Тема 6.2 методология var
Тема 6.2 методология var
В 1932 г. Альфред Коулс (Alfred Cowles), президент фирмы Cowles and Company, занимавшейся консультациями в области инвестиций и заинтересованной в развитии фундаментальных исследований в экономике, учредил комиссию Коулса (The Cowles Commission for Research in Economics). Эта комиссия состояла (и состоит) из экономистов, математиков и статистиков, деятельность которых связана с применением количественных методов в экономике и смежных дисциплинах. В том же 1932 г. было принято решение об издании журнала Econometrica (его первый номер вышел в январе 1933 г.), который должен был следовать двум принципам: 1) экономика — это наука; 2) в этой науке очень важен количественный аспект.
Значительный этап в деятельности комиссии начался в 1943 г. с приходом к руководству Якоба Маршака (Jacob Marschak). Было отмечено, что методы исследования должны быть обусловлены следующими характеристиками экономических данных и экономической теории:
теория есть система одновременных уравнений, а не отдельное уравнение;
некоторые из этих уравнений включают «случайные» составляющие, отражающие многочисленные неустойчивые причины, в дополнение к нескольким «систематическим»;
многие данные представлены в виде временных рядов, причем последующие события зависят от предыдущих;
многие опубликованные данные относятся, скорее, к агрегатам, а не к отдельным субъектам.
Развитие соответствующих математических и статистических методов не менее важно, чем немедленное получение результатов. Применение математических результатов в практических исследованиях сопровождается и обратным движением: возникновение новых ситуаций в процессе практической работы ставит новые задачи перед математиками.
Значительное место в исследованиях под эгидой комиссии заняла разработка моделей и методов анализа систем одновременных уравнений. Целью таких исследований являлся количественный анализ влияния изменений в переменных, контролируемых неким монетарным полисмейкером (инструменты монетарной политики), на макроэкономические переменные, представляющие главный интерес для этого полисмейкера. Такой анализ предусматривает спецификацию и идентификацию теоретической модели, оценивание параметров и расчет динамических свойств модели с особым акцентом на долговременные свойства, симуляцию динамической модели, анализ последствий различных политик.
При этом спецификация модели производится с априорным разделением переменных на экзогенные и эндогенные. Идентификация достигается как результат накладывания большого количества ограничений. При выявлении тех или иных отклонений от стандартных предположений метода наименьших квадратов модифицируется не модель, а метод оценивания. Базовая симуляция обычно производится на основе имеющейся выборки; ее результаты сравниваются с результатами, полученными в альтернативной симуляции, основанной на модификации соответствующих экзогенных переменных. Анализ альтернативных политик базируется на динамических мультипликаторах. Собственно эконометристы остаются отделенными от выбора модели, который является прерогативой экономистов, формулирующих теоретическую модель.
Методология комиссии Коулса была подвергнута серьезной критике, известной как критика Лукаса и Симса ((Lucas, 1978), (Sims, 1980)).
Согласно Лукасу, традиционные структурные макромодели бесполезны для целей симуляции политики, поскольку такие модели не принимают в расчет в явной форме ожидания экономических агентов.
Согласно Симсу, в моделях комиссии идентификация достигается за счет произвольного объявления некоторых переменных экзогенными. Однако в мире агентов, поведение которых зависит от решения некоторых впередсмотрящих межвременных оптимизационных моделей, никакая из переменных не может считаться экзогенной. Ошибочная трактовка переменной как экзогенной ведет к потере обратной связи и к возникновению кажущейся причинной связи. Кроме того, в теоретическую априорную модель может быть включено недостаточное количество переменных (и тогда возникает эффект пропущенных переменных) и недостаточное количество запаздываний.
Для преодоления указанных недостатков методологии комиссии были предложены:
методология Лондонской школы экономики (LSE);
методология VAR (векторных авторегрессий).
Методология LSE (Sargan, Hendry)
В этом подходе акценты смещаются с методов оценивания (априорно заданной модели) на получение адекватной данным спецификации модели и на ее идентифицируемость.
Сначала строится достаточно широкая базовая модель в виде векторной ADL в приведенной форме с достаточно большим количеством переменных и достаточно большим числом запаздываний (если, конечно, это позволяют данные). Затем эта модель редуцируется путем упрощения динамики (отбрасывания незначимых лагов) и уменьшения размерности (отбрасывания уравнений для тех переменных, для которых не отвергается гипотеза экзогенно-сти). Далее накладываются ограничения на матрицу, определяющую долговременное равновесие, и производится идентификация коинтегрирующих векторов. Это приводит к статистической модели для данных с возможным разделением краткосрочной динамики и долговременного равновесия; эта модель идентифицируется и оценивается. Если система идентифицируется точно, то на этом все заканчивается. Если же система сверхидентифицирова-на, то проверяется выполнение «лишних» ограничений.
Методология VAR {Sims)
В связи с критикой Лукаса ключевой чертой новой классической макроэкономики стало разделение изменений в монетарной политике на два типа:
изменения, которые агенты экономики предвидят правильно;
изменения, которые являются неожиданными для агентов экономики.
Изменения первого типа должны производить нейтральные эффекты: пропорциональные изменения цен и других номинальных переменных и отсутствие влияния на реальные переменные. Неожиданные изменения (второго типа), напротив, могут отражаться и на реальных переменных.
В методологии Симса акцент делается на исследование откликов системы экономических показателей на неожиданные (шоковые) воздействия, которым подвергаются отдельные переменные.
В основе методологии VAR (как и методологии LSE) лежит общая структура вида:
Ayt = C(L)yt_x +£t= Cxyt_x +... + Cpyt_p + £, yt= (yXt 9...9ykt)T 9
где £ — инновационная последовательность LLd. случайных (k x ^-векторов с нулевым математическим ожиданием.
Приведенная форма этой структуры имеет вид:
Л=П1^м+... + П/,^_р+и/,
где Ylj =A~lCJ9 ut-A~x^t9 или
U(L)yt=ut9 TI(L) = Ik-nxL-...-TIpLp.
При этом ut также является инновационной последовательностью LLd. случайных векторов, имеющих нулевое математическое ожидание и ковариационную матрицу X.
Если рассмотрим простую VAR(l) для двух рядов (к = 29р= 1):
Уи=ЛиУи-+ЛпУ2,і-+иь>
y2t =7TlxyXt_x+7t12ylt_x+U2t9
то непосредственно в рамках такой приведенной системы можно выяснить, на сколько изменяются значения yijt+s9 y^t+s ПРИ изменении инновации ии или u2t на одно стандартное отклонение. Вычислив эти изменения последовательно для значений s = 09 1, получим функции откликов переменныхуи и y2t на шоки инноваций.
5 115 Пусть, например, тгп =—, лп = —, п1Х —, л21 =—, так что
8 2 4 8
5 1 1 5
У 2, = +g^,(-l +U2,Эту VAR можно записать в виде:
(-l<)yu+(l-^L)y2t = U2t> 4 о
ИЛИ
г 5
При этом
det
1 Z
8 ) 1
—z v 4
1
—z 2
1—z 8
, 5 V 1 2 1—z | —Z = 8
V2 1 —z 4
 |
, 5 ^ 1—z + z
8 4
V
корни уравнения:
det
Ті 5 1 1—z
I 8 ) 1
z
V 4
1
z
2
1-І,
8
yy
= 0
лежат за пределами единичного круга, так что рассматриваемая VAR стабильна (а значит, стационарна), и можно записать:
( 5 ^ I 8 ) 1 ,
— L 2
п-1
л, л
Vu2tJ
V
1
1 +
5 + 2V2 8
5 + 2л/2
1
1
Z,+
5-2V2
5 + 2л/2
L2+.
f 5 л 8
4
2
' 5 л X--L 8
U2l )
8
1 +
5-2л/2
Z,+
5-2л/2
2
z2+...
1—z,
8
li
4
2
v
' 5 л
1 Z,
8
f 5 ^ 1 + -Z + ...
1—L
4
2
8
Л. Л
+
+ ...
Тем самым есть возможность построить функции откликов обеих переменных на шоки инноваций. Однако из-за того что в общем случае Cov(ux п u2t)* 0,
возникают затруднения с интерпретацией этих функций. Из-за коррелированное™ инноваций ии и u2t в приведенной форме невозможно полностью
изолировать шок для uXt от и2п т.е. нельзя произвольно изменять значение иХп
сохраняя при этом значения и2п и2 u2tt+s9 ... неизменными.
Для преодоления этого затруднения предполагают, что система изменяется благодаря воздействию не коррелированных между собой фундаментальных инноваций {fundamental innovations) sXt9 ekt. Обычно предполагается, что все они имеют единичные дисперсии, так что st = (sXt9 skt)T — lid. случайные векторы с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей Ik. При этом предполагается, что инновации
uXt9 ...9ukt являются линейными комбинациями фундаментальных инноваций, так что
ut -Dst.
В примере с двумерной VAR(l): поскольку ut = Dst9 то
У и =(*пЛы + ЯіУч-) + (d\єи +d2sit)>
Отсюда видно, что изменение uXt на одно стандартное отклонение складывается из изменений єи и slt9 которые, в свою очередь, вызывают одновременное изменение и2г
С точки зрения экономической теории первоочередной интерес представляют реакции значений yu+s, y2tt+s на единичные импульсные изменения отдельных фундаментальных инноваций sXt9 ekt при фиксированных значениях всех остальных фундаментальных инноваций во все моменты времени. Именно на построение таких функций импульсного отклика (impulse response function — IRF) нацелены алгоритмы, реализуемые в пакетах статистических программ.
Если матрица I = Cov(ut) -Заметим, что:
ахх аХ2
V°"21 °"22У
известна, то как найти матрицу D1
ах х = D(uxt) = dxx + dX2, <т22 = D(u2t) = d2X + d22,
aX2 = Cov(uXt9 u2t) = dxxd2X + dX2d229
так что для нахождения четырех неизвестных dXX9 dxl9 d2l9 d22 имеется всего три уравнения. Следовательно, матрицу D идентифицировать невозможно, если не накладывать априорных ограничений на ее структуру.
Симе предложил упорядочивать инновации в системе. Поясним это на примере двумерной VAR(l). Пусть в этой VAR фундаментальная инновация €2t воздействует только шу2п а фундаментальная инновация sXt воздействует и шуХп и шу2г Тогда фундаментальная инновация s2t воздействует только на и2п а фундаментальная инновация еи — и на uXt9 и на u2t (рис. 6.2).
При этом dn = 0, и есть три уравнения для нахождения dl{9 d1X9 d21 Решая эти уравнения, находим:
D =
'2
сг22-
'12
Представим матрицу £> в виде произведения двух матриц, одна из которых является нижней треугольной, а другая — диагональна:
D = PB,
где
 |
Тогда VAR(l) записывается в виде: Обозначив (Р*)~1 = А, заметим, что
1 о
(Р'Ґ =
"21 ^11
1
и умножим обе части VAR(l) на матрицу А:
Ау,=АП{ у,_х + АР*Вє, = Су,_{ + Be,. Таким образом, получим структурную модель
Ayt=C(L)yt_l+Ct,
в которой = Вє,.
Л (і oWi oYi ол
, так что D = =
-1 1 1-1 10 1
-1
Пусть в двумерной VAR(l) ковариационная матрица X = Cov(ut) имеет вид: ' 1
J
X Cov(ut) = I
Уи yitj
Тогда структурная VAR имеет вид:
1 1
1 1
1 о
< оУу,Л ( 0^
12
Я +7Г2 П2 + ^22 J
Би
\£2tJ
S2tJ
т.е.
(6.5)
 |
ии =dneu+dl2€2n
u2t — d22s2n
22*
и есть три уравнения для нахождения du, dl2, d22:
<JU=d\+d2> °22=^22> C72=d2d:
Решая эти уравнения, находим:
D
о
'22
'12
| 2 | 2 |
| 0 |
Представим матрицу D в виде произведения:
D =
2
0 1
■'Г2 /
2
0 V2
Структурная VAR имеет вид:
2
О 1
Ум Уг,)
1 -2
О 1
Я1,, Л-12
УиУ2,1-
+
V2 1 y[2s2t
1 2
О 1
1 1 Vv WV2
Уі,і22 У
2 " л/2*2,
21
т.е.
1 ї Ґ
^11 +-^21
1 ^ 7Г22
J
4~2
y\%t- 2 ^i''
(6.6)
В обоих случаях выбранная форма матрицы А приводит к рекурсивной системе, так как при соответствующей нумерации переменных:
в первое уравнение с текущим значением входит только одна переменная у1п т.е. уи объясняется только запаздывающими значениями переменных ylny2tl
во второе уравнение с текущими значениями входят обе переменные уи пу2п так что>>2, объясняется с помощьюуи nyt_l9yt_29 ...
Такой порядок вхождения переменных интерпретируется как последовательное включение переменных в порядке возрастания их эндогенно-сти, так что последней в систему включается «наиболее эндогенная» переменная.
Вернемся к двумерной VAR(l):
5 1
1 5
У2<=-Уи-1 +-h,M+M2/»
и сравним функции откликов переменных уи и y2t на импульсный шок фундаментальной инновации єХг
При первом упорядочении:
5 1
Уу=-Уи-1+~У2,,-+£и>
Пусть в момент t = 1 имеет место шок фундаментальной инновации для переменной уи (в первом уравнении рекурсивной системы), так что
ієи +1 для t = 1, [єи для t > 1,
a s2t не изменяется ни при каком При этом получим измененную реализа-
цию yt =
ҐУиЛ
, для которой у1<0 =уио, у2<0 = у2<0 и
У 2, =4^1,,-! + -72./-1 +£2,-£У
Для простоты пусть 7, 0 =у2о = 0. Тогда при / = 1:
Яі=*іі. Уп =£п + 1 = Уи +1.
У2]-£2 єи, Уг~є2 є\ ^~Уг Ь
а при t = 2:
5~ 1~ ~ 1 Уг ^Лі + 2^2,1+^12 =^і2 +—^
3
~ _ 1 ^ 5~ ~ _
^22 ^У, + g У2Л +Є22 Є2~У22 g
 |
При втором упорядочении:
1 5 ГЧ
У2,=^Уі>,-1+-У2,1-1+^2£2П
5 1 4l у[2
Уи = g + -У2,,-1 +^Є» ~~Є2Г
При / =1:
У и
у2х =у[2є21 =у21, л/2
2-«2i. Уп=Уи+'2
Приґ = 2:
'22
л/2 V2
1 ~ 5^ [Г yfl У22 = ^Ух.Х + g Jb.l +V2f22 = .у22 + —,
5~ 1
?12 = g Ді +^-f12 ~^-£22 =Л2 +
5л/2
 |
Принимая различный порядок последовательного вхождения переменных, получили и различное поведение функций импульсного отклика.
Проиллюстрируем графически поведение этих функций (рис. 6.4 соответствует первому упорядочению, рис. 6.5 — второму упорядочению).
1
0.8 4
0.6-і0.4 -І~1 i i i i i i i г"
11 21 31 41 51 61 71 81 91
/mp(y1/eps1) /mp(y2/eps1)
-0.4 -I
 |
8
7Гп= — = 0.5, 7Г7] = —= 0.25.
12 2 21 4
 |
 |
І І І І І І І І І І І I
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t Рис. 6.6
 |
j
i i i i i i i i i i i i * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t
[] Оценки
| Точные значения
Отклики УЛ
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3-0.2 ■ 0.1 • 0-
ШШШШ
□ Оценки
^ Точные значения
5 6 7 8 9 Рис. 6.8 Отклики У2
10 11 12
0.25-0.20-0.15-0.10-0.05-0ті
■ s в в
5 6 7 Рис. 6.9
Г8*
8 9 10 11 12
□ Оценки
I Точные значения
Следует обратить внимание на построенные на основании асимптотических распределений доверительные интервалы для (отдельных!) значений импульсных откликов: рис. 6.10 соответствует упорядочению YI Y2; рис. 6.11 — упорядочению Y2 Y.
Заметим для дальнейшего, что столь существенное различие в поведении функций импульсного отклика при альтернативных упорядочениях связано с существенной перекрестной коррелированностью инноваций в приведенной форме VAR. В сгенерированных данных эта корреляция равна —0.628, а для остатков от оцененной VAR она равна -0.634.
В общем случае предполагают, что структурная модель VAR имеет вид:
Ayt = C(L)yt_x + Bet = Cxyt_x +... + Cpyt_p + Bet,
т.е. £ = Bst,
где st = (sXn skt)T — li.d. случайные векторы с нулевым математическим
ожиданием и единичной ковариационной матрицей Ik.
Response of У1 to У1
Response of У2 to У1
-0.4
-0.8
-1.2-г
~~і і і і і і і—і і і—I—* 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t
~~і—г
2 3
П—I—I—I—I—I—I—I—I—* 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t
 | |||
 | |||
Соответственно приведенная форма имеет вид:
yt=A-xC(L)yt_x+A-lBet = IlL)yt_x+ut =Uxyt_x +... + Ylpyt_p+un где Пу =A~lCj, n*(£) = n1+... + npZT1,
w, = A~lBst = Dsn
так что
Ду^П^м+Я*,. (6.7)
Можно без труда оценить VAR в приведенной форме, используя OLS. Однако, получив оценки матриц П19 П^, не всегда можно получить через них оценку представления (6.7), поскольку не известны матрицы А и В. Это связано с общей проблемой идентификации структурных уравнений по приведенной форме системы (см. разд. 1 ч. 3 данного учебника). Заметим, что в рассматриваемой ситуации
X = Cov(ut) = Cov(A~lBst) = A-lBCov(st)(A-xB)T = А~ХВВТ (А~Х)Т.
Оценив приведенную VAR, можно получить и оценку X ковариационной матрицы X. При этом замена X на X приводит к оценочному уравнению
± = АГХВВТ{АГХ)Т
для А и В. Матрица X содержит число сочетаний из А: по 2 плюс к, т.е. (к) , к2 + к
+ к = , различных элементов, тогда как общее количество неизвест[2J 2
ных элементов в матрицах А и В равно 2к2. (В частности, при к = 2 в матрице
X имеется три различных элемента, а в матрицах А и В — 8 неизвестных элементов.) Поэтому идентификация возможна лишь при наложении на матрицы А и В (соответственно на матрицы А и В) достаточного количества ограничений. Этот шаг исследования исторически реализовывался различными способами. Методология Симса, которую мы уже применяли к VAR(l) с двумя переменными, фактически основана на следующем результате (разложение Холецкого).
Всякую положительно полуопределенную матрицу I можно представить в виде произведения I = QTQ, где Q — верхняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, причем такая матрица Q единственна.
Заметим, что определитель матрицы Q равен произведению диагональных элементов этой матрицы, а потому отличен от нуля. Следовательно, матрица Q имеет обратную, которая также является верхней треугольной. Заметим также, что транспонированная матрица D = QT является нижней треугольной матрицей с положительными диагональными элементами:
и при этом
В свою очередь, матрицу D можно представить в виде произведения:
D =
1
d2
О 1
«31 d32
о
О 1
22
0 d
0Vdu 0 0
0 d. 0
о л
0
0
Ul0
о о
'kkj
 |
 |
Тогда матрица A=D* — нижняя треугольная с единицами на диагонали:
Итак, если наложить на матрицы А и В ограничения:
А — нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали; В — диагональная матрица с положительными диагональными элементами,
то уравнение I = А~ХВ(А~ХВ)Т имеет единственное решение, т.е. имеет место точная идентифицируемость матриц А и В:
| Г і | 0 | 0 • | •• 0 | |
| а21 | 1 | 0 • | •• 0 | |
| А = | «31 | «32 | 1 • | •• 0 |
| va*l | 0*2 | «ІЗ • | •• 1 |
в =
bn о
о ъ22
о о
0Л
о
ъкк)
При этом Ъи можно рассматривать как среднее квадратическое отклонение инновации в z-м уравнении структуры, а форма матрицы А соответствует рекурсивной системе:
в первое уравнение с текущим значением входит только одна переменная уХп т.е. уи объясняется только запаздывающими значениями переменных уХп ...,ykt;
во второе уравнение с текущими значениями входят только переменные уи иу2п так чтоу2і объясняется с помощью jyk ид>,_15 д>,_2,
•
наконец, в А>е уравнение входят текущие значения всех переменных уи, ...,^,такчто^, объясняется с помощьюуи, ...9yk.Utnyt_l9yt_29 ...
Такой порядок вхождения переменных интерпретируется как последовательное включение переменных в порядке возрастания их эндогенности, так что последней в систему включается «наиболее эндогенная» переменная. При выбранной нормализации (единицы на диагонали матрицы А) уи — «наименее эндогенная» переменная, уь — «наиболее эндогенная» переменная.
В рекурсивной структуре, полученной с использованием изложенного метода, случайные ошибки в разных уравнениях являются не коррелированными между собой. Это означает, что соответствующую систему одновременных уравнений можно оценивать, используя обычный метод наименьших квадратов (OLS).
Вернемся к приведенной форме ^-мерной VAR(p):
которую мы уже записывали в виде:
U(L)yt=un U(L) = Ik-UxL-...-UpLp.
Если все корни уравнения detl~[(z) = 0 лежат за пределами единичного круга, то VAR стабильна, и можно записать:
у, = U(L) -{ut=(Ik-niL-...-npLpylut = = ut+ \%ut_x + ^2ut_2 + Ч*3и{_3 +... s 4*(L) ut,
где
4f(L) = Ik + 4!XL + 42L2 + ¥3Z,3 +...
Это есть векторное МА-представление (vector moving average — VMA) А:-мерного ряда уп основанное на последовательности инноваций ut приведенной формы VAR. При этом последовательность матричных коэффициентов у/Х9 i/s2, ... абсолютно суммируема, т.е. если у/№ — элемент матрицы \fk с индексом ij то |<00, Отсюда непосредственно вытекает, что
lim у/\^ = О для любой пары (ij). (68)
Если ut = Dsn где D — нижняя треугольная матрица из представления S = DDT, то
yt = Dst + ^1>^м + 4?2Dst_2 + *F3Ite,_3 +...
Это есть VMA-представление А>мерного ряда уп основанное на последовательности фундаментальных инноваций ег Элемент матрицы \fhD с индексом ij равен изменению — импульсному отклику (impulse response) z-й переменной в момент времени (t + h) в ответ на единичное изменение шока у-й переменной в момент времени t при сохранении неизменными всех остальных шоков во все моменты времени. Совокупность таких откликов для значений h = 1, 2, ... образует функцию импульсного отклика (impulse response function — IRF).
Замечание 6.2.1. Из соотношения (6.8) следует, что у стабильной VAR функции импульсного отклика стремятся к нулю при h —> оо.
Замечание 6.2.2. Принимая различные порядки последовательного вхождения переменных, получаем и различное поведение функций импульсного отклика, что дает возможность сравнивать альтернативные теории.
В модели двумерной VAR переменная уи могла бы представлять объем производства (output), а переменная y2t — деньги (money). Тогда упорядочение уи -> y2t соответствует схеме, изображенной на рис. 6.12. В этой схеме шоки в объеме производства оказывают немедленное воздействие и на объем производства, и на деньги, тогда как шоки в деньгах оказывают немедленное воздействие только на деньги. Такое упорядочение соответствует представлению, согласно которому денежная политика имеет только запаздывающее влияние на объем производства.
Можно рассмотреть и альтернативную схему, соответствующую упорядочению^, ->уи (рис. 6.13). В этой схеме шоки в объеме производства оказывают немедленное воздействие только на объем производства, тогда как шоки в деньгах оказывают немедленное воздействие и на деньги, и на объем производства. Это соответствует представлению о том, что деньги поставляются центральным
 |
банком, а объем производства становится известным центральному банку лишь с опозданием. Поэтому деньги не могут немедленно реагировать на шоки в объеме производства.
Наряду с функциями импульсного отклика важным инструментом анализа в методологии VAR является также декомпозиция (разложение) дисперсий ошибок прогнозов (variance decomposition) на h шагов вперед, h = 1, 2, ... Базой для построения такой декомпозиции служит указанное выше VMA-представление ряда уп основанное на последовательности фундаментальных инноваций st:
yt = Det + \%Dst_{ + xV1Dst_1 + ^Ds^ +...
Рассмотрим для простоты прогноз на один шаг вперед. Для момента (t + 1) имеем:
ум = Dst+l + \%Dst + ¥2DffM + \%Dst_2 +... Прогноз значенияyt+l9 сделанный в момент t9 имеет вид:
Pt+l =E(y^et,et_1,...) = 41Del+42Det_l+4'3Dst_2+..., ошибка такого прогноза равна:
et+i =У,+і ~yt+i =De,+v
Рассмотрим матрицу
e,+l, ell, = Ds r+l (D£ ,+l f = D£ ,+ £J+ °TМатематическое ожидание этой матрицы есть матрица, составленная математическими ожиданиями ее элементов, так что
= DCov(st+x)DT =DDT.
На диагонали этой матрицы находятся значения дисперсий ошибок прогнозов на один шаг вперед для рядов ух иу2. Матрицу DDT можно представить в виде:
DDT =dxdxT +d2d$,
где dj —у'-й столбец матрицы D.
При этом
dx =
(л
d2J
dx = (dxx d2x d2 =
Ч2Л d22j
d2=(dl2 d22
так что дисперсия ошибки прогноза на один шаг вперед ряда^ равна: а дисперсия ошибки прогноза на один шаг вперед ряда^2 равна:
D(e2,t+l ) = d2+d22Таким образом, получили декомпозиции дисперсий ошибок прогноза — разложение каждой из них на две компоненты. Что представляют собой эти компоненты? Заметим, что
Dsl+l=D
d2X d22j
'2,f+l
12°2,/+1
yd2S,t+ +d22S2,t+ )
Отсюда вытекает следующее:
d\£,t+1 — составляющая ошибки прогноза на один шаг вперед рядаух, обусловленная фундаментальной инновацией €ltt+l;
d^e>
2°2,t+
составляющая ошибки прогноза на один шаг вперед ряда^, обусловленная фундаментальной инновацией s2t+x; D(dxxsx t+x + dX2e2tJrX) = dx + d2 — дисперсия ошибки прогноза на один шаг вперед ряда>>!;
^Wi^u+i) = d\ — составляющая дисперсии ошибки прогноза на один шаг вперед ряда^, обусловленная фундаментальной инновацией єх ,+ 1; Д^іг^,r+i) = d2 — составляющая дисперсии ошибки прогноза на один шаг вперед ряда^, обусловленная фундаментальной инновацией s2t+x;
 |
• доля дисперсии ошибки прогноза на один шаг вперед ряда>>2, обусловлю - - 4 і
ленная фундаментальной инновацией sXt+x, равна 2 2 = ~~'
d2x+d22 2
• доля дисперсии ошибки прогноза на один шаг вперед рядауъ обусловленная фундаментальной инновацией є21+ х, равна 2^22 2 = —.
d2l+d22 2
В общем случае ошибка прогноза по VAR на h шагов вперед вычисляется по формуле:
Уг+н ~9t+h = Щ+и + \%Щ+и-і + ^іЩ+и-і + • • • + Ча-Л+і =
= Dst+h + \%Dst+h_x + 4>2Dst+h_2 + • • • + ,
так что
-Л+,кХ^-yt^f=DDT+VxDDT4>Tx +:+ Vh_xDDTVlx =
где —у-й столбец матрицы £>.
При этом вклад j-й фундаментальной инновации в дисперсию прогноза ряда ylt равен /-му диагональному элементу матрицы, заключенной в скобки под знаком суммы.
Обычно результат декомпозиции дисперсий прогнозов представляется как перечень долей каждого из слагаемых в общей сумме (в процентах). В пакетах программ статистического анализа строятся графики, показывающие динамику изменений каждой такой доли с изменением h, h = 1, 2,...
J Замечание 6.2.3. На практике для построения декомпозиции дисперсии прогнозов, как и для построения функции импульсного отклика, приходится использовать не теоретическую, а оцененную по имеющимся статистическим данным модель VAR. Поэтому, даже при использовании сгенерированных данных, следующих заданному процессу порождения данных (в виде приведенной формы VAR с заданными коэффициентами), декомпозиция дисперсии ошибок прогнозов, построенная по имеющимся данным, отличается от теоретической.
Ниже приведены таблицы и графики декомпозиций дисперсий ошибок прогнозов для нашего примера с двумерной VAR(l). Первому упорядочению соответствуют табл. 6.13 и рис. 6.14, второму упорядочению — табл. 6.14 и рис. 6.15.
Методология VAR довольно быстро стала доминирующей в эмпирической монетарной экономике. Она дала не только возможность описывать широкий спектр реальных данных, но и базу для анализа альтернативных теорий и гипотез. Модели VAR не представляют истину в последней инстанции, но являются полезным инструментом для прояснения взаимодействий между различными переменными.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Каковы основные черты методологии комиссии Коулса?
На какие недостатки методологии комиссии Коулса указывали Лукас и Симе?
Каковы основные черты методологии Лондонской школы экономики?
Что лежит в основе методологии VAR?
Что понимается под фундаментальными инновациями?
Что представляют собой функции импульсного отклика?
В чем состоит проблема идентификации структурной формы VAR на основе приведенной формы? Как решается эта проблема?
Как строится рекурсивная система на основании приведенной формы VAR? Что понимается под наименее эндогенной и под наиболее эндогенной переменными в полученной рекурсивной системе? Можно ли оценивать полученную рекурсивную систему обычным методом наименьших квадратов?
Влияет ли порядок вхождения переменных на поведение функций импульсного отклика?
10. Что представляет собой декомпозиция дисперсий ошибок прогнозов?
Обсуждение Эконометрика Книга вторая Часть 4
Комментарии, рецензии и отзывы