9.3. проблемы идентифицируемости

9.3. проблемы идентифицируемости

В рассмотренном примере уравнения (9.6) были однозначно разрешимы относительно исходных параметров, что позволило найти их состоятельные оценки. Очевидно, что такая ситуация имеет место не всегда. Рассмотрим эту проблему более подробно.

Форма (9.2) называется структурной формой системы уравнений. В случае двух уравнений с двумя неизвестными структурной формой будем называть также уравнения (9.3)—(9.4). Параметры структурной формы называются структурными параметрами. Форма (9.5) называется приведенной формой системы. Параметры приведенной формы оцениваются с помощью метода наименьших квадратов. Однако экономический смысл и интерес для анализа представляют параметры структурной формы. Именно структурная форма раскрывает экономический механизм формирования значений эндогенных переменных.

Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов.

Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Структурный параметр называется не идентифицируемым, если его значение невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведенной формы. Наконец, параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

Пусть, например, в рассматриваемой модели мы предполагаем, что переменная Y зависит от двух экзогенных переменных Х, Х}, между тем как динамика >2 определяется только эндогенной переменной Уі, т. е. система уравнений имеет вид:

У, =<х, + p,Z, +р2*2 +7^+8,,

Y2=a2 +y2Yx. (9Л2)

1-у,у2 I-Y1Y2

Р2 с = P2Y2

1-УіУ2 ' 2 I-Y1Y2 что может быть переписано в виде

В приведенной форме уравнения (9.12) имеют вид (9.5), где

^=TJL_, ,2= Р.Г2

(9.13)

7-k= *i. <9Л4>

I-Y1Y2 I-Y1Y2

Уг=^ = ^(9-15) Ъх с,

Очевидно, что три коэффициента (Зь fori не могут быть найдены из двух уравнений (9.14). Это означает, что существует бесконечное множество их возможных значений, приводящих к одной и той же приведенной форме. Такие коэффициенты называются неидентифицируемылш и, соответственно, неидентифици-руемым называется уравнение, содержащее эти параметры.

В то же время для определения у2 мы имеем две различные возможности, задаваемые соотношением (9.15). При этом заметим, что необходимо выполнение равенства

Ъг _ с2

Но хотя это равенство выполняется для истинных (неизвестных) значений параметров с и Ъ, для их оценок оно, конечно, выполняться не будет.

В качестве примера рассмотрим модель (9.12) с данными из примера 1 (см. § 9.2). Оценки параметров приведенной модели имеют значения (9.10).

Отсюда имеем:

^= -0,8; ^=-0,835.

Параметр, для которого существует несколько способов выражения через коэффициенты приведенной формы, называется сверхидентифицируемым. Таковым является параметр 72 из рассматриваемого примера. Для сверхидентифицируемого параметра имеется несколько, вообще говоря, различных оценок.

Заметим, что проблема сверхидентифицируемости — это проблема количества наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра стремятся к одному и тому же истинному значению. Между тем проблема неидентифицируемости — это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и означает, что существует бесконечное число структурных моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму.

Неидентифицируемость вовсе не является редким явлением. В самом деле для идентифицируемости, грубо говоря, надо, чтобы количество оцениваемых структурных параметров было бы равно количеству оцененных параметров приведенной формы. Очевидно, однако, что в общем случае структурных параметров больше.

Очевидно, неидентифицируемость модели означает, что косвенный метод наименьших квадратов неприменим. В после дующих параграфах мы рассмотрим другие методы оценивания систем одновременных уравнений.