5.5. нелинейные модели регрессии

5.5. нелинейные модели регрессии

До сих пор мы рассматривали линейные регрессионные модели, в которых переменные имели первую степень (модели, линейные по переменным), а параметры выступали в виде коэффициентов при этих переменных (модели, линейные по параметрам). Однако соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки.

Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т. п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.

Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.

Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели

^=Ро+Рі*Л +Р2л/^ + 8/> 1=1,..., Л,

то вводя новые переменные Zx = Xl, Z2 = л[х^, получим линейную модель

Л=Ро+Рі*«1+Р2*/2+Є/, /=1,..., п,

параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов по формуле (4.8).

Следует, однако, отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок Ъ получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную {степенную) модель

yt =Ро*/іРі*/2Р2Є/> ' = 1 л> (5.11)

экспоненциальную модель

у. =е&>+М/і+М,2Є/, і = 1,..., п (5.12)

и другие.

В раде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейной форме. Так, модели (5.11) и (5.12) могут быть приведены к линейным логарифмированием обеих частей уравнений. Тогда, например, модель (5.11) примет вид:

In у і =1п|30 +Pj In jcz1 +Р2*/2 9 ' = я. (5.13)

К модели (5.13) уже можно применять обычные методы исследования линейной регрессии, изложенные в гл. 4. Однако следует подчеркнуть, что критерии значимости и интервальные оценки параметров, применяемые для нормальной линейной регрессии, требуют, чтобы нормальный закон распределения в моделях (5.11), (5.12) имел логарифм вектора возмущений є (т. е. In є *Nn (0, G2En), а вовсе не є. Другими словами,

вектор возмущений є должен иметь логарифмически нормальное распределение.

Заметим попутно, что к модели

Уі =Ро*іір,*і2Р2 + є/> і= І*-», л> (514)

рассматриваемой в качестве альтернативной по отношению к модели (5.11), изложенные выше методы исследования линейной регрессии уже непригодны, так как модель (5.14) нельзя привести к линейному виду. В этом случае используются специальные (итеративные) процедуры оценивания параметров.

В качестве примера использования линеаризирующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба—Дугласа

Y = AKaL$, (5.15)

где Y — объем производства, К — затраты капитала, L — затраты труда.

1 Коэффициентом частной эластичности Ех.(у) функции у~ J{x,X2,..., хп) относительно переменной */(/= 1,2,.называется предел отношения относительного частного приращения функции к относительному приращению этой переменной

Показатели аир являются коэффициентами частной эластичности1 объема производства Y соответственно по затратам

при Ах/^О, т.е. Ех (у) = lim

1 AX;->0

ьХіу

Ах;

= — yfx. . Нетрудно убедиться в том, что

у 1

для функции Кобба—Дугласа Ї) = a, Ei( Y)= p.

126

капитала К и труда L. Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1\% объем производства увеличится на а\% (Р\%).

Учитывая влияние случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению, функцию Кобба—Дугласа (5.15) можно представить в виде

Y = AKaLVz. (5.16)

Полученную мультипликативную (степенную) модель легко свести к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения (5.16). Тогда для /-го наблюдения получим

1пу|-=1пі4 + а1п^+ріпД-+1пе/5 /= 1,..., п. (5.17)

Если в модели (5.16) а+р=1 (т. е. модель такова, что при расширении масштаба производства — увеличении затрат капитала К и труда L в некоторое число раз — объем производства возрастает в то же число раз) функцию Кобба—Дугласа представляют в виде

Y = АКаП-*г

или

= А L

є. (5.18)

Таким образом, получаем зависимость производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Для оценки параметров модели (5.18) путем логарифмирования приводим ее к виду (для /-го наблюдения)

(Y/L)t =1пА + aln(K/L)l-fine,, /= 1,..., п. (5.19)

Функция Кобба—Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид:

Y = AKaLVeQtz, (5.20)

где t — время; параметр 0 — темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу. Модель (5.20) приводится к линейному виду аналогично модели (5.16).

► Пример 5.4. По данным п = 50 предприятий легкой промышленности оценить производственную функцию Кобба— Дугласа в виде (5.18).

Решение. От исходных значений переменных K/L и Y/L перейдем к их натуральным логарифмам и, используя метод наименьших квадратов, рассчитаем оценки параметров модели (5.19)1. Получим

ln(r/l)=0,43+0,251n (K/L), (0,32) (0,04)

или y1l = ,531(K/L)°>25

(в скобках указаны стандартные отклонения коэффициентов регрессии). Коэффициент регрессии, равный 0,25 (он же коэффициент эластичности в модели (5.18)), говорит о том, что при изменении капиталовооруженности труда на 1\% производительность труда на предприятиях отрасли увеличивается в среднем на 0,25\%. С помощью /-критерия легко убедиться в том, что коэффициент регрессии, а значит, и уравнение парной регрессии, значимы. ►