8.9. автокорреляция ошибок в моделях со стохастическими регрессорами

8.9. автокорреляция ошибок в моделях со стохастическими регрессорами

Внимательный читатель мог обратить внимание на одно, казалось бы, противоречивое обстоятельство: в рассматриваемых примерах значение статистики Дарбина—Уотсона оказывалось достаточно близким к двум, что, казалось бы, указывает на отсутствие автокорреляции. Лишь в модели адаптивных ожиданий из § 8.7 значение статистики d попадает в критическую область, да и то на самую ее границу.

Объяснение здесь очень простое: тест Дарбина—Уотсона неприменим в том случае, если имеется корреляция между регрессо-рами и ошибками регрессии. В самом деле, идея теста заключается в том, что корреляция ошибок регрессии имеет место в том и только том случае, когда она значимо присутствует в остатках регрессии. Но для того, чтобы это было действительно так, необходимо, чтобы набор значений остатков можно было бы интерпретировать как набор наблюдений ошибок. Между тем это не так, если регрессоры коррелируют с ошибками.

Можно показать, что в этом случае значение статистики Дарбина—Уотсона будет часто попадать в область принятия гипотезы об отсутствии автокорреляции и в том случае, если на самом деле эта гипотеза неверна. Это обстоятельство и делает тест Дарбина—Уотсона неприменимым и обусловливает необходимость других инструментов для обнаружения автокорреляции ошибок регрессии в моделях со стохастическими регрессорами.

В модели с распределенными лагами ADL (0,1) (заметим, что все рассматриваемые нами модели относились именно к этому типу) для выявления автокорреляции ошибок можно применять h-mecm Дарбина. Рассмотрим модель

yt = а + рх, + уу,_і + є,. (8.54)

Предположим, что подозревается наличие авторегрессии первого порядка в динамике є:

є, =рє,_і+£,. (8.55)

Рассмотрим следующую статистику

Ml-0,5</)f-^, (8.56) 1-и£>(у)

где d — значение статистики Дарбина—Уотсона уравнения (8.54), у — оценка параметра у, полученная применением к (8.54) обычного метода наименьших квадратов.

При справедливости гипотезы р = 0 распределение статистики h при увеличении объема выборки стремится к нормальному с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Таким образом, гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок отвергается, если наблюдаемое значение статистики h окажется больше, чем критическое значение стандартного нормального распределения.

Рассмотрим следующий модельный пример. Методом Монте-Карло (см. §12.2) была сымитирована модель

yt = <х + )ум+є,, (8.57)

Є/ =рє/_, +^ (8.58)

с модельными значениями а = 10, у = 0,6, р = 0,3.

Применив к уравнениям (8.57), (8.58) обычный метод наименьших квадратов, получили следующие результаты: yt =5,257+ 0,79y,_l9 d = 1,7 для уравнения (8.57) и є, =0,158,_1?

(1,15) (0,045) (0,07) d =1,96 для уравнения (8.58).

Таким образом, получены следующие оценки:

а = 5,257, у =0,79, р=0,15.

Как мы знаем, эти оценки значительно отличаются от истинных значений параметров. Так как в рассматриваемом примере значения р и р вполне сравнимы, мы должны ожидать, что метод наименьших квадратов приведет к существенной несостоятельности оценок, что мы и наблюдаем в действительности.

Обратим особое внимание на достаточно близкое к двум значение статистики Дарбина—Уотсона для уравнения (8.57). На этот раз значение d попадает в область принятия гипотезы, что, очевидно, противоречит уравнению (8.58). Правильный результат можно получить с помощью Л-теста Дарбина. Имеем:

d= 1,7; D(y)= 0,045; п = 185.

Подставляя эти значения в (8.56), получаем h = 2,64. Так как это значение больше критического Ао,о5 =1,96, определяемого для нормального закона, гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок отвергается, имеет место авторегрессия ошибок первого порядка (еще раз заметим, что для рассматриваемой модели этот вывод был априорно очевиден).

В настоящем примере известно, что случайные величины £, имеют нормальное распределение, так что наиболее точные оценки дает метод максимального правдоподобия. Применяя его, получим:

d =9,338376; р =0,313694; у =0,627373.

Эти значения уже достаточно близки к модельным. Большей точности можно было бы добиться, сымитировав модель на выборке большего объема.