Глава 9 системы одновременных уравнений 9.1. общий вид системы одновременных уравнений. модель спроса и предложения
Глава 9 системы одновременных уравнений 9.1. общий вид системы одновременных уравнений. модель спроса и предложения
Одной из причин коррелированное™ регрессоров со случайными членами могут служить факторы, действующие одновременно и на сами регрессоры, и на объясняемые переменные при фиксированных значениях регрессоров. Иными словами, в рассматриваемой экономической ситуации значения объясняемых переменных и регрессоров формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Это означает, что рассматриваемая модель не полна: ее следует дополнить уравнениями, в которых объясняемыми переменными выступали бы сами регрессоры. Таким образом, мы приходим к необходимости рассматривать системы одновременных или регрессионных уравнений.
Классическим примером является одновременное формирование спроса Qd и предложения Qs товара в зависимости от его цены Р:
(9.1)
£*=Р4+Р5Р+є2.
Здесь / — доход.
Если предположить, что рынок находится в состоянии равновесия, то в равенствах (9.1) следует положить Qd = Qs = Q. В этом случае наблюдаемое значение Р — это цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Таким образом, мы должны считать Р и Q объясняемыми переменными, а величину дохода / — объясняющей переменной.
Разделение ролей между переменными в системе одновременных уравнений может быть проинтерпретировано следующим образом: переменные Q и Р формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (9.1), т.е. внутри модели. Такие переменные называются эндогенными. Между тем переменная / считается в уравнениях (9.1) заданной, ее значения формируются вне модели. Такие переменные называются экзогенными.
С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, между тем как эндогенные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют). Естественно предположить, что схожие случайные факторы действуют как на цену равновесия, так и на спрос на товар. Причинная зависимость между переменными и приводит, очевидно, к коррелированное™ их со случайными членами.
Набор экзогенных переменных может быть различным. Так, например, в модели спроса и предложения в качестве экзогенных переменных к доходу могут быть добавлены процентная ставка, временной тренд и т. д.
Приведем общий вид системы одновременных уравнений. Пусть Уі,..., Ym — эндогенные переменные, Х,..., X/ — экзогенные переменные. Введем блочные матрицы В и Г вида:
в = | 'Рп. | ; г = | ||
чРш1 • | vYml — У ml j |
Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как
BY+ ГХ = є, (9.2)
- | 'О | f80 | |||
где У = | у Лт) | ; х = | Vх і) |
Кроме регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными.
Например, для модели формирования спроса и предложения и цены равновесия имеем два поведенческих уравнения (9.1) и одно тождество Qs=Qd.
Тождества, вообще говоря, позволяют исключить некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности. Так, в модели спроса и предложения можно положить Qs = Qd = Q и рассматривать структурную форму (9.2), где1
У = | ; х | |
в = | (і | |
,1 | -P5J |
є =
-Р, -РзЛ
-Р4 о
В настоящей главе мы ограничимся случаем двух уравнений с двумя эндогенными переменными. Это не приведет ни к какой содержательной потере — все необходимые аспекты теории можно проследить на этом простейшем случае. В то же время такое ограничение позволит нам избежать излишней громоздкости в вычислениях.
Очевидно, что мы всегда можем выделить в левой части системы эндогенные переменные, т. е. записать уравнения в виде:
Г, = а,+р1Лг1+у1У2+Єі; Y2 =а2+Р2Лг2+У2>ї+Є2
(9.3) (9.4)
Наборы переменных Х и Х2 могут быть произвольными. Параметры р, вообще говоря, векторные. Если применить к уравнениям (9.3), (9.4) обычный метод наименьших квадратов, то, как показано в главе 8, получатся несостоятельные оценки параметров а, р, у. Таким образом, оценивание систем одновременных уравнений требует специальных методов, которым и посвящена настоящая глава.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы