статистика Саргана (Sargan statistic):
S = NQ(eGMM),
где 0GMM — GMM-оценка вектора коэффициентов в модели (в нашем примере в= (у, А, PiY) Q0gmm) — значение при в всмм квадратичной формы, минимизируемой в методе GMM.
Если гипотеза Н0 справедлива, то статистика Саргана имеет асимптотическое (при N оо) распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным количеству избыточных моментных условий (в нашем примере оно равно 35).
Приведем теперь (табл. 3.44) результаты применения программы xtabond при использовании взвешивающей матрицы
і N
wopt
(так что оценивание производится за один шаг).
Результаты применения критерия Саргана говорят в пользу гипотезы о выполнении избыточных предположений. В то же время коэффициенты при запаздывающей разности значений объясняемой переменной и запаздывающей разности объясняющей переменной статистически незначимы, что возвращает нас к статической модели регрессии.
В программе xtabond пакета Stata8 используется еще один критерий проверки адекватности модели. Он основан на следующем обстоятельстве. Если ошибки ип, uiT взаимно независимы, то:
соседние разности Awzl, Auit_x коррелированы, так как
Corr(AuinAuit_x) = Corr(uit-uit_x,uit_x-uUt_2) = -<j2u
отстоящие на большее количество периодов времени разности Аип, Auit_s, s = 2, 3, напротив, не являются коррелированными.
Соответственно для дополнительной проверки адекватности оцененной модели проверяется наличие автокоррелированности первого порядка и отсутствие автокоррелированности второго порядка. Результаты такой проверки для только что оцененной модели выглядят следующим образом:
Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 1 is 0:
H0: no autocorrelation z = -2.56, Pr>z = 0.0106. Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of order 2 is 0:
H0: no autocorrelation z = 0.77, Pr>z = 0.4427.
Полученные результаты подтверждают правильность сделанных предположений об ошибках.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какая проблема возникает при попытке использования «внутри»-оценки для оценивания коэффициентов динамической модели с фиксированными эффектами? Какое преобразование помогает обойти эту проблему?
В чем состоит обобщенный метод моментов? Как он используется для оценивания коэффициентов динамической модели с фиксированными эффектами?
Как можно проверить гипотезу о правильности спецификации динамической модели, оцененной обобщенным методом моментов?
Обсуждение Эконометрика Книга вторая Часть 3
Комментарии, рецензии и отзывы