Лекция № 6. построение прогнозов для модели парной линейной регрессии. примеры оценивания параметров парной регрессии и проверки гипотезы о значимости коэффициентов и уравнения регрессии

Лекция № 6. построение прогнозов для модели парной линейной регрессии. примеры оценивания параметров парной регрессии и проверки гипотезы о значимости коэффициентов и уравнения регрессии

Целью построения регрессионной функции на основе эмпирических данных является не только аппроксимация исходных данных с заданной точностью, но и возможность дальнейшего применения в экономических расчетах полученного уравнения регрессии. В частности, на основе регрессионной модели можно рассчитать прогнозное значение результативного признака при заданном значении факторного признака.

Для модели парной линейной регрессии точечный прогноз зависимой переменной y при заданном значении независимой переменной xm будет выглядеть следующим образом:

С доверительной вероятностью у или (1 — а)точечная оценка прогноза результативного признака ym попадет в интервал прогноза, который определяется по формуле:

Уm

taAjm) < ym < ym + ta>(m),

где ym — точечная оценка прогноза результативного признака; t — t-критерий Стьюдента, который определяется в зависимости от заданного уровня значимости а и числа степеней свободы (n — 2) (в случае парной регрессионной модели); a>(m) — величина ошибки прогноза в точке m . Величина ошибки прогноза рассчитывается по формуле:

a>(m)

S2(є) х

П +1 + (xm — X У

\%iXi — X )2

где S2(e) — несмещенная оценка дисперсии случайной ошибки линейного уравнения парной регрессии.

Рассмотрим подробнее процесс определения величины ошибки прогноза.

Пусть задана парная линейная регрессионная модель следующего вида:

Уі =в о +Л (x -x) + где независимая переменная x представлена в центрированном виде.

Необходимо построить прогноз зависимой переменной y при заданном значении независимой переменной xm:

Математическое ожидание зависимой переменной y в точке m определяется как:

E(yJxm ) = Л + Л (xm -x) + £m .

Дисперсия зависимой переменной y в точке m определяется как:

D(yjxm -x) = D(во + Д(xm -x)+Sm) =

G2 / _2 G2

= — +(xm x )X —

2

+ G2,

E(xx)

i=1

где D (в0) — дисперсия оценки параметра fi0 парной линейной регрессии, рассчитываемая по формуле:

D (во )= D

0+

D

nn

Точечная оценка прогноза результативной переменной ym имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием (в0 + в1 (xm x )) и дисперсией

G2 х

n + 1 + (xm x )

{ n l(x, -x)

во +в 1 (xm x); G

{ n l(x, -x)2

Если в выражение для дисперсии зависимой переменной у в точке т вместо дисперсии G2 подставить ее оценку выборочную оценку S2, то можно построить доверительный интервал для прогноза зависимой переменной при заданном значении независимой переменной хт:

П + 1+ (хт Х )

П 2(х Х )2

2*

п — 2

где S2 для модели парной линейной регрессии рассчитывается по следующей формуле:

S2 =^

Прогнозный интервал можно преобразовать к виду:

в0 +01 (Хт Х )

2е2

П2

П +1 + (Хт Х )

{ П 2(х. -Х)2

что и требовалось доказать.

Рассчитаем точечный прогноз.

На основании данных о цене на нефть Х (долларов за баррель) и индексе акций нефтяной компании у (в процентных пунктах) было построено уравнение регрессии:

у = 15,317 Х + 266,86.

Если цена на нефть подскочит в связи с нефтяным кризисом на Ближнем Востоке и преодолеет рубеж в 20 долларов за баррель, остановившись на отметке в 22,13 доллара за 1 баррель. Требуется определить, какое влияние окажет этот ценовой скачок на уровень индекса акций нефтяной компании.

Подставим новое значение независимой переменной в уравнение регрессии с целью получения прогноза:

у = 15,317 х22,13 + 266,86 = 605,825.

Нефтяной кризис благотворно сказался на финансовом положении нефтяной компании, повысив индекс ее акций с 550 процентных пункта до 605,825 процентных пункта.