10.2. выбор одной из двух классических моделей. практические аспекты

10.2. выбор одной из двух классических моделей. практические аспекты

Величина Э, стоящая в левой части равенства (10.16), зависит от неизвестного параметра у, т. е. является ненаблюдаемой, так что полученный в § 10.1 критерий еще не дает ответа на вопрос, как осуществлять альтернативный выбор между моделями (10.1) и (10.2) на практике.

В реальности же мы располагаем лишь значением оценки:

Преобразуем величину 9. Для этого представим оценки g и C6v(g) в удобной для нас форме. Имеем:

g = {z'MxzY Z'MXY = (Z'MxZyx ҐМХ (АГр + Zy + є).

Непосредственно перемножая матрицы, легко убедиться, что имеет место равенство МхХ=0. Таким образом, получаем:

g = у + (Z'MxZyl ҐМхг. (10.17)

В то же время

C6v(g) ~Cov(g) = b'MxZy а2

где а2 =—— оценка параметра а2 (см. (4.21)). Здесь е —

п-рстолбец остатков регрессии (10.1). Таким образом, используя равенство (10.17), получаем:

Є = J-[y' + z'MxZ(Z'MxZ)-[ ](Z'MxZ)[y + (Z'MxZ)-[ Z'Mxe] =

g2

gz gl gl

или Є =—Є + ^-^є'Яє, (10.18)

a a

где £, = 4r{y'Z'Mxe + e'M^Zy);

a2

B=MXZ (Zr MXZ)~{Z' Mx. Можно показать, что величина £ принимает с равной вероятностью как положительные, так и отрицательные значения, в

то время, как величина —еВг принимает лишь положительg2

ные значения. Если число наблюдений п достаточно велико,

значения а2 и оценки а2, как правило, близки. Таким образом, используя равенство (10.18), мы можем считать малые значения

наблюдаемой величины 0 достаточной предпосылкой малости и параметра Э. В частности:

Если 9<1, разумно предположить, что и 9<1. (10.19)

Оказывается, величина F = Q/l (где / — число регрессоров Z) есть не что иное, как наблюдаемое значение статистики при обычном тестировании гипотезы о равенстве нулю коэффициентов у в модели (10.1). Если параметр у на самом деле равен нулю, F имеет распределение Фишера—Снедекора).

В самом деле, явный вид этой статистики (см, например, [13])

Не2е2-еех)

F=+ -2 . (10.20)

a

В то же время, используя (10.9), получаем: е2 = YXbi = Xb + Zg+ еXb — Xbzxg = ex MxZg. Отсюда

e2'e2 e{'ei = aV(Cov(£))-ig, (10.21)

и утверждение доказывается подстановкой (10.21) в (10.20).

248

Таким образом, может быть предложен следующий подход к альтернативному выбору модели: выбирается некоторое значение с. Если наблюдаемое значение /"-статистики меньше с, то предпочитается модель (10.2), если больше с — то модель (10.1).

При этом пороговое значение с выбирается, вообще говоря,

произвольно, как правило, в границах у < с < Fa.i.n_p_i_{, где

обычно а = 0,05.

Рассмотрим более подробно случай / = 1, т. е. имеется один регрессор Z, относительно которого ставится вопрос о включении или невключении его в модель. В этом случае F = Q. Используя (10.19), получаем следующий критерий предпочтения:

В случае 1=1 (наличие одного «спорного» регрессора) модель (10.2) оказывается предпочтительней, чем модель (10.1), если наблюдаемое значение F-статистики при тестировании гипотезы у = 0 оказывается меньше 1.

Получим еще одну формулировку приведенного критерия. Используем выражение (4.34') для скорректированного коэффициента детерминации R2.

1^1 <^2

Соответственно для регрессий (10.1), (10.2):

1 , 1 >

ЄЄ е>е>

—-уу —-у у

ппгде у = Y— Y. Отсюда

Таким образом, модель (10.2) оказывается предпочтительней модели (10.1), если скорректированный коэффициент детерминации при удалении регрессоров Z увеличивается (заметим, что простой коэффициент детерминации модели (10.1) всегда больше, чем модели (10.2)).