Часть 3 системы одновременных уравнений, панельные данные, модели с дискретными и ограниченными объясняемыми переменными раздел 1 системы одновременных уравнений тема 1.1 идентифицируемость структурной формы системы одновременных уравнений

Часть 3 системы одновременных уравнений, панельные данные, модели с дискретными и ограниченными объясняемыми переменными раздел 1 системы одновременных уравнений тема 1.1 идентифицируемость структурной формы системы одновременных уравнений: Эконометрика Книга вторая Часть 3, Носко Владимир Петрович, 2011 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В учебнике излагаются методы эконометрического анализа — от самых простых до весьма продвинутых. В основе учебника — курсы лекций, прочитанные автором в Институте экономической политики им. Е.Т. Гайдара, на механико-математическом факультете..

Часть 3 системы одновременных уравнений, панельные данные, модели с дискретными и ограниченными объясняемыми переменными раздел 1 системы одновременных уравнений тема 1.1 идентифицируемость структурной формы системы одновременных уравнений

В разд. 6 первой части учебника уже рассматривалась система одновременных уравнений, соответствующая модели замкнутой экономики без правительства. В этой модели уравнение

С, = а + pYt + et,

где С, — реальное потребление на душу населения; Yt — реальный доход на душу населения; et — случайная ошибка,

дополняется соотношением

Y,=Ct+I„

где It — реальные инвестиции на душу населения. Это приводит к системе уравнений

С, = а + pYt +et Yt=Ct+It.

О такой системе уравнений говорят как о структурной форме системы одновременных уравнений (structural form of simultaneous equations), подразумевая под этим, что она представляет в явном виде взаимные связи между входящими в модель переменными, показывает, как эти переменные взаимо-

Одиночное уравнение (single equation)

С, = а + j3Yt + et

Система уравнений (simultaneous equations)

Ct=cc + /3Yt + st 1>С, + /,

Подпись: Подпись:

t t

Подпись: Подпись: Подпись:
Рис. 1.1

действуют друг с другом (в данном случае Yt воздействует на С„ а С, воздействует на Yt — см. рис. 1.1). В структурной форме модели одновременных уравнений переменная, являющаяся объясняемой переменной в одном из уравнений, может входить в другое уравнение в качестве объясняющей переменной.

Выражая из этой системы С, и Yt через /„ получим приведенную форму системы одновременных уравнений {reducedform of simultaneous equations) в виде:

a P t 1

' -p 1-J3 ' 1-J3 '

a 1 1

Yt = + L + et9

' -p 1-J3 ' 1-J3 '

или

I С, =a + plt +st [Yt=y+8It+et9

где

a-y

1-А

s =

(1-/?)

2 *

В такой форме взаимодействие между С, и Yt уже не представлено в явном виде, однако коэффициенты приведенной формы отражают итог взаимодействия этих переменных.

В разд. 6 части 1 предполагали, что st ~ i.i.d., E(st) = О, D(et) = а2 > О и что для каждого / случайные величины It и st независимы. Тогда из второго уравнения приведенной формы находим:

2

Cov(Ynet) = j^Cov(enet) = -^*Q,

так что в исходном уравнении для С, объясняющая переменная Yt коррелирована с ошибкой. При этом для оценки /? коэффициента Д получаемой по п наблюдениям применением метода наименьших квадратов к исходному уравнению, имеем:

"-><*> D(Yt)

где

D(Y) = -^(D(It) + cr2),

Ршр = р+(-р)

D(It) + cr2

Поскольку а2 > О и в модели Кейнса 0 < /? < 1, то /? переоценивает значение нормы потребления.

Учитывая это осложнение, в разд. 6 ч. 1 рассматривалось опосредованное получение оценок коэффициентов структурной формы через оценки коэффициентов уравнений приведенной формы. Применив метод наименьших квадратов к первому уравнению приведенной формы, найдем оценки коэффициентов а и Р и оценку дисперсии ст-2. После этого можно найти оценки для параметров исходного уравнения, используя соотношения

Р = -^~, а = —^, а2£= 8—

1 + Р 1 + Р (l + fi)

Таким образом, структурная форма восстанавливается по первому уравнению приведенной формы. Второе уравнение оказывается в этом плане избыточным. Но, используя одно это уравнение, также можно восстановить структурную форму. Применив метод наименьших квадратов к этому уравнению, найдем оценки коэффициентов у и 8 и оценку дисперсии о~. После этого можно найти оценки для параметров исходного уравнения, используя соотношения

Возникает вопрос: совпадают ли результаты восстановления параметров структурной формы, полученные по двум различным уравнениям приведенной формы?

Используя выражения для а, /?и а2, найдем:

8 1 + /Г 8 1 + /Г 82 (1 + /?)2'

Таким образом, зная истинные значения параметров уравнений приведенной формы, однозначно восстанавливаем по ним значения параметров структурной формы. Однако это если знаем истинные значения параметров уравнений приведенной формы, но они нам не известны, их приходится оценивать по имеющимся статистическим данным. При этом оценки параметров структурной формы, полученные с помощью оценок коэффициентов для разных уравнений приведенной формы, могут в общем случае отличаться друг от друга. И это связано с тем, что количество параметров приведенной формы больше минимально необходимого их числа для восстановления значений параметров структурной формы.

Между тем в примере 6.2.2 разд. 6 ч. 1 оценки параметров структурной формы, полученные с помощью оценок коэффициентов для разных уравнений приведенной формы, оказались одинаковыми. Почему это произошло?

Использование оценок коэффициентов первого уравнения приведенной формы приводит к следующим оценкам для а и /?:

/? = -^г, а = -;

1 + Д 1 + Д

использование оценок коэффициентов второго уравнения приведенной формы приводит к оценкам:

h 8-І Л J 8 8

Полученные этими двумя способами оценки коэффициента /? будут совпадать, если ^ А = -^Д, т.е. если 8 = Р +1. В то же время 1 + Д 8

Cov(CrIt)

С, = a + j3It +st -> J3=Var(It)

Yt = y + 8It + st -> U C°ViY^ = Cov(C' + /"7'> = Cov(C<J<hl = e+L

' ' ' Var(It) Var(It) Var(It)

Таким образом, указанное соотношение выполняется, поэтому оценки коэффициента Д полученные с использованием оценок коэффициентов для разных уравнений приведенной формы, совпадают. Аналогичный результат справедлив и для оценок коэффициента а, полученных с использованием оценок коэффициентов для разных уравнений приведенной формы. Рассмотрим теперь простейшую модель рынка некоторого товара:

Qd=a0+axP <Qs=b0+bxP

Qs=Qd,

где Qs— предложение товара (supply); Qd— спрос на товар (demand); Р — цена единицы товара (price); ах < О, Ьх > 0.

Если правила определения объемов предложения и спроса известны, т.е. известны коэффициенты а09 al9 Ь0 и Ьи то при отсутствии флуктуации равновесное решение для цены Р и спроса Q находится без труда. Здесь в наличии система двух линейных уравнений с двумя неизвестными Р и Q:

(Q-axP = a0 [Q-bxP = b09

решением которой является пара значений

Ъх-ах ' Ъх-ах 9

которые есть координаты точки пересечения прямых спроса и предложения (прямые d и s на рис. 1.2). При а0 > Ь0 оба эти значения положительны.

Предположим, что спрос подвержен случайным флуктуациям, изменяющим а0 до значения (а0 + ut) в t-м наблюдении, а предложение подвержено флуктуациям, изменяющим в /-м наблюдении Ь0 до значения (b0 + vr), так что,

fQt=a0+axPt+ut

Тогда каждому t соответствуют свои равновесные значения цены Р, и спроса Q„ являющиеся решениями системы

[Qt-aipt=ao+ui Qt-bxPt=b0+vt.

Поскольку значения Pt и Qt определяются внутри системы, о переменных Pt и Qt говорят как об эндогенных (endogenous) переменных. Их значения в /-м наблюдении определяются коэффициентами а09 ах, Ь09 Ьх и внешними случайными воздействиями («шоками») ип vr

q

Обращаясь к оцениванию уравнения Qt = а + ДР, -Ist по наблюдаемым значениям Pt и Qn t = 1,п, статистик даже не знает, что он оценивает: прямую спроса или прямую предложения. Так, оценивание методом наименьших квадратов линейной модели зависимости потребления свинины на душу населения США от оптовых цен на свинину по годовым данным за период с 1948 по 1961 г. дает результаты, приведенные в табл. 1.1.

Хотя формально отрицательное значение оценки коэффициента при цене говорит о том, что мы имеем дело с уравнением спроса, эта оценка оказывается статистически незначимой при любом разумном выборе уровня значимости, так что в доверительный интервал для данного коэффициента попадают как отрицательные, так и положительные значения.

Получив выражение для Pt из второго уравнения системы и подставив это выражение вместо Pt в первое уравнение, найдем:

Qi = a0bx-axb0 +Ь_^-а^ = Жх+^ Ьх — ах Ъх —ах

Выражение для Qt из первого уравнения системы подставим во второе уравнение, в результате получим:

a0-b0 ut-vt

Ч -Т +7 ~П2 +Wt2'

Ьх-ах Ъх-ах

Пара уравнений

[Qt=7ix+wn

{Pt=7T2+Wt2

представляет приведенную форму системы. Заметим, что здесь существует корреляция между ошибками в разных уравнениях приведенной формы при одном и том же /, даже если ошибки в структурной системе не коррелиро-ваны: в последнем случае

Cov(wtX, wt2) = Cov

rbxut-axvt ut-vl л Ъх-ах ' bx-aXJ

l—(bxD(ut) + axD(vt)).

(Ьх-ах)

Однако, поскольку в правых частях обоих уравнений приведенной формы одни и те же объясняющие переменные (в данном случае одна объясняющая переменная, тождественно равная 1), оценки коэффициентов приведенной формы, учитывающие наличие корреляции между ошибками в разных уравнениях (т.е. оценки, получаемые применением обобщенного метода наименьших квадратов — GLS), численно совпадают с оценками, получаемыми раздельным оцениванием обоих уравнений обычным методом наименьших квадратов — OLS1. Получив таким образом оценки яХ9 пъ тем самым найдем

г „ афх-ахЪс, cir.-br, тт

оценки для дробей — и ——-. Но этих двух оценок недостаточно

Ъх — ах Ьх— ах

для восстановления по ним значений 4 коэффициентов а0, al9 b0, bx структурных уравнений, так что здесь имеет место недоидентифицированность (underidentificatiori) или неидентифицируемость (non-identification) структурной формы системы.

Включим в правую часть уравнения спроса доход (например, совокупный располагаемый доход) Yt9 система примет вид:

(Qt=a0+axPt+a2Yt+ut [Qt=b0+bxPt+vr

Действуя аналогично предыдущему случаю, находим приведенную форму:

_ a A -axb0 а2Ъх bxut -axvt _

Ut ~—7 + 7 Yt +~7 +K2 t+Wn>

ox — ax bx— ax bx — ax

Pt - + Yf + = 7tx 2 + 7t2 2 Yt + Wf 2 .

bx —ax ox— ax bx — ax

1 Этот факт был установлен в работе {Dwivedi, Srivastava, 1978).

В приведенной форме 4 коэффициента, тогда как в структурной форме — 5 коэффициентов. Поэтому и здесь невозможно восстановить все коэффици

'О'

енты структурной формы по коэффициентам приведенной формы. Однако кое-что сделать все же можно. Прежде всего заметим, что

так что коэффициенты уравнения предложения восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы. В то же время для восстановления коэффициентов уравнения спроса остается только два выражения, так что восстановить однозначно их значения не представляется возможным. Таким образом, здесь уравнение предложения идентифицируемо, а уравнение спроса неиден-тифицируемо: система частично идентифицируема {partially identified).

ПРИМЕР 1.1.2

На рис. 1.4 показана реализация следующего процесса порождения данных:

DGP: 0, = 20-0.5Р,+ 0.17,+ м„ (спрос) Qt = 10 + 0.5Р, + v„ (предложение) w„ vt ~ i.i.d. N(0, 1), Yt = 1000 + ЮО77,, /=1,2,100, где rjl9 tj2, 77юо—случайная выборка из равномерного распределения в

Подпись:
интервале (0, 1).

В этом случае на диаграмме выявляется направление прямой предложения.■

Пополним теперь уравнение предложения. Если рассматриваемый товар — продукт сельскохозяйственного производства, то в качестве объясняющей переменной в правую часть этого уравнения естественно включить какой-либо подходящий индекс климатических условий (например, среднее количество осадков в соответствующий период Rt). Тогда получим систему:

70 Р

(Qt=a0+axPt+a2Yt+ut [Qt=b0+bxPt+b2Rt+vt

с 6 коэффициентами. Найдем приведенную форму этой системы:

применяя матричный подход, обычно используемый для анализа и оценивания систем одновременных уравнений. Заметим, что структурную форму системы можно записать в виде:

Qt-apt=ao+a2Yt+ut {Qt-bxPt=b0+b2Rt+vt,

или

Подпись: 1 1ЇПодпись: я о V а2 О


f7lxx Л-12Л
П2 П22 ПЪ ПЪ2]

Подпись: + (w,i,W,2).
= (IY„R,)

v а ~bJ

(Qt,P,)

а приведенную форму — в виде

(Q„PI) = (,Y„RI)

Приведенную форму системы получаем из структурной формы, умножая обе части предпоследнего уравнения на матрицу, обратную матрице, стоящей в левой части:

1 Ї

Подпись: f 1 1
-ах -bXJ
= (lY„Rt)

г J

О ft.

л_1 ( 1 1 V

+ («„v,)

-ft,

= (l,Y„Rt)U + (ut,vt)

1 1

где П — матрица коэффициентов приведенной формы,

п =

Я'21 Я"22 V^31 ^32 У

«О *0

о2 О О ft.

2 J

1 П -а, -ft,.

Но

( 1 1 v'

-ft, -її

так что

a,-6,

' bx—ax bx—ax' bx—ax' bx — ax

Р — _о

то

ао

bo)

0

0

b2j

Это дает нам 6 уравнений для восстановления 6 коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы:

-тгХ2ах

= ао>

пхх

-пХ2Ьх

= ьо>

-п22ах

= а2,

п2Х

-л22Ъх

= 0,

-лЪ2ах

= 0,

пъх

-пЪ2Ъх

= Ь2.

Из этих уравнений находим:

Таким образом, здесь идентифицируемы и уравнение предложения, и уравнение спроса.

Рассмотрим теперь систему, в которой доход не включен в уравнение спроса, а уравнение предложения дополнено еще одной объясняющей переменной — St (пусть это будет, скажем, индекс стоимости горюче-смазочных материалов, используемых при производстве соответствующего продукта сельского хозяйства). Тогда система принимает вид:

Qt-<*iP,=a0+ut [Qt-bxPt=b0+b2Rt+b3St+vn

или

(Q,,p,)

і

і

= (і,л,А)

ъЛ

о ъ2 о ь

ЗУ

+ (u„vt).

Матрица коэффициентов приведенной формы

(Qt=Kn+K2lRt+x3]St+wn

получается как

Як

Ь0)

п =

7Г21

7122

=

0

b2

^31

ПЪ2 j

,0

Г 1

1

-6,

так что

Здесь опять получаем 6 уравнений для восстановления 6 коэффициентов структурной формы:

7Ти -ппах = а0, я-п ~пХ2Ъх = Ь0,

7Г2 —7І22а ~ 0' ^21 ~ Л22^1 ~ *2' л-31=0, Л"31

Я"32*1 = *3Однако ситуация с идентифицируемостью резко отличается от предыдущего случая.

Для коэффициентов первого структурного уравнения (уравнения спроса) находим:

Л1Х 7ГЗХ

22

П.

71

32

так что для восстановления коэффициента ах имеем два соотношения. Поскольку

1 ^

ax-bx

J1J

К -1

«1*2 «1*3

■«o+*o

У

то —— = —^-, так что коэффициент я! восстанавливается однозначно, если

Я"22 7Г32

известны точно коэффициенты приведенной формы. Если же производим свободное оценивание уравнений приведенной формы по имеющимся статистическим данным, не принимая во внимание ограничения на их коэффициенты, накладываемые структурной формой (в данном случае ограничения

— — = 0), то на основании оценок hlu п22, я"31, п32 получим, как праП22 ПЪ2

- ^21 ^31

вило, различные значения отношении и , два варианта оценок для

п22 лЪ2

коэффициента ах и соответственно два варианта для коэффициента а0. Таким образом, уравнение спроса оказывается сверхидентифицируемым (overiden-tified) — для восстановления его коэффициентов имеется количество соотношений, большее минимально необходимого.

Для коэффициентов второго структурного уравнения (уравнения предложения) также имеем три соотношения:

пхх -пХ2Ьх =Ь0, л2Х -п22Ьх =Ь2, /г31 -пЪ2Ъх =Ь3.

Однако во втором структурном уравнении 4 неизвестных коэффициента — b0, bx, b2, Ь3, и этих трех соотношений недостаточно для их восстановления — этим соотношениям удовлетворяет бесконечно много наборов значений b0,bx,b2,b3.

Таким образом, для рассмотренной модели:

уравнение спроса сверхидентифицировано;

уравнение предложения недоидентифицировано.

Последний пример показывает, что имеет смысл говорить не только об идентифицируемости или неидентифицируемости системы в целом, но и об идентифицируемости или неидентифицируемости отдельных уравнений системы.

Проверка выполнения условий идентифицируемости структурных уравнений

При рассмотрении условий идентифицируемости отдельных структурных уравнений, входящих в систему одновременных уравнений1, прежде всего предполагается, что переменные, задействованные в системе, подразделяются на три типа:

эндогенные переменные (endogenous variables);

экзогенные переменные (exogenous variables);

предопределенные переменные (predetermined variables).

Значения эндогенных переменных определяются внутри рассматриваемой системы; эндогенная переменная, входящая в /-е уравнение системы, корре-лирована с ошибкой в этом уравнении. Значения экзогенных переменных

В смысле возможности восстановления коэффициентов структурных уравнений на основе коэффициентов уравнений приведенной формы.

определяются вне рассматриваемой системы; экзогенные переменные не кор-релированы с ошибками во всех уравнениях системы для всех моментов времени. Понятие предопределенной переменной относится к системам, в которых наблюдения производятся в последовательные моменты времени. Значения предопределенных переменных, как и значения эндогенных переменных, определяются внутри системы. Однако значение в момент t предопределенной переменной, входящей в /-е уравнение, не должно быть коррелированным со значениями ошибки в этом уравнении, соответствующими моментам t, t + 1,... Например, в системе

[Qt=axPt+a2Qt_x+ut {Pt=bxQt_l+vt

QtnPt — эндогенные переменные;

Qt_ х — предопределенная переменная.

Предполагается, что:

система состоит из g уравнений, в каждое из которых входит хотя бы одна эндогенная переменная;

в систему входят g эндогенных переменных;

в систему входят К экзогенных и предопределенных переменных;

каждое из g уравнений нормировано (normalized), так что коэффициент при одной из эндогенных переменных, входящих в уравнение, равен 1.

(В последнем примере g = 2, К = 1, уравнения нормированы.)

При выводе условий идентифицируемости можно не различать предопределенные и экзогенные переменные, и для краткости будем называть их в контексте проблемы идентифицируемости предопределенными.

Если собрать все эндогенные переменные в левых частях структурных уравнений, то систему одновременных уравнений можно записать в виде:

УпУп + = ДЛі ++ Рк*ас + ип

j

П8Уп + • • • + У№У* = Pgxa + • • • + PxgXtK + utg *

где /= 1,п

Уп* --">Уъ — эндогенные переменные;

xtl9 ...,xtK— предопределенные переменные;

utl9 ...,utg— случайные ошибки;

— в этой записи коэффициент при j-й эндогенной переменной в /-м уравнении;

Руг — в этой записи коэффициент при у-й предопределенной переменной в 1-м уравнении.

(Разумеется, часть коэффициентов в конкретных системах равна нулю.) Заметим, что последнюю запись можно также представить как

'УлУї і + • • • + y,grg = хЛ& і + ■ ■ ■ + xtKpKl + и„

УаУ8 +■■■ + ytgrgg = х,і Д g +.. ■ + xtKpKg + utg,

и обозначим:

Ги

Ги

fill

1*

fix

Г =

в =

7*

gg J

fi*

Л=(Лі xt=(xn,...,xtK\% ut=(utl,...,utg)

(последние три вектора здесь удобнее представлять как векторы-строки). Тогда система записывается в компактном виде:

ytT = xtB + un t = 1,п.

Предполагая невырожденность матрицы Г, так что для этой матрицы существует обратная, умножим обе части последнего уравнения на Г'1. Получим приведенную форму системы:

yt = х,ВГ-1 + utT~x = xtn + wr

Здесь

1*

П = ВГЧ =

wt=utT 1 =(w,l9...,w,g),

кпк

Kg J

где wti— случайная ошибка в і'-м уравнении приведенной формы в момент t.

Выше уже фактически использовали это представление для получения приведенных форм систем

Qt=a0+aPt+a2Yt+Ut

Qt-aipt=ao+ut

Qt-bxPt=b,+b2Rt+b3St+vr

Следует отметить, что, даже если векторы ut = (ип, utg і = 1, и, взаимно независимы и имеют одинаковое g-мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей I = cr2Ig, где Ig — единичная матрица, векторы wt = (wtl9 wtg) могут иметь коррелированные между собой и неодинаково распределенные компоненты. Однако это не препятствует получению оценок элементов матрицы П обычным методом наименьших квадратов: достаточно применить этот метод отдельно к каждому уравнению приведенной системы. Это связано с тем, что в правых частях всех уравнений приведенной формы присутствует один и тот же набор объясняющих переменных (см. сделанную выше ссылку на работу (Dwivedi, Srivas-tava, 1978)). Поскольку

7Ги ... 7lXg

П = ВГЧ =

ПКХ ... 7TKgJ

то ПГ = В, и мы использовали это соотношение для восстановления коэффициентов структурных уравнений двух последних систем. Вопрос об идентифицируемости структурной формы — это вопрос о возможности однозначного восстановления всех коэффициентов структурной формы, т.е. восстановления матриц Г и В, на основании матрицы П = ВГ"1. Заметим, что в совокупности матрицы Г и В состоят из g2 + Kg элементов, тогда как в матрице П всего Kg элементов. Поэтому однозначное восстановление коэффициентов структурной формы по коэффициентам приведенной формы невозможно без использования дополнительной информации в виде невключения в отдельные уравнения тех или иных переменных, нормировки коэффициентов, линейных ограничений на параметры структуры1.

Если нас интересует /-е структурное уравнение, то его идентифицируемость — это возможность однозначного восстановления на основании коэффициентов приведенной формы:

Г, — z-ro столбца матрицы Г, который содержит коэффициенты при эндогенных переменных, входящих в z-e структурное уравнение;

В,— z-го столбца матрицы В, который содержит коэффициенты при предопределенных переменных, входящих в z-e структурное уравнение.

1 Как будет продемонстрировано ниже в данном разделе (см. Замечание 1.1.5), коэффициенты структурной формы могут не восстанавливаться однозначно по одним только коэффициентам приведенной формы и в то же время однозначно восстанавливаться при привлечении дополнительной информации в виде ограничений на элементы ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений структурной формы и использовании элементов ковариационной матрицы ошибок в правых частях уравнений приведенной формы.

При этом, по существу, достаточно иметь возможность восстановления Г,-и В, с точностью до умножения их на один и тот же числовой множитель: единственность достигается в этом случае указанием правила нормировки, в соответствии с которым коэффициент при определенной эндогенной переменной в z-м структурном уравнении полагается равным 1.

Пусть матрица А размера (g + К) х g составлена из матриц Г и В таким образом, что матрица Г располагается над матрицей В:

Г"

А =

В

Коэффициенты при g эндогенных и К предопределенных переменных В /-М структурном уравнении составляют /-й столбец at матрицы А.

Существенным является то обстоятельство, что коэффициенты /-го структурного уравнения не могут быть восстановлены на основании коэффициентов приведенной формы, если в это уравнение входят все (g) эндогенные и все (К) предопределенные переменные системы.

Поэтому далее будем предполагать, что на элементы вектора а{ помимо нормировочного накладываются еще и некоторые дополнительные однородные линейные ограничения в виде уравнений

ФЛ=0,

где Ф, — матрица размера Л, х (g + К);

— количество линейных ограничений.

Неспецифицированные коэффициенты /-го уравнения определяются по матрице П = ВГ-1 после применения правила нормировки однозначным образом тогда и только тогда, когда выполнено следующее ранговое условие идентифицируемости (rank condition for identification):

rank(0/A) = g-l

(матрица Ф, А имеет Rt строк и g столбцов).

Пусть А, — матрица, получаемая из матрицы А вычеркиванием ее /-го столбца ai9 так что А = [at : А,]. Тогда

гапк(Ф/А) = гапк(ФДа/: А/]) = гапк(Ф/а/ гФ/А,.),

и поскольку Ф/а/ = 0, то

rank (Ф, А) = rank (0: ФуА,.) = гапк(Ф/А/).

Но матрица ФД имеет размер R; х (g 1), и, чтобы ее ранг был равен (g 1), во всяком случае необходимо выполнение следующего порядкового условия идентифицируемости (order condition for identification) /-го структурного уравнения:

Предположим, что все линейные ограничения, накладываемые на элементы столбца at (помимо условия нормировки), являются исключающими ограничениями (exclusion restrictions), т.е. все они состоят в приравнивании определенных элементов столбца ai нулю и исключении из /-го уравнения g* эндогенных и К] предопределенных переменных. Тогда общее количество исключенных переменных равно (g* + К*), и необходимое условие идентифицируемости /-го структурного уравнения принимает вид:

g'+K*>g-,

или

Иначе говоря, количество предопределенных переменных в системе, не включенных в /-е структурное уравнение, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, включенных в /-є уравнение, уменьшенного на 1.

Если в левой части /-го структурного уравнения находится единственная эндогенная переменная, то (g g*) 1 есть просто количество эндогенных переменных, включенных в правую часть этого уравнения. В этом случае порядковое условие идентифицируемости /-го структурного уравнения можно сформулировать следующим образом:

Количество предопределенных переменных в системе, не включенных в /-е структурное уравнение, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, включенных в правую часть этого уравнения.

Теперь можно охарактеризовать три ситуации, возникающие при оценивании і -го структурного уравнения:

rank Ф,А < g 1 —» /-е уравнение неидентифицируемо (недоопреде-лено — underidentified);

rank Фіг А = g 1 и Rtr = g 1 —> /-e уравнение идентифицируемо точно (just identified);

rank Ф/A = g 1 и Rt > g 1 —> /-e уравнение сверхидентифицируемо (переопределено — over identified).

В ситуации 1 не выполнено необходимое условие идентифицируемости. В ситуациях 2 и 3 коэффициенты /-го структурного уравнения однозначно восстанавливаются на основании коэффициентов приведенной системы. Однако эти две ситуации различаются существенным образом, если рассматривать задачу восстановления коэффициентов /-го структурного уравнения на основании оценок коэффициентов приведенной формы, которые получены методом наименьших квадратов, примененным к каждому отдельному уравнению приведенной системы и не учитывающим ограничения на коэффициенты приведенной формы, накладываемые на них соотношением П = ВГ"1.

Если П — оценка матрицы П, полученная таким свободным оцениванием, то в ситуации 2 коэффициенты /-го структурного уравнения восстанавливаются по матрице П однозначным образом, тогда как в ситуации 3 существует несколько вариантов восстановления, приводящих к различным результатам.

Заметим, что разным уравнениям системы могут соответствовать разные ситуации из трех перечисленных.

Проанализируем рассмотренные в этом разделе системы одновременных уравнений.

Первой была система

(Qt=a0+axPt+ut

Здесь список эндогенных переменных: (Qn Р,), а список предопределенных переменных ограничивается переменной, тождественно равной 1, так что полный список переменных в системе: (Qn Рп 1). При этом g = 2, К = 1, матрицы Г, В и А имеют вид:

г =

і

— а

1 Ї

f і іл

В = (я0Л), А =

В,

На столбцы матрицы А не накладывается никаких ограничений, кроме нормировочных, так что g* = g2 = О, К* = К2 = О, и ни для одного из двух уравнений не выполнено порядковое условие g* + К* > g 1. Следовательно, система неидентифицируема.

Следующей была система:

fs=*o+*i^+*2^+и,

Qt=b0+bxPt+vt,

т.е.

Qt-alPt=<*0+a2Yt+Ut

Qt-bxPt=b0+vr

Здесь список эндогенных переменных тот же: (Qt9 Pt). В список предопределенных переменных входят две переменные: (1, Yt). Полный список переменных в системе: (Qn Рп 1, Yt). При этом g = 2, К = 2, матрицы Г, В и А имеют вид:

( і

г =

На элементы первого столбца матрицы А накладывается только условие нормировки ахх = 1. Поэтому первое уравнение системы неидентифицируемо. На элементы второго столбца, помимо нормировочного, накладывается одно исключающее ограничение аЛ2 = 0, так что для этого столбца g2 = О, К2 = 1, и g + К2 =g 1 = 1, т.е. порядковое условие идентифицируемости выполняется.

Заметим далее, что ограничение а42 = О можно записать в виде Ф2 а2 = О, гдеФ2 = (0 0 0 1). Тогда

Ф2А2 = (0 0 0 1)(1,ах,а0,а2) Т= (а2),

гапк(Ф2А) = гапк(Ф2А) = гапк(я2) = 1,

так что rank (Ф2А) = g 1, и ранговое условие идентифицируемости выполнено. Наконец, поскольку g2 + К2 = g 1 = 1, второе уравнение идентифицируемо точно.

Следующая система:

{Qt=a0^alPt+a2Yt+ut {Qt=bb+bxPt+b2Rt+vn

т.е.

Qt-axPt=a0+a2Yt+ut [Qt-bxPt=b0+b2Rt+vr

Список эндогенных переменных: (Qn Pt). Список предопределенных переменных: (1, Yt9 Rt). Полный список переменных в системе: (Qn Рп 1, Yt, Rt).

При этом g = 2, К = 3, матрицы Г, В и А имеют вид:

Ч *оЛ а2 0

, в =

Г =

, А =

1 1

к-а{ -bXJ

В

0 Ъ.

2 У

1 1 > -ах -Ъх а0 Ь0 . а2 О О b2 J

Соответственно здесь для каждого столбца матрицы А, помимо нормирующего ограничения, имеется по одному исключающему ограничению на экзогенные переменные, так что g* = g*2 О, К* = К} = 1, g* + К* = g 1, и порядковое условие выполнено.

Ограничение а5, = 0 в первом столбце можно записать в виде Фхах = О, гдеФ, = (0 ООО 1). Тогда

Ф,А, = (0 ООО ){,-Ъх,Ъ0,0,Ь2)т = (Ъ2), rank (Ф, А) = rank (Ф, А,) = rank (b2) = 1,

так что rank (OjA) = g 1, и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку g* + К* = g 1, первое уравнение идентифицируемо точно.

Ограничение а42 = 0 во втором столбце можно записать в виде Ф2 а2 = О, где Ф2 = (0 0 0 1 0). Тогда

Ф2А2 = (0 0 0 1 0)(1,-а„а0,а2,0)г = (а2),

rank (Ф2А) = rank (Ф2А2) = rank (а2) = 1,

так что rank (Ф2А) = g 1, и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Наконец, поскольку g2 + К2 = g 1, второе уравнение идентифицируемо точно.

Таким образом, в данной системе одновременных уравнений оба уравнения идентифицируемы, причем идентифицируемы точно.

Наконец, в системе

[Qt =a0+apt+ut {Qt=b0+bxPt+b2Rt+b2St+vn

т.е.

Qt~aPt =<*0+ut {Qt-bxPt=b0+b2Rt+b,St+vn

эндогенные переменные те же, а список предопределенных переменных: (1, Rn St). Полный список переменных в системе: Рп 1, Rn St). При этом g = 2, К = 3, матрицы Г, В и А имеют вид:

Г =

в =

зу

Ч V о ъ,

о ъ

А =

1

1 ^

ао

0

Ь2

0

На элементы второго столбца накладывается только условие нормировки. Поэтому второе уравнение системы неидентифицируемо. На элементы первого столбца, помимо условия нормировки, накладываются два исключающих ограничения: а41 = 0, а5Х = 0. При этом g* 0, К* = 2, gx + Кх = 2 >g 1, так что первое уравнение идентифицируемо. Исключающие ограничения можно записать в форме Фхах = 0, где

ф,=

ґ0 0 0 1 0} 0 0 0 0 1

Тогда

Ф.А =

0 0 0 1 0) 0 0 0 0 1 1 1л

-ах -Ьх

«о

0 Ы

О

о ьу

о ь3

Го 0 0 1 0), чг (ь2Л

Ф'Ао о о о , М-м*АН 4

ґи

ъ2

rank(OjA) = гапк(Ф1А1) = rank =1,

1йз)

так что rank (Фх А) = g 1, и для первого уравнения выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку g* + К* = 2 > g 1, первое уравнение сверхидентифицируемо.

Приведем пример системы (упрощенный вариант модели мультипликатора-акселератора), в которой присутствуют линейные ограничения неисклю-чающего типа (non-excluding conditions):

Ct=a0+axYt+a2Ct_x+utx It=b0+bx(Yt-Yt_x)+ut2 У,=С,+/„

где С, — потребление; It — инвестиции; Yt — доход.

ние,

Подставляя выражение для It из последнего тождества во второе уравне-е, запишем систему в виде:

| Ct-axYt=a0+a2Ct_x+un -Ct+{l-bx)Yt=b0-bxYt_x+ut2.

Список эндогенных переменных: (С„ УД список предопределенных переменных: (1, C,_l9 Yt_x). Полный список: (С„ У„ 1, С,_1? Yt_x). Матрица А:

ґ і і л

В первом столбце одно исключающее ограничение а5Х = О, т.е. = О, где Ф, = (0 0 0 0 1). При этом

гапк(Ф1А) = гапк(Ф1А1) = гапк(-й1)= 1 = g1,

так что первое уравнение идентифицируемо. Поскольку g* + К* = 1 = g 1, это уравнение идентифицируемо точно.

Во втором столбце одно исключающее ограничение а42 = 0 и одно неис-ключающее ограничение ап + а22 = сс52. Эту пару ограничений можно записать в виде Ф2 а2 = О, где

Ф2 =

'0 0 0 1 0^ 110 0 -i;

Тогда

Ф2А =

і J

1-а, 0

rank (Ф2А) = 1, так что rank (Ф2А) = g 1, и для второго уравнения также выполнено ранговое условие идентифицируемости. Поскольку R2 = 2 > g 1 = 1, второе уравнение сверхидентифицируемо.

Замечание 1.1.1. Константа играет в проблеме идентификации такую же роль, что и остальные предопределенные переменные.

Проиллюстрируем Замечание 1.1.1. Как уже выяснили ранее, в системе

[Qt = a0+axPt+ut

iGr =*o+V?+v,

оба уравнения неидентифицируемы. Исключим константу из правой части второго уравнения:

[Q, =ao + aipt+u, Q,=b,Pt+vr

Для измененной системы имеем те же списки эндогенных и предопределенных переменных, полный список переменных в системе: (Qn Рп 1). При этом g = 2, К = 1, матрица Г не изменяется, а матрицы В и А принимают вид:

г =

В = (д0,0), А =

' 1

V ао

1 ^

о

На первый столбец матрицы А не накладывается никаких ограничений, кроме нормировочных, так что g* = О, К* = О, и для первого уравнения не выполнено порядковое условие g* + К * > g 1. Следовательно, первое уравнение неидентифицируемо. Однако на второй столбец на этот раз накладывается исключающее ограничение а32 = 0, т.е. Ф2сс2 = 0, где Ф2 = (0 0 1). При этом

rank (Ф2А) = rank (а0 0) = rank (Ф2А}) = (а0) = 1= g 1,

так что второе уравнение идентифицируемо. Поскольку g2 + К2 = 1 = g 1, это уравнение идентифицируемо точно.

Замечание 1.1.2. Критерий идентифицируемости дает один и тот же результат в отношении z-ro стохастического структурного уравнения (содержащего случайные ошибки в правой части) независимо от того, рассматривается полная система вместе с тождествами или система, в которой тождества учтены и исключены.

Проиллюстрируем Замечание 1.1.2. При исследовании вопроса об идентифицируемости модели

Qf =a0+axpt+ut

<q; =b0+bxpt+vt

q;=q?

и различных ее расширений мы, исключая (и учитывая) тождество, сводили эти модели к системам без тождеств, так что в правых частях всех уравнений преобразованных систем присутствовали случайные ошибки. Поступая, например, таким образом с системой трех уравнений

Qf =a0+axpt+a2yt+ut q; =b0+bxpt+vt

Qf =QI>

проверяли условия идентифицируемости системы двух уравнений, полученных на основании этой системы:

Qt=a0+aPt+a2Yt+Ut

и обнаружили, что первое уравнение системы неидентифицируемо, а второе идентифицируемо точно.

Попробуем проверить условия идентифицируемости непосредственно в рамках исходной системы трех уравнений, так что g = 3. Для этой системы список эндогенных переменных полнее, чем у преобразованной системы: (бм QU Л)> тогда как список предопределенных переменных (1, Yt) не изменяется. Полный список содержит теперь 5 переменных: (Qf9 Qsn Рп 1, Yt). Перенесем все эндогенные переменные в левые части уравнений:

Qf-axPt=a0+a2Yt+ut Qst-bxPt=b0+vt

q?-q;=o.

Матрица А имеет вид:

А =

( 1

0

1

0

1

-1

0

<*0

0

ч °2

0

0

На элементы первого столбца накладывается исключающее ограничение а21 = 0, т.е. Ф, ах = 0, где Ф, = (0 1 0 0 0). При этом

rank (Ф, А) = rank (0 1 -l)=l<g-l=2,

0 0 0 0Л 0 0 0 1

Ф2 =

так что первое уравнение неидентифицируемо. На элементы второго столбца накладывается К2* = 2 исключающих ограничения: ai2 = 0 и а52 = 0, т.е. Ф2а2 = 0, где

0

При этом

так что второе уравнение идентифицируемо, причем идентифицируемо точно, поскольку g*2 + К2 = 2 = g 1. Результаты в отношении каждого из двух стохастических уравнений оказались одинаковыми для систем из трех и из двух уравнений.

До сих пор мы рассматривали только возможность восстановления коэффициентов структурных уравнений по коэффициентам приведенной формы. Однако идентифицируемость z-ro стохастического структурного уравнения, строго говоря, означает идентифицируемость не только коэффициентов этого уравнения, но и дисперсии случайной составляющей в этом уравнении.

Идентифицируемость системы структурных уравнений в целом (на основании приведенной формы системы) означает идентифицируемос

Эконометрика Книга вторая Часть 3

Эконометрика Книга вторая Часть 3

Обсуждение Эконометрика Книга вторая Часть 3

Комментарии, рецензии и отзывы

Часть 3 системы одновременных уравнений, панельные данные, модели с дискретными и ограниченными объясняемыми переменными раздел 1 системы одновременных уравнений тема 1.1 идентифицируемость структурной формы системы одновременных уравнений: Эконометрика Книга вторая Часть 3, Носко Владимир Петрович, 2011 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон В учебнике излагаются методы эконометрического анализа — от самых простых до весьма продвинутых. В основе учебника — курсы лекций, прочитанные автором в Институте экономической политики им. Е.Т. Гайдара, на механико-математическом факультете..