2. проверка гипотезы о значимости парного линейного коэффициента корреляции

2. проверка гипотезы о значимости парного линейного коэффициента корреляции

При проверке значимости коэффициента корреляции между независимым признаком x и зависимым признаком y (предположения того, что изучаемый параметр отличается от нуля), выдвигается основная гипотеза HQ о его незначимости: Н0 / r = 0; в качестве альтернативной (или обратной) выдвигается гипотеза H1 о значимости коэффициента корреляции: Н1 / 0.

Для проверки выдвинутых гипотез используется t-критерий (t-статистику) Стьюдента.

Гипотезы проверяются таким образом:

если модуль наблюдаемого значения t-критерия больше критического значения t-критерия, т. е. Ha6jl > tKpum, то с вероятностью (1 — а) или у основную гипотезу о незначимости парного линейного коэффициента корреляции отвергают, между изучаемыми признаками и существует корреляционная связь, которую аналитически можно оценить с помощью построения уравнения парной регрессии;

если модуль наблюдаемого значения t-критерия меньше или равен критическому значению t-критерия, т. е. Ha6jl < ^]ріт,то с вероятностью а или (1 — у) основная гипотеза о незначимости коэффициента корреляции принимается, т. е. между изучаемыми признаками x и y корреляционная связь отсутствует, построение уравнения регрессии в данном случае нецелесообразно.

Критическое значение t-критерия tKpum(a; n — h), где а — уровень значимости, (n — h) — число степеней свободы, определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

Формула значения t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы Н0 / r= 0 имеет вид:

r

yx

где ryx — выборочный парный коэффициент корреляции между переменными x и y, вычисляемый по формуле:

_yx — xy

Гу = sySx ;

(o(ryx) — величина стандартной ошибки парного выборочного коэффициента корреляции.

При линейной парной модели регрессии эта величина рассчитывается как:

Подставим данную формулу в выражение для расчета наблюдаемого значения t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы H0 / r = 0, получим:

х(п 2).

t-статистика Стьюдента применяется для проверки значимости парного выборочного коэффициента корреляции в случае, если объем выборки достаточно велик (n > 30) и коэффициент корреляции по модулю значительно меньше 1 0,45 < |rxy| < 0,75.

Если модуль парного выборочного коэффициента корреляции близок к 1, то гипотеза H0 / r= 0 может быть проверена (помимо t-критерия) с помощью z-статистики. Этот метод оценки значимости коэффициента корреляции был предложен Р. Фишером.

Величина z связана с парным выборочным коэффициентом корреляции определенным отношением:

1-r

yx I

(1 + rx ^

z = 0,5 ln

Величина z подчиняется нормальному закону распределения, поэтому проверка основной гипотезы о незначимости парного коэффициента корреляции H0 / r = 0 отождествляется с проверкой гипотезы о незначимости величины z H0 / z = 0 по формуле:

t =-L_

шба a>(z У

где co(Z) — величина стандартной ошибки величины z, определяемая как:

ф.) = -/=г.

Vn-3

Критическое значение этого критерия tKpum определяют по таблице нормального распределения (z-распределения) с доверительной вероятностью /или (1 — а).

Проверка гипотез осуществляется аналогично проверке гипотез по t-критерию Стьюдента:

1) при КабЛ > tKpum основная гипотеза H0 / ryx= 0 или H0 / Гух= 0

отвергается и выборочный парный коэффициент корреляции считается значимым;

2) при Кабл ^ (крит основная гипотеза Н0 / ryx= 0 или Н0 / ryx= 0

принимается и выборочный парный коэффициент корреляции считается незначимым.