1. модель авторегрессии и оценивание ее параметров
1. модель авторегрессии и оценивание ее параметров
Авторегрессионная модель — это динамическая эконометриче-ская модель, в которой в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной. Примером модели авторегрессии является:
y, =00 +01 хX, + 4 хy,-1 + е.
В авторегрессионной модели коэффициент в1 характеризует краткосрочное изменение переменной y под влиянием изменения переменной x на единицу своего измерения.
Коэффициент 41 характеризует изменение переменной y под влиянием своего изменения в предыдущий момент времени ( ' 1). Произведение регрессионных коэффициентов (в1х41) называется промежуточным мультипликатором. Этот показатель характеризует общее абсолютное изменение результативной переменной y в момент времени ( ' + 1).
Показатель
0 = 01 + 01 х41 + 01 х42 + 01 х43 + ...
называется долгосрочным мультипликатором. Он характеризует общее абсолютное изменение результативной переменной y в долгосрочном периоде.
В большинство моделей авторегрессии вводится условие стабильности, которое состоит в том, что |41| < 1. При наличии бесконечного лага будет выполняться следующее равенство:
0=01 х(4 +412+43 + ^)= ї-04-.
Нормальная линейная регрессионная модель строится исходя из предпосылки о том, что все факторные переменные являются величинами независимыми от случайной ошибки модели.
В случае авторегрессионных моделей данное условие нарушается, так как переменная y t 1 частично зависит от случайной ошибки модели еґ Применение метода наименьших квадратов для оценивания неизвестных параметров авторегрессионного уравнения невозможно, так как это приводит к получению смещенной оценки коэффициента при переменной y 1.
Для оценивания параметров авторегрессионного уравнения применяется метод инструментальных переменных (IV — Instrumental variables). Его суть состоит в следующем.
Переменная y 1 из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на новую переменную Z, удовлетворяющую следующим требованиям:
она должна тесно коррелировать с переменной yt 1: cov(yt 1, z) * 0;
она не должна коррелировать со случайной ошибкой еt: cov(z, е) = 0.
Далее оценивают регрессию с новой инструментальной переменной z с помощью обычного метода наименьших квадратов. Оценка коэффициента регрессии определяется так:
Рассмотрим пример применения метода инструментальных переменных для модели авторегрессии вида:
y, =00 +01 х X, + 4 х y, -1 + е.
В данной модели переменная yt зависит от переменной xt, из чего можно сделать вывод, что переменная y 1 зависит от переменной x 1. Выразим эту зависимость через обычную парную регрессионную модель:
y,-1 = k + k х X'-1 + и,,
где k0, k1 — неизвестные коэффициенты регрессии; и ' — случайная ошибка регрессионного уравнения. Обозначим выражение k0 + k1 х x,-1 через переменную z,t 1. Регрессия для y 1 записывается:
y ,-1 = z,-1 + и,.
Новая переменная z,t 1 удовлетворяет свойствам, предъявляемым к инструментальным переменным: она тесно коррелирует с переменной yt 1, т. е. cov(zt 1, yt 1) ^ 0, и не коррелирует со случайной ошибкой исходной авторегрессионной модели et, т. е. cov(£p Z, 1).
Исходная модель авторегрессии может быть записана так: У, =00 +01 x x, +($1 x(k0 + k1 x,-1 + u,) + є, = = 00 +01 x x, + 3l X z,-1 + V|,
где vt =dx xut +єІ.
Оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели находятся с помощью обычного метода наименьших квадратов. Они являются оценками неизвестных коэффициентов исходной авторегрессионной модели.
Обсуждение Эконометрика.Конспект лекций
Комментарии, рецензии и отзывы