4. спецификация переменных

4. спецификация переменных

Проблема спецификации переменных заключается в отборе наиболее важных факторов при построении регрессионной зависимости.

Неправильная спецификация может привести к следующим результатам:

исключение существенных переменных;

включение несущественных переменных.

Предположим, что построена некоторая нормальная множественная регрессионная зависимость вида:

Y = X0 + є, (1)

которая является базисной или ограниченной (restricted) моделью изучаемой регрессионной зависимости.

Существует и неограниченная модель изучаемой регрессионной зависимости (unrestricted model):

Y = X0 + ZA + є, (2)

где Y — вектор зависимых переменных;

X — вектор количественных факторных переменных; Z — некоторая фиктивная переменная; 0,1 — вектор неизвестных регрессионных коэффициентов, подлежащих оцениванию.

Рассмотрим случай исключения существенных переменных из модели.

Рассчитаем оценку коэффициента 0, полученную методом наименьших квадратов, в оцениваемой регрессионной модели с ограничениями (1), при условии, что регрессионная зависимость (2) является значимой.

0 =(XTX )-1 XTY.

Подставим в данную формулу вместо Yвыражение X0 + Z1 + є:

0 = (XTX )-1 XT (X 0 + ZA + e)= 0+(XTX ))1 XTZ1+(XTX )-1XT є.

Выясним, обладает ли полученная оценка коэффициента 0ба-зисной или ограниченной регрессионной модели свойством несмещенности. С этой целью найдем математическое ожидание 0:

E (00 )=0+(XTX}lXTZA,

BIAS

где BIAS — это смещение оценки.

Устранить несмещенность данной оценки коэффициента 0 невозможно даже при условии увеличения объема выборки.

Оценка коэффициента 0 базисной регрессионной модели (1) будет являться несмещенной в двух случаях:

1) если коэффициент при фиктивной переменной Z будет равен нулю:

л = о =* e (в) = в;

2) при условии, что пропущенные переменные будут ортогонально включены в модель, т. е. XT Z = 0.

Рассмотрим ковариацию оценки коэффициента в для базисной

регрессионной модели (1):

Cov (в ) =G2 (XTX

Ковариационная матрица МНК-оценок принимает такой вид только в том случае, если модель (1) является истинной или значимой.

Рассмотрим случай включения несущественных переменных в модель.

Оценим коэффициенты уравнения регрессии без ограничений (2) при условии, что базовая регрессионная модель (1) является значимой.

Представим регрессионную модель с ограничениями (1) в следующем виде:

Р

Y = (X,Z) х | ^ + є.

Обозначим через W переменные регрессионной модели (X, Z). Тогда оценку коэффициента регрессионной модели без ограничений можно записать как:

= (WTW )~1WY =

 1

XTX XTZ ZT X ZTZ

x(XZ ) XTY~

xY =

Выясним, обладает ли полученная оценка коэффициента вре-грессионной модели без ограничений свойством несмещенности.

С этой целью найдем математическое ожидание // А:

E (в) = E

А) [ 0

Таким образом, оценка /А является несмещенной оценкой регрессионного коэффициента // модели (2). Если в данную модель включить один дополнительный фактор, то оценки уже включенных факторов свойства несмещенности не утратят.

Однако если в модель включить много лишних параметров, то точность оценок будет падать.

Рассмотрим ковариационную матрицу МНК-оценок регрессионной модели без ограничений:

Cov

= G2 х

Ковариационная матрица будет иметь такой вид только в случае истинности или значимости регрессионного уравнения без ограничений.

Временной ряд — это ряд наблюдаемых значений изучаемого показателя, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени. Наблюдения yt t=1,n, из которых состоит временной ряд, называются уровнями этого ряда. Отдельно взятый временной ряд можно считать выборкой из бесконечного ряда значений показателей во времени.

Если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определенный момент времени, то такой ряд называется моментным. Если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определенный период времени, то такой ряд является интервальным. Если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей), то такие ряды называются производными.

При изучении временных рядов выделяют две основные цели:

характеристику структуры ряда;

прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.

Для достижения целей необходимо идентифицировать модель временного ряда и описать ее. Идентификация модели предполагает выявление основных компонент, содержащийся в изучаемом временном ряду.

Данные, представленные в виде временных рядов, могут содержать два вида компонент — это систематическая и случайная составляющие.

Систематическая составляющая является результатом воздействия постоянно действующих факторов. Выделяют три основные систематические компоненты временного ряда: тренд, сезонность, цикличность.

Тренд представляет собой систематическую линейную или нелинейную компоненту, изменяющуюся во времени.