2. нормальная линейная модель парной регрессии

2. нормальная линейная модель парной регрессии

Нормальная, или классическая, линейная модель парной регрессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из следующих предположений:

1) факторный признак xi является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии є;

математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

Е(є) = 0,

где і = 1, и;

дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений:

D (є) = Е(є2) = G2 = const;

случайные ошибки уравнения регрессии не коррелированы между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:

Cov^ ,є}) = Е(є,є;) = 0,

где i

Это предположение верно в том случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

основываясь на 3 и 4-м предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

G2/є ~ N(0,G2).

Исходя из указанных предпосылок нормальную линейную модель парной регрессии можно записать в следующем виде:

У =в +вЛ +єі, (1)

где yi — значения зависимой переменной, і = 1, и; xi — значения независимой переменной;

— коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие оценке;

єі — случайная ошибка уравнения регрессии.

Матричная форма нормальной линейной модели парной регрессии:

Y=0 X+ є,

(2)

где

Y

Уі

— вектор значений зависимой переменной размер ности n X 1;

X

1 x2 1 x.

'А

— вектор значений независимой переменной размерности n X 2. Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессии параметр А0 умножается на 1;

— вектор коэффициентов уравнения регрессии размерности 2 X 1;

є1

— вектор случайных ошибок уравнения регрессии размерности n X 1.

Предположения о модели, записанные в матричном виде:

факторный признак x является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии є;

математическое ожидание случайной ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

Е(є) =

3) предположения о том, что дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений и ковариация случайных ошибок любых двух разных наб-

людений равна нулю, можно записать с помощью ковариационной матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели парной регрессии:

G2

0

G2 0 Ї

0 (3)

00

Данную ковариационную матрицу можно преобразовать следующим образом:

2=G1

є

П0 0 1

00

0 ^

0 1

= G 2In,

где G2 — дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии є;

In — единичная матрица размерности n x n. Ковариация — это показатель тесноты связи между изучаемыми переменными, которая вычисляется по формуле:

Cov (x, y ) = x y — x y,

где xy — среднее арифметическое значение произведения факторного и результативного признаков:

E x'y'

xy =

i=1

n

На диагонали ковариационной матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели парной регрессии располагается дисперсия случайных ошибок, так как ковариация переменной с самой собой равна дисперсии переменной. Таким образом:

Ол<є,є) = G 2(є);

4) случайная ошибка уравнения регрессии имеет нормальный закон распределения:

є~ N (0,G2 In).