6.2. стационарные временные ряды и их характеристики. автокорреляционная функция

6.2. стационарные временные ряды и их характеристики. автокорреляционная функция

1 Случайным процессом (или случайной функцией) Y(t) неслучайного аргумента / называется функция, которая при любом значении / является случайной величиной.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд yt(t = 1,2,..., п) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей п наблюдений у, у2,..., Уп такое же, как и п наблюдений ух + х, у2 + т,...., Уп+х при любых п, t и т. Другими словами, свойства строго стационарных1 рядов yt не зависят от момента /, т. е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Следовательно, математическое ожидание ay(t) = а, среднее квадратическое отклонение ay(t)=a могут быть оценены по наблюдениям yt (t= 1,2,..., п)

по формулам:

п

л= —; (6.2)

ІІУі-УіЇ

s}=^ . (6.3)

п

Простейшим примером стационарного временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибки є, некорре-лированы, является «белый шум». Следовательно, можно сказать, что возмущения {ошибки) et в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения — нормальный (гауссовский) белый шум.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда у, у2,..., уп и j>1+T> У2+Т9...9 уп+т (сдвинутых относительно друг друга на т единиц, или, как говорят, с лагом т) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

1 Наряду со строго стационарными временными рядами (в узком смысле) в эконометрике рассматриваются стационарные ряды (в широком смысле), в которых требование неизменности при любых п, t и т распространяется лишь на числовые характеристики указанного распределения.

_ _ M[(yt -ayt+x -а)] _ M[(yt -ayt+x -а)}

ибо M(y,)= M(yt+X)=a, Gy (t) = Gy (/+x)=a.

Так как коэффициент р(т) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость р(т) — автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда yt (/= 1,2,..., п) автокорреляционная функция р(т) зависит только от лага т, причем

р(-т)=р(т), т. е. при изучении р(т) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений т.

Статистической оценкой р(т) является выборочный коэффициент автокорреляции г(т), определяемый по формуле коэффициента корреляции (3.20), в которой х/= уь Уі= У/+т, а п заменяется на п — т:

п-х n-t п-х

r(r)= , 2 , '-' (6.5)

І /і-т /'л-т Л І /I / п-х

w-vLytЕл дКл-^Ел+хЕл+х

V r=i V/=l У V t=+x = J

Функцию гіг) называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограммой.

При расчете г(х) следует помнить, что с увеличением т число п т пар наблюдений уь yt+x уменьшается, поэтому лаг т должен быть таким, чтобы число п — т было достаточным для определения г(т). Обычно ориентируются на соотношение х<п/4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага т взаимосвязь членов временного ряда yt и yt+x ослабевает и автокорреляционная функция р(т) должна убывать (по абсолютной величине). В то же время для ее выборочного (эмпирического) аналога г(т), особенно при небольшом числе пар наблюдений п т, свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании т может нарушаться.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция рчаст(т)> гДе Рчаст(т)есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда yt и у/+т, т. е. коэффициент корреляции между yt и у,+т при устранении (элиминировании) влияния промежуточных (между yt и yt+x) членов.

Статистической оценкой рчаст(т) является выборочная частная автокорреляционная функция гчаст(т), где гчаст(т) — выбороч

(6.6)

ный частный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (5.21) или (5.22). Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда yt и yt+2 при устранении влияния yt+ может быть вычислен по формуле (5.22):

r(2)-r(l)r(l,2)

гчаст(2) — 7*02.1 -'

Vl-r2(l)Vl-^2(l2)' где г(1), г(1?2), г(2) — выборочные коэффициенты автокорреляции МеЖДУ ^И^+1, ^+1 И^/+2, Уі^У^ t=l9...9 П.

► Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда yt найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов т=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (6.2):

_ 213 + 171 + ... + 361 0О,м/ ч

Уг = - = 296,88 (ед.).

о

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (6.3), но в данном случае проще использовать соотношение

s2 =^}-у} = 92478,38 296,882 = 4343,61;

=Л/4343,61=65,31(ед.).

где

У

2>2

2 -1^1 -

2132 +1712 +... + 3612

= 92 478,38.

Вычисляем необходимые суммы:

2>, =213+171+...+351=2014;

t=

2>2 =2132+1712+...+3512=609 506;

2>/+т = 171+291+...+361=2162;

t=

TyL =1712+2912+...+3612=694 458;

/=1

2><JVm =213 • 171+171 • 291+...+351 • 361=642 583. Теперь по формуле (6.5) коэффициент автокорреляции

m 7-642 583-2014-2162

г(1) = . .— = = 0,725.

д/7-609 506-20142V7-694 458-21622

Коэффициент автокорреляции г(2) для лага т = 2 между членами ряда yt и (* = 1,2,...,6) по шести парам наблюдений вычисляем аналогично: г(2)=0,842.

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка гчаст(2) = го2.і между членами ряда yt и у,+2при исключении влияния yt+ вначале найдем (по аналогии с предыдущим) коэффициент автокорреляции г(1,2) между членами ряда yt+ и yt+2г= (1,2)=0,825, а затем вычислим гчаст (2) по формуле (6.6):

п 0,842-0,725-0,825 .

гчаст (2) = г02, = . — , = = 0,627. w

' Vl"0,7252Vl-0,8252

Знание автокорреляционных функций г(т) и гчаст(т) может оказать существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценке его параметров (см. об этом дальше).

6.3. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда (выделение неслучайной компоненты)

Как уже отмечено выше, одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей J{t) (тренда либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой).

Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции ДОНаиболее часто используются следующие функции:

линейная

полиномиальная

Л0 = *0+Ы

At) = bo+bxt+b2t2+...+bnt»;

экспоненциальная

Гомперца

Это весьма ответственный этап исследования. При выборе соответствующей функции j{t) используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). При выборе полиномиальной функции может быть применен метод последовательных разностей (состоящий в вычислении разностей первого порядка At=ytyt_x, второго

порядка А(,2) = А, -Д/_і и т. д.), и порядок разностей, при котором они будут примерно одинаковыми, принимается за .степень полинома.

Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из п точек можно подобрать полином (лг—1)-й степени, проходящий через все точки, и соответственно с минимальной — нулевой — суммой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов, рассмотренный в гл. 3. Значения временного ряда yt рассматриваются как зависимая переменная, а время t — как объясняющая:

(6Л)

где є, — возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам

регрессионного анализа, приведенным в § 3.4, т. е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Напомним, что согласно методу наименьших квадратов параметры прямой1 yt = f(t)-b0+bxt находятся из системы нормальных уравнений (3.5), в которой в качестве де,берем Г.

п п

(6.8)

t= t= /=і

Учитывая, что значения переменной /= 1,2,...л образуют Наді п

туральный ряд чисел от 1 до я, суммы ]£f, ]Г*2 можно выразить

t= t=

через число членов ряда п по известным в математике формулам: ^^.^Я(Я + 1Х2* + 1) (6>9)-/=і 2 /=і 6 ► Пример 6.2.

По данным табл. 6.1 найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда уь полагая тренд линейным. Р е ш е н и е. По формуле (6.9)

±,.*±.ЗЬ «±11.204.

t= 1-2 t= 6

Далее

2>, =213+171+...+361=2375; 2>,2 =2132+1712+...+3612=739 827;

=213 • 1+171 • 2+...+361 • 8=11 766. Система нормальных уравнений (6.8) имеет вид:

1 В случае, если функция f{t) нелинейная и не представляется возможным применить методы линеаризации модели (§ 5.5), то параметры тренда находят из соответствующих (в зависимости от вида функции Д/)) систем нормальных уравнений, которые здесь не приводятся (см., например, [17]), либо с помощью специальных процедур оценивания.

Г8&0+36&! =2375, [3660 + 2046! =11766, откуда bo = 181,32; b = 25,679 и уравнение тренда yt = 181,32 + + 25,679/ (рис 6.1), т. е. спрос ежегодно увеличивается в среднем на 25,7 ед.

t =При решении задачи можно было не выписывать систему нормальных уравнений, а представить уравнение регрессии в виде (3.12), т. е. yt-y=bx(t-t), где

+ п

п 2 п а коэффициент регрессии Ь найти по формуле (3.13):

t2-t2

где

/=i t=

f = (l + /i)/2; ~ё = (п + Х2п + )16.

Проверим значимость полученного уравнения тренда по /'-критерию на 5\%-ном уровне значимости. Вычислим с помощью формулы (3.40) суммы квадратов:

а) обусловленную регрессией —

,2

QR = ±($t-y)2 = ±btk-t)2=bt

/=1 t=

t=l

I'

= 25,6792 б) общую —

204

362

= 27695,3;

(■» V Ту,

= ) _

t=i t=i

23752

= 739 827 =?1±= 34 748,9;

в) остаточную—

Qe=Q~ 0/г=34 748,9-27 695,3=7053,6. Найдем по формуле (3.44) значение статистики:

f. fi.fr-2). 27 «5.3-6

Qe 7053,6

Так как F> /о,05;і;б (см. табл. IV приложений), то уравнение тренда значимо. ►

При применении метода наименьших квадратов для оценки параметров экспоненциальной, логистической функций или функции Гомперца возникают сложности с решением получаемой системы нормальных уравнений, поэтому предварительно, до получения соответствующей системы, прибегают к некоторым преобразованиям этих функций (например, логарифмированию и др.) (см. § 5.5).

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т. е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда yt около своего среднего (сглаженного) значения а характеризуется дисперсией а2, то разброс

средней из т членов временного ряда (ух + у2+... + ym)i'т около того же значения а будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной а2/т. Для усреднения могут

быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др.

► Пример 6.3. Провести сглаживание временного ряда yt по данным табл. 6.1 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания т = 3 года.

Решение. Скользящие средние находим по формуле:

У,

(6.10)

т

когда /я = (2/7 — 1)— нечетное число; при т = 3 р = 1. Например, при /=2 по формуле (6.10):

Уг =|(Уі +^2 + *) = -j(213 + 171 + 29l)=225 (ед.);

при ґ =3

Уз = ^(У2 + Уз + J>4) = ^(171 + 291 + 309) = 241,0 (ед.) и т. д. В результате получим сглаженный ряд:

На рис. 6.1 этот ряд изображен графически в виде пунктирной линии. ►