2. устранение гетероскедастичности

2. устранение гетероскедастичности

Наиболее простым методом устранения гетероскедастичности является взвешивание параметров регрессионной модели. Суть метода состоит в том, что отдельным наблюдениям независимой переменой с максимальным среднеквадратическим отклонением случайной ошибки придается больший вес, а остальным наблюдениям с минимальным среднеквадратическим отклонением случайной ошибки придается меньший вес. Благодаря этому оценки коэффициентов уравнения регрессии остаются эффективными.

Модель регрессии при таком подходе называется взвешенной

1

регрессией с весами

Рассмотрим процесс взвешивания для линейной модели парной регрессии, в которой доказано наличие гетероскедастичности:

yi =00 +0ixi +ЄІ.

G2 (єі )*G2 (єр)

где І * j.

yi _ 00 + 0i xi + Є1

Разделим регрессионное уравнение на среднеквадратическое отклонение случайной ошибки G(£):

G (є ) G (є ) G (є ) G (є )' G (є2) G (є2) G (є2) G (є2)

и т. д.

Процесс взвешивания для модели парной регрессии можно записать так:

+ _/ + _/ л, І =1, П.

G (єі ) G (є,) G (єі ) G (є )'

Данное уравнение записывают в линейном виде с помощью метода замен. Введем обозначения:

Уравнение регрессии записывают в преобразованном виде: Wi =00 xvt +0i xZi +Vt.

Эта регрессионная модель является моделью с двумя факторными переменными — v и z,v

Дисперсию случайной ошибки взвешенной регрессионной модели можно рассчитать следующим образом:

D (Vt )= D

I

D (є,) ] [G (є, )) = G2 (є, )=1»

что говорит о постоянстве дисперсий случайных ошибок преобразованной регрессионной модели, т. е. о присутствии условия гомоскедастичности.

Основной проблемой рассмотренного подхода к устранению ге-тероскедастичности является необходимость априорного знания среднеквадратических отклонений случайных ошибок регрессионной модели. Такое условие в реальности практически невыполнимо, приходится прибегать к другим методам коррекции ге-тероскедастичности.

Методы коррекции гетероскедастичности сводятся к нахождению оценки ковариационной матрицы случайных ошибок регрессионной модели:

Cov (єі )=Q =

G2 0 ••■ 0 0 G22 ••■ 0

0 0 ... Gl

где Gf2 * G22 * ... * Gn2.

Оценки G2 (ei) находят с помощью метода Бреуша—Пагана:

на основании уравнения регрессии находятся остатки ei и сумма квадратов остатков

n

i=1

оценкой дисперсии остатков регрессионной модели будет величина:

G 2 (e )=f 2 ^

" i=1

строится взвешенная регрессия, где весами является оценка дисперсии остатков регрессионной модели

1 „

G2 (е г

4) если взвешенное уравнение регрессии получается незначимым, то и оценки матрицы ковариаций Q являются неточными.

После нахождения оценок дисперсий остатков можно воспользоваться доступным обобщенным или взвешенным методом наименьших квадратов для вычисления оценок коэффициентов уравнения регрессии, которые различаются лишь оценкой .

Если нельзя выполнить коррекцию гетероскедастичности, то вполне возможно вычислить оценки коэффициентов уравнения регрессии по обычному МНК, но корректировать ковариационную матрицу оценок коэффициентов Cov(Ji) так как условие гетероскедастичности приводит к увеличению данной матрицы. Корректировка Cov(Ji) методом Уайта:

где N — количество наблюдений;

X — матрица независимых переменных;

e2 — квадрат остатков регрессионной модели;

xiT — транспонированная i-тая строка матрицы данных X. Корректировка приводит к изменению t-статистики и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Корреляция, возникающая между уровнями изучаемой переменной, называется автокорреляцией. Явление автокорреляции в основном присуще данным, представленным в виде временных рядов.

Автокорреляция остатков регрессионной модели ei (или случайных ошибок уравнения регрессии е() — корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями остатков.

Величина сдвига между рядами остатков называется временным лагом. Значение временного лага определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если существует корреляционная зависимость между остатками en и en— 1, то величина временного лага равняется. Данную зависимость будет характеризовать коэффициент автокорреляции первого порядка между рядами остатков e,, e , и e2, e .

Нормальная линейная модель регрессии строится исходя из предположения, что случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированы между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю: Cov(ej , e}) = E(ei ej) = о, где i ^ j. Явление автокорреляции остатков регрессионной модели нарушает эту предпосылку, что приводит к необходимости устранения корреляционной зависимости между случайными ошибками модели.

Наличие процесса автокорреляции остатков в регрессионной модели приводит практически к тем же последствиям, что и проблема гетероскедастичности остатков:

оценки уравнения нормальной линейной регрессии остаются несмещенными и состоятельными, но при этом теряется эффективность;

появляется большая вероятность того, что оценки стандартных ошибок коэффициентов регрессионной модели будут рассчитаны неверно, что конечном итоге может привести