2.6. закон больших чисел и предельные теоремы
2.6. закон больших чисел и предельные теоремы
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит {при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Теорема Чебышева. Если дисперсии п независимых случайных величин Х,Х2,...,Хп ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа п средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности^ к средней арифметической их математических ожиданий а, ai,...,an, т. е.
ХшьР
Хх+Х2+... + Хп ах + а2+... + ап
<г
= 1, (2.38)
или
9
1=1
п п
Теорема Бернулли. Частость события в п повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа п сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании, т.е.
(2.39)
Подробнее о понятии «сходимость по вероятности» см., например, [12].
41
т 3>
или > р .
п л—>ао
Согласно теореме Ляпунова1, если независимые случайные ее-личины Х, Xi,..., Хп имеют конечные математические ожидания и дисперсии, по своему значению ни одна из этих случайных величин резко не выделяется среди остальных, то при я->оо закон распредеп
летя их суммы ^Xt неограниченно приближается к нормальному.
В частности, если Х, Х2,..., Хп одинаково распределены, то зап
кон распределения их суммы ^Х( при п-^оо неограниченно приближается к нормальному.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы