Лекция № 10. пример применения мнк к трехмерной модели регрессии. пример расчета коэффициентов корреляции и проверки гипотез для трехмерной регрессионной модели

Лекция № 10. пример применения мнк к трехмерной модели регрессии. пример расчета коэффициентов корреляции и проверки гипотез для трехмерной регрессионной модели

Имеются данные по двадцати банкам страны о размере прибыли в дененежных единицах (результативная переменная y), объемах выданных кредитов в денежных единицах (факторная переменная x) и размере уставного капитала в денежных единицах (факторная переменная z) ( табл. 3).

Исходя из предположения о линейной зависимости между переменными составим систему нормальных уравнений для определения параметров уравнения множественной регрессии:

Д0 х 20 + Д х 4400 + Д2 х 576 = 513; . Д0 х 4400 + Д х 1059400 + Д2 х 129660 =122 060; Д0 х 576 + Д х 129 660 + Д2 х 16 844 =15 098.

Для решения данной квадратной системы линейных уравнений используем метод Крамера.

Для этого вычислим общий определитель системы:

А =

20 4400 576 4400 1059 400 129 660 576 129660 16 844

= (20 х1 059 400 х16 844 +4400 х129 660 х576 +4400 х129 660 х576 )--(576x1 059 400 х576 +129 660 х129 660 х20 +4400 х4400 х16 844 )= = 293 633 600.

Аналогично вычисляем частные определители, заменяя при этом соответствующий столбец столбцом свободных членов:

513 4400 576 А, = 122 060 1 059 400 129 6601 15 098 129 660 16 844

= (513х1 059 400 х16 844 +122 060 х129 660 х576 +4400 х129 660 х1 5098)-(576 х1 059 400 х15 098 +129 660 х129 660 х513 +4400 х122 060 х 16 844)=

= -105 920 751440.

20 513 576 4 400 122 060 129 660 576 15 098 16 844

= (20 х122 060 х16 844 +4400 х15 098 х576 +513 х129 660 х576 )--(576х122 060 х576 +15 098 х129 660 х20 +4400 х513 х16 844 )=

= 2 792 9120.

20 4400 513

4 400 1 059 400 122 060 576 129 660 15 098

= (513х1 059 400 х576 +4400 х129 660 х513 +122 060 х4400 х576 )

-(20xl 059 400 ХІ5 098 +129 660 ХІ22 060 x20 +4400 X4400 ХІ5 09 8) =

= 1366 229 280.

Определим коэффициенты регрессионного уравнения по формулам:

y = -0,236 +0,09x0,17z.

Параметр регрессии в 1 показывает, что при изменении переменной x на 1 дененежную единицу результативная переменная изменится на 0,09 денежных единиц при фиксированном значении переменной z.

Параметр регрессии в2 показывает, что при изменении переменной z на 1 денежную единицу результативная переменная изменится на 0,17 денежных единиц при фиксированном значении переменной x.

Рассчитаем по имеющимся данным уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

где t , t.

tx — стандартизованные переменные:

Система нормальных уравнений для стандартизированной модели множественной регрессии имеет вид:

в 1 + r (Х1Х2 )в2 + " ■ + r (Х1Хп )Дп Z

■f (X1y x = r (Х 2y x

r (ХпХ1 )в 1 + r (ХпХ2 )в2 + .-+ /вп = r (хпУ ),

где r(xiXj), r(Xiy) — парные коэффициенты корреляции между переменными:

S S

Рассчитаем вспомогательные характеристики для определения стандартизированных коэффициентов:

п 20 п 20

^220; z = J==— = 28,!

- 2>Л 122060 _ 2>А _ 1,ХЛ

yX = J= = = 6103; yz = — = 754,9; xz = — = 6483;

п 20 п п

Sy=b2 у2 = 7,97; Sx = Vx2 х2 = 67,6; Sz = vz2 z2 = 3,66

r = ]X-yx_ = 0,85; r = = 0,57; r = ^z-^ =

Таким образом, система нормальных уравнение будет иметь вид:

в 1 + 0,61 в 2 = 0,85;

в2 + 0,61 в1 = 0,57.

Отсюда найдем стандартизированные регрессионные коэффициенты:

в 1 = 0,8012; в 2 = 0,08.

Уравнение регрессии в стандартизированном масштабе можно записать следующим образом:

ty = 0,8012 xtX + 0,08 хtz.

После того как параметры уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе определены, необходимо перевести их в масштаб исходных данных по формулам:

в, =Дхв„ = У-ЕвхX.

Таким образом:

7 97

в = „,8„12 х^—= „,„9;

/ 1 СП С

7,97

в2 = „,„8 х 3^66=„,17;

в„ = 25,65 — „,8„12 х 22„-„,„8 х 28,8 =-152,9. Оцененное уравнение регрессии имеет вид:

y = — 152,9 + „,„9 x + „,17 z.

Как видим, оценки данного уравнения практически не отличаются от оценок, полученных с помощью МНК, кроме оценки свободного члена в0. Выяснить, какое уравнение является более точным, можно с помощью сравнения показателей остатков регрессии:

nn

,=1 ,=1

Для первого уравнения регрессии сумма остатков равна нулю, поэтому оно является наилучшим.

Пример расчета коэффициентов корреляции и проверки гипотез для трехмерной регрессионной модели

На основе данных таблицы 2 рассчитаем частные коэффициенты корреляции для модели трехмерной регрессии.

Определим коэффициент частной корреляции между получаемой прибылью и объемом выданных кредитов при фиксированной величине уставного капитала банка z по формуле:

r — r х r

yx yz xz

ryx/z

В качестве вспомогательных величин рассчитаем парные коэффициенты корреляции:

r = = 0,85; r = ^ = 0,57; r = ^ = 0,61.

yx SS к SS xz S S

yx y z x z

Тогда:

= ryx ryZ xrzz = 0,85-0,57 x 0,61 = 0

"*Z~ ) x (1-£ 0,572 )x(1-0,612 )' ■

Рассчитаем коэффициент частной корреляции между получаемой прибылью y и размером уставного капитала z при фиксированной величине выдаваемых кредитов x по формуле:

ryz ryx X rxz = 0,57 -0,85 x 0,61 = 0

УФ ~ rXz) x (1-r2 )~V(1-0,612)x (1-0,852) '

Факторные признаки оказывают определенное влияние друг на друга. С помощью частного коэффициента корреляции можно оценить эту взаимосвязь при фиксированном значении прибыли по формуле:

r = rxz ryx x ryz = 0,61 -0,85 x 0,57 = 0

После расчета всех частных коэффициентов корреляции множественного уравнения регрессии необходимо проверить их значимость.

Выдвигается основная гипотеза H0 о незначимости частных коэффициентов корреляции:

Н0Іr (yx7xl, • • ■, х„-1 )=0.

Альтернативной гипотезой H1 является утверждение о значимости частного коэффициента корреляции:

H1 1 rG^Ap ^ • ■, Xn-1 )^ 0.

Гипотеза значимости частных коэффициентов корреляции проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Наблюдаемое значение t-критерия tm6n вычисляется по формуле:

= r(yx</xl, ^ x„-1) х г—Г^

где n — объем выборочной совокупности (число наблюдений); l — число оцениваемых по выборке параметров.

Критическое значение t-критерия tKpum находится по таблице распределения Стьюдента с уровнем значимости а/2 и степенью свободы (n l 1): tKpun(a/2; n l 1).

Проверим значимость частного коэффициента корреляции ryx/z. Наблюдаемое значение t-критерия равно:

шбл 1- 10,77 V '

Критическое значение t-критерия

tKpUm{^; n-l-1J = tmn (0,025; 17) = 2,1.

Ha6} > tKpun, следовательно, между изучаемыми признаками xи y существует корреляционная связь при фиксированном значении переменной z.

Проверим значимость частного коэффициента корреляции

yz/x

набл 1-rzlx ' ' 1-0,12

L,6, = xVn-7-1=1-0212 x 720-3=o,56.

yzJx

Так как Ha6jl < tKpun, то данный коэффициент корреляции является незначимым, и переменную уставного капитала z можно вывести из модели без потери для ее качества.

Проверим значимость частного коэффициента корреляции ryz/x. Наблюдаемое значение t-критерия равно:

t л xVn-7-1= xV2o-3=1,68.

ша" 1Vxzh 10,29 V '

Так как Ha6jl < tKpun, то данный коэффициент корреляции является незначимым.

Рассчитаем множественный коэффициент корреляции для трехмерной модели регрессии по формуле:

R(y, Х1, Xn 0Гд xr (yx,) = 0,85.

Добавление в модель новой переменной не изменило коэффициента корреляции.

Рассчитаем множественный коэффициент детерминации как

квадрат множественного коэффициента корреляции:

n

R2(У, X1, x,) =ЕвГд хг(yx,)= „,73.

Коэффициент детерминации для парной модели регрессии, включающей в качестве факторной переменной только объем выдаваемых кредитов, составил „,72, т. е. включение в модель новой переменной не увеличило долю объясненной дисперсии.

После расчета всех коэффициентов корреляции и детерминации можно сделать окончательный вывод о том, что парная модель регрессии между переменной прибыли и объемом выдаваемых кредитов является более предпочтительной по сравнению с трехмерной моделью регрессии, так как включение в уравнение нового фактора ощутимых результатов не принесло, а лишь сделало его более сложным.

Явление мультиколлинеарности в случае линейной модели множественной регрессии — это нарушение одной из ее предпосылок, т. е. наличие линейной зависимости между факторами, участвующими в модели. В матричном виде мультиколлинеарность определяется как зависимость между столбцами матрицы факторных переменных X. Размерность матрицы факторных признаков X — n х n (без единичного вектора). Если ранг матрицы Xменьше n, то говорят о полной, или строгой, мультиколлинеарности. Однако на практике полная мультиколлинеарность почти не встречается. Проблема простой мультиколлинеарности (нестрогой) характерна для временных рядов.

Таким образом, основной причиной мультиколлинеарности является плохая матрица независимых переменных X.

Среди основных последствий, к которым может привести мульти-коллинеарность, можно выделить следующие:

при проверке основной гипотезы о незначимости коэффициентов множественной регрессии с помощью t-критерия в большинстве случаев она принимается, однако само уравнение регрессии при проверке с помощью F-критерия оказывается значимым, что говорит о завышенной величине коэффициента множественной корреляции;

полученные оценки коэффициентов уравнения множественной регрессии в основном неоправданно завышены или имеют неправильные знаки;

добавление или исключение из исходных данных одного-двух наблюдений оказывает сильное влияние на оценки коэффициентов модели;

наличие мультиколлинеарности в модели множественной регрессии может сделать ее непригодной для дальнейшего применения (например, для построения прогнозов).

Для обнаружения мультиколлинеарности не существует никаких точных критериев, а применяется ряд эмпирических методов.