Тема 8.2 модели стохастической границы для панельных данных

Тема 8.2 модели стохастической границы для панельных данных

Выше была рассмотрена модель для перекрестной выборки (cross-section). Теперь перейдем к рассмотрению модели для панельных даных.

Предположим, что если не принимать в расчет возможную неэффективность фирм и разного рода неучтенные факторы («ошибки»), то теоретическая производственная функция фирмы, производящей некоторый продукт, имела бы вид:

где qit — выпуск фирмы / в период времени

Однако вследствие того или иного уровня неэффективности выпуск фирмы і в период времени t оказывается меньше теоретического, так что

где \%it — уровень эффективности фирмы / в период времени /, 0 < < 1.

Если \%it = 1, то эта фирма в данный период достигает оптимального выпуска, соответствующего технологии, отраженной в указанной производственной функции. Если же git < 1, то эта фирма в данный период не использует все возможности.

Предполагается также, что выпуск подвержен некоторым случайным шокам, так что в итоге получаем:

Я и = &ехр(уй), или, переходя к логарифму выпуска:

qit= f(zinP) + vit-uin

где щ =-ln£„ uit>0.

При использовании панельных данных рассматривают следующие основные модели.

Модель с фиксированными эффектами и постоянной во времени технической эффективностью:

к

У it = Ро + Z Р] XJ, it + vu -Ui=<z + PTXit + vit и.,

7 = 1

в которой

vit ~ lid. N(0, <rv2) и не коррелированы с объясняющими переменными,

их > О имеют произвольное распределение и могут быть коррелированными как с объясняющими переменными, так и с vit.

Оценивая эту модель как обычную модель с фиксированными эффектами, получаем оценки для Д, а через них — оценки для а{ a ut

а і = У і. РТХіт (-> а{ при Т -> оо). После этого вычисляем:

max аі = а, йі = а di, |/Y = ехр(-й,).

i = ,...,N

Модель со случайными эффектами и постоянной во времени технической эффективностью:

уи=а + ртХи+еи, €it=vit-ur

В этой модели иt > О рассматриваются как lid. случайные величины с математическим ожиданием /л, не коррелированные с vit иХіг Добавим и вычтем /и в правой части уравнения:

yit=(a-iu) + pTXit+(€it+ny

Если обозначить:

a-ju = a єії+р = £*п

то тогда

yit=a+j3TXit+sl Е(є1) = 0.

Используя обычное RE С/^-оценивание для этой модели, получаем оценки для а* и Д.

Пусть eit — остатки от подобранной модели. Тогда:

1 т 1 т

й* = ^Ие*и — оценка для v„ ~иі+И (->//Щ при Т-> оо);

1 t= 1 t=

ju тахй* 4 =exp(-Mf.)

оценка для // (-» // при 7V-> оо); оценка для і/. (-» wf. при 7V, Г-> со); оценка технической эффективности.

Модели со случайными эффектами и постоянной или изменяющейся во времени технической эффективностью — MZJi-оценивание. В этих моделях делаются более определенные предположения о распределении случайных эффектов Uj > О, что дает возможность использовать метод максимального правдоподобия.

В простейшей спецификации uit = ut (т.е. uit не зависят от времени), щ ~ lid. N+(ju, crw2), vit ~ lid. N(0, crv2), причем ut и vit распределены независимо друг от друга и от объясняющих переменных.

В пакете Stata можно производить также оценивание модели, предложенной в работе (Battese, Coelli, 1992) (time-varying decay model) с

uit =Qxp{-Tj(t-Ti)}ui

где Т; — последний период времени для /-Й фирмы;

щ lid N+(ju, <ju2);

vit ~ lid. N(0, crv2), причем иt и vit опять распределены независимо друг от друга и от объясняющих переменных.

Для /-й фирмы базовым является уровень в период Тг Если т] > 0, то уровень неэффективности фирмы убывает во времени к базовому уровню. Если rj < 0, то уровень неэффективности возрастает до базового уровня.

ПРИМЕР 8.2.1. Модель, инвариантная по времени

Имеются данные по 91 фирме (от 6 до 14 наблюдений на каждую фирму) о количестве произведенной продукции (widgets), о количестве затраченных машино-часов (machines) и о количестве затраченных человеко-часов (workers)1. Оцениваемая модель имеет вид:

In widgetsit = J30 + Д In machinesit + /?2 In workersit + vit ur

Результаты оценивания приведены в табл. 8.17.И

Замечание 8.2.1. Для получения приемлемой точности оценивания параметров /и и crw2 требуются довольно большие выборки.

Статистические данные из пакета Stata.

ПРИМЕР 8.2.1 (те же данные). Модель с затуханием во времени Результаты оценивания приведены в табл. 8.18.

Оценка модели с затуханием во времени

Оценка параметра rj > 0 близка к нулю и статистически незначима; остальные оценки мало отличаются от предыдущего случая.

Оценивание всех параметров производится методом максимального правдоподобия, после чего вычисляются прогнозные значения uit с использованием формулы для условного среднего E(uit €it) или формулы для условной медианы Med(uiteit). После этого получаем оценки технической эффективности, опирающиеся на формулу для Е(ехр(иії) єи). Вместо eit в эти формулы подставляются значения

eit = widgetsit Д Д machinesit Д workersin

так что, например,

uit = E(uit | eit), techefit = E(exp(uit )| eit).

В табл. 8.19 приведены оцененные значения для 3 фирм по модели с постоянными эффективностями (ПЭ) и по модели с изменяющимися эффектив-ностями (ИЭ).И

Понятие стохастической границы можно использовать для вычисления налогового потенциала регионов. Налоговую нагрузку как следствие проведения политики региональных властей можно представлять как выпуск «предприятия», на входе которого находятся факторы, определяющие налоговые поступления (такие, как налоговая база, ставки налога и т.п.).

Теоретически ввиду сходства проблем методология стохастической границы должна хорошо работать и при оценивании границ налогов. Однако если в случае производственной функции детерминанты объема выпуска довольно ясны, то в случае оценивания границы для налогов положение является менее ясным. Ставки налогов могут быть близкими для разных регионов, но налоговые базы — существенно различаться. При этом, особенно в развивающихся странах, данные о налоговых базах часто недоступны или ненадежны, и для них приходится использовать некоторые прокси (продукт или доход, или такие экономические индикаторы, как уровень образования либо использование электроэнергии). Соответственно построение стохастической границы является успешным только при подборе «правильного» набора детерминантов налоговой нагрузки.

В случае построения границ налоговой нагрузки отклонение налоговой нагрузки региона от налоговой границы следует интерпретировать только как уровень неиспользованного налогового потенциала, но не как меру неэффективности. Недоиспользование налогового потенциала может объясняться по крайней мере двумя факторами:

региональными предпочтениями (привычка к низкому уровню снабжения общественными благами);

неэффективностью региональных властей.

Построение границ налоговой нагрузки регионов методом стохастической границы описывается, например, в работе (Alfirman, 2003) для Индонезии.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каковы основные модели стохастической границы для панельных данных?

Каким образом оцениваются модели стохастической границы для панельных данных?

Как можно использовать понятие стохастической границы для вычисления налогового потенциала регионов?

Задания для семинарских занятий, работы в компьютерном классе и для самостоятельной работы

Методические указания к заданиям, предполагающим использование пакетов компьютерных программ статистического анализа данных, ориентированы на использование пакетов ЕViews 6 и Stata 10.