4. автокорреляция уровней временного ряда

4. автокорреляция уровней временного ряда

Если временной ряд является нестационарным, т. е. содержит тренд и цикличность, то значения каждого последующего уровня ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.

Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми значениями уровней данного ряда.

Величина сдвига между рядами наблюдений — временной лаг (I).

Значение временного лага определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если существует корреляционная зависимость между уровнями xn и xn_1, то величина временного лага равняется единице.

Данную зависимость будет характеризовать коэффициент автокорреляции первого порядка между рядами наблюдений x1, xn-1 и x2, xn. Если лаг l = 2, то корреляционная зависимость будет характеризоваться коэффициентом автокорреляции второго порядка и т. д. С увеличением величины лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому рекомендуется брать максимальный порядок коэффициента автокорреляции равным n/4, где n — число уровней временного ряда.

Автокорреляция определяется с помощью выборочного коэффициента автокорреляции:

x _ і x _ і

G(x~) x G(x,_,) '

где xt x xt4 — среднее арифметическое произведения двух рядов, взятых с лагом l:

n

2 x x x_

x x x<_>=l^n__^>

xt — значение среднего уровня ряда x^^^,

n

x — '=1+l • x = n_l '

xt_і — значение среднего уровня ряда x^x2, :

n

xt_l— •

G(x), G(xjl) — средние квадратические отклонения, рассчитанные для рядов x1+l,x2+l, xn и x1,x2, xn_l, соответственно.

Определив несколько последовательных коэффициентов автокорреляции для исследуемого ряда, можно выявить лаг /, при котором автокорреляция rl наиболее высока, рассчитав таким образом структуру временного ряда.

Выделить следующие основные положения анализа структуры временного ряда на основании автокорреляционных коэффициентов:

если наиболее высоким окажется значения коэффициента автокорреляции первого порядка rJ=1, то изучаемый ряд содержит только трендовую компоненту;

если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции порядка J, то, кроме трендовой компоненты, исследуемый временной ряд содержит колебания периодом. Это могут быть как циклические, так и сезонные колебания;

если же ни один из коэффициентов автокорреляции r, где J = 1, L, не окажется значимым, то можно сделать один из двух возможных выводов:

а) ряд не содержит трендовой и циклической компонент,

а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. мы имеем дело с моделью случайного тренда;

б) ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести дополнительный

анализ временного ряда.

Наиболее простым и распространенным методом определения структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (АКФ и ЧАКФ).

АКФ — это функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами. Графиком АКФ является коррелограмма. ЧАКФ отличается от АКФ тем, что при ее построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.

Если значения уровней временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, то данный временной ряд называется детерминированным, а сама функция называется реализацией исследуемого процесса. Если же уровни временного ряда могут быть описаны с помощью функции распределения вероятностей, то такой временной ряд называется случайным.

Уровни временного ряда могут быть детерминированными и случайными величинами.

Уровни случайного временного ряда могут представлять собой непрерывные и дискретные случайные величины. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений является конечным или счетным. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из конечного или бесконечного интервала. Примером случайного временного ряда с дискретными уровнями может служить фиксация значений ежемесячной выдачи стипендий студентам. Пример случайного временного ряда с непрерывными уровнями — регистрация с определенной периодичностью температуры воздуха, которая во времени изменяется непрерывно.

Процесс, развивающийся во времени в соответствии с законами теории вероятностей, называется стохастическим процессом. К стохастическим процессам относится класс процессов, называемых стационарными.

Стохастический процесс называется стационарным, если его основные свойства остаются неизменными во времени.

Обозначим через xt уровень временного ряда. Тогда стационарный процесс в широком смысле будет характеризоваться такими свойствами, как:

1) постоянное математическое ожидание стационарного ряда

E(yt), т. е. среднее значение временного ряда, вокруг которо-