6.5. понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней

6.5. понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней

Для данного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений є, будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели вида (6.7), в которых в качестве регрессора выступала переменная / — «время». В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаго-вые переменные, т. е. переменные, влияние которых в экономет-рической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых в этом параграфе регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными. (Подробнее об этих моделях см. гл. 8.)

Авторегрессионная модель р-го порядка (или модель AR (/?)) имеет вид:

Л=Ро+РіЛ-і+р2Л-2+.» + М/-я+є/ С = 1>2,...,л), (6.11) где ро,р1,...,Рр — некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесс в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t— 1, t— 2,..., t — p.

Если исследуемый процесс yt в момент t определяется его значениями только в предшествующий период t — 1, то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель AR (1) — марковский случайный процесс):

Л=Ро+РіЛ-і+Є/, (/=1,2,...,я). (6.12)

► Пример 6.5. В таблице представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании (ден. ед.):

Используя авторегрессионную модель 1-го порядка, дать точечный и интервальный прогноз среднего и индивидуального значений курса акций в момент t= 23, т. е. на глубину один интервал.

Решение. Попытка подобрать к данному временному ряду адекватную модель вида (6,7) с линейным или полиномиальным трендом оказывается бесполезной.

В соответствии с условием применим авторегрессионную модель (6.12). Получим (аналогично примеру 6.2)

j>, = 284,0 + 0,7503j;M. (6.13)

Найденное уравнение регрессии значимо на 5\%-ном уровне по .F-критерию, так как фактически наблюдаемое значение статистики F= 24,32 > ^о,05;1;19 = 4,35. Можно показать (например, с помощью критерия Дарбина—Уотсона) (см. далее, § 7,7)), что возмущения (ошибки) zt в данной модели удовлетворяют условиям классической модели и для проведения прогноза могут быть использованы уже изученные нами методы.

Вычисления, аналогичные примеру 6,3, дают точечный прогноз по уравнению (6.13):

j>,=23 = 284,0 + 0,7503 -1213 = 1194,1

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений —

1046,6 < yt=23 < 1341,6; 879,1 < ^;=23 < 1509,1.

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение курса акций данной компании на момент /=23 будет заключено в пределах от 1046,6 до 1341,6 (ден. ед.), а его индивидуальное значение — от 879,1 до 1509,1 (ден. ед.). ►

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней1, в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени.

Модель скользящей средней q-то порядка (или модель2 МА (#)), имеет вид:

Л =є, +Уієм +у2Є/-2 ++ Y*e,_f . (6.14)

1 Термин «скользящая средняя» не следует путать с аналогичным термином, используемым в технике сглаживания временных рядов (§ 6.2).

2 «МЛ» — от английских слов «moving average* — скользящая средняя.

В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов AR и МА.

Авторегресссионная модель скользящей средней порядков р и q соответственно (или модель ARMA (р, q)) имеет вид:

Уг = Ро + РіЛ-1 + .« + $рУг-р + Є, + УіЄ/-1 + + Y^/-^ • (6.15)

В заключение этой главы отметим, что использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т. е. автопрогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).

Упражнения

В примерах 6,6—6.8 имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы yt (ц/га) за 10 лет:

Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов т = 1;2) временного ряда.

Найти уравнение тренда временного ряда уь полагая, что он линейный, и проверить его значимость на уровне 0,05.

Провести сглаживание временного ряда yt методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания: а) т3; б) т= 5.

В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения yt (ден. ед.) за восьмилетний период:

Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:

а) найти уравнение тренда и оценить его значимость на

уровне 0,05;

б) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на девятый год.