3.1. функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

3.1. функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой (например, скорость свободного падения в вакууме в зависимости от времени и т.д.).

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость получила название статистической (или стохастической, вероятностной) (о ней упоминалось в § 2.4).

Возникновение понятия статистической связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками. Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесенных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

В силу неоднозначности статистической зависимости между Y и X для исследователя, в частности, представляет интерес усредненная по X схема зависимости, т. е. закономерность в измерении условного математического ожидания МХ(У) или М(У/Х = х) (математического ожидания случайной переменной Y, вычисленного в предположении, что переменная X приняла значение х) в зависимости от х.

Если зависимость между двумя переменными такова, что каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой, то такая статистическая зависимость называется корреляционной.

Иначе, корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде

Mx(Y) = y(x) (3.1)

или

Му(Х) = у(у),

где ц)(х) ф const, \f(y) ф const.

В регрессионном анализе рассматриваются односторонняя зависимость случайной переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной X. Такая зависимость может возникнуть, например, в случае, когда при каждом фиксированном значении X соответствующие значения Y подвержены случайному разбросу за счет действия ряда неконтролируемых факторов. Такая зависимость Y от X (иногда ее называют регрессионной) может быть также представлена в виде модельного уравнения регрессии Г по X (3.1). При этом зависимую переменную Y называют также функцией отклика, объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком, а независимую переменную X — объясняющей, входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком.

Уравнение (3.1) называется модельным уравнением регрессии (или просто уравнением регрессии), а функция ф(х) — модельной функцией регрессии (или просто функцией регрессии), а ее график — модельной линией регрессии (или просто линией регрессии).

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Y при условии, что переменная X примет значение х, т. е. Х=х. В статистической практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений (xt, yj) ограниченного объема п. В этом случае речь может идти об оценке (приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой1 является выборочная линия (кривая) регрессии:

І> = ф(хЛЛ,...,бД (3.2)

где у — условная (групповая) средняя переменной Y при фиксированном значении переменной Х= х, b$, b,..., Ьр — параметры кривой.

Уравнение (3.2) называется выборочным уравнением регрессии.

При правильно определенной аппроксимирующей функции ф(х, bo, b,..., bp) с увеличением объема выборки (я-^оо) она будет сходиться по вероятности к функции регрессии ф(х).