2. регрессионные модели с точками разрыва

2. регрессионные модели с точками разрыва

К регрессионным моделям, являющимися внутренне нелинейными, относятся регрессионные модели с точками разрыва, которые, в свою очередь, делятся на кусочно-линейные модели регрессии и собственно модели регрессии с точками разрыва.

Существование кусочно-линейной регрессии вызвано тем, что нередко вид зависимости между зависимой переменной и независимыми факторами неодинаков в различных областях значений независимых переменных. Можно рассматривать регрессионную зависимость себестоимости единицы какого-либо продукта от объема произведенной продукции за месяц. Данная зависимость носит линейный характер, т. е. с увеличением объема производства себестоимость единицы товара снижается. В некоторых случаях себестоимость может меняться резко, скачкообразно. Если в производстве используются устаревшие модели станков, то с увеличением объема производства себестоимость может также увеличиваться. Если старые станки используются в производстве до того момента, когда объем производства достигнет определенного, заранее заданного значения (например, 300 единиц продукции), то данную зависимость можно аппроксимировать уравнением регрессии вида:

У = в0 +в1 х х х(х < 300) +в2 х х х(х > 300),

где у — себестоимость единицы продукции;

х — объем произведенной за месяц продукции;

(x < 300) и (x> 300) — логические выражения, принимающие

значения единице, если они истинны, или нуля, если они

ложны.

Эта регрессионная модель зависит от общего свободного члена в0 и углового коэффициента, равного в (если выражение (x < < 300) истинно, т. е. равно единице) илив2 (если выражение (x > > 300) истинно, т. е. равно единице).

Если точка разрыва регрессионной кривой (в приведенном примере равная 300 единицам) точно не определена, то можно оценить значение данной точки.

В уравнение регрессии необходимо ввести дополнительный параметр @ъ вместо логических выражений:

y = в„ +в1 х x x(x <в3 )+в2 х x x(x >в3).

Это регрессионное уравнение можно легко преобразовать в собственно регрессию с точками разрыва, которая характеризуется скачкообразными изменениями зависимой переменной в некоторых точках кривой. Например, с началом использования старых машин в производстве себестоимость единицы продукции резко подскочила, а затем продолжила медленно снижаться при условии увеличения объемов производства данной продукции. В этом случае регрессионная зависимость примет вид:

y = (в„ +в1 Xx)x(x < 3„„)+(в3 + в2 хx) x(x > 3„„).

Оценивание параметров регрессии с точками разрыва осуществляется с помощью метода максимального правдоподобия или итерационных методов нелинейного оценивания.

Если стоит выбор между аппроксимацией исходных данных одной из рассмотренных моделей или другой регрессионной моделью (например, линейной или нелинейной, но сводящейся к линейной), то предпочтение отдается более простой форме моделей.

Регрессионные модели могут быть использованы в анализе принадлежности элементов различным группам. Например, если в предыдущий пример добавить условие, что продукцию производят не один, а три завода, то можно сгруппировать переменные по принадлежности к определенному заводу и отразить это в уравнении регрессии. Функция правдоподобия данной модели может быть намного больше, чем у обычной регрессии.