11.1. матрицы
11.1. матрицы
Матрицей размера (т х п) или тп-матрицей называется таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, например,
ап ап ...aj ...aln а2{ а22 ...a2j...a2n
(11.1)
ап а,
ат ат2 —Я/и/ —атп
или Атхп = (\%), где ау — элемент матрицы. Нараду с круглыми скобками используются и другие обозначения: [ ], II II. Виды матриц
Если т =1,то
Ахп = (а\а2 ••• ап)~
матрица (или вектор) -строка размера п.
Если п — 1, то
а2Х
— матрица (или век-
ат J
тор)-столбец размера т.
Если т = п, то Апхп=Ап — квадратная матрица п-то порядка.
Если я7у = 0 при щ, то ^=/) — диагональная матрица:
Если (а9 = 0 при / ф j;
ау = 1 при / = j,
то Ап=Еп (или £), единичная матрица п-го порядка:
Если ад = О (/= 1,..., щ j= 1,..., п), то у4дахл = 0WX« (или 0) — нулевая матрица, или нуль-матрица:
22
Ч о
О а
О о
о
( О О 1
О О ... 1
Го о о о
о о
0^
о о
= diagtoi Я22-О. Равенство матриц
Матрицы АтХп—(ау) и 5mX« = равны, т. е. А = Д если ад= by, / = 1,..., /и;у'= 1,..., я. Операции над матрицами
Произведение матрицы АтХп=(ау) на число X есть матрица Bmxn=(bij):
В = АХ, если by = ay X, і = 1,..., m; у = 1,..., п. (11.2) В частности, А • 0=0.
Сулшя двух матриц АтХп= (ау) и ВтХп= (by) есть матрица
С = А+В, если с7у= ау+by, /'= 1,..., m;j= 1,..., я. (11.3) В частности, Л+0=А
Произведение матрицы АтХп =(\%) «л матрицу Вп*р=(Ьф есть матрица СтХр—{ау):
п
С= АВ, если Cy = Y,aikbkj, і= І,-, у = 1,..., л. (11.4)
*=i
Из определения следует, что для умножения матрицы А и В должны быть согласованными: число п столбцов матрицы А должно быть равно числу строк п матрицы В.
► Пример 11.1. Даны матрицы:
(Ъ ^
А =
1 2 5 6
(2 1 9 2 0
Найти АВ и ВА.
Решение. Размер матрицы произведения А-$Х2 ' J&2x3=Qx3;
'3-2 + 4-9 | 3-7 + 4-2 | 3-8 + 4-0^ | '42 | 29 | 241 | ||
СМ = АВ = | 1-2 + 2-9 | 1-7 + 2-2 | 1-8 + 2-0 | = | 20 | 11 | 8 |
,5-2 + 6-9 | 5-7 + 6-2 | 5-8 + 6-0, | ,64 | 47 |
Аналогично 2?2хз'^зхт^^хь
С2х2=ВА =
f2-3 + 7-1 + 8-5 2.4+7.2 + 8-6 Ї к9«3 + 2-1 + 0-5 9 4+2 2 + 0 6
Ґ53 70Л 29 40
Получили, что произведения матриц АВ и ВА существуют, но являются матрицами разных размеров (порядков). ►
В частном случае
АЕ = ЕА = А.
(П.5)
4. Целая положительная степень Ат (т>1) квадратной матрицы есть Ат = А А...А.
т раз
По определению,
А°=Е, А' = А, Ат Ак = Ат+к, (Amf =Атк.
(И.6)
Особенности операций над матрицами.
В общем случае АВ * ВА, т. е. умножение матриц некоммутативно. Если Ат=0 или АВ =0, то это еще не означает, что А = 0 или 5=0.
Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А1 (или АТ), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением их порядка.
Если Атх„ =(ау), то А'„хт = (о,-,). Например, если
А =
, то А =
3 2 ч4 0,
'2 5^
2 3 4 5 2 0
Свойства операций транспонирования:
1. (А')'=А. 3. (Л + Я)' =/ + 5'.
2. (АЛУ=АЛ'. 4. (АВ)'=В'А (11.7)
Заметим, если ^4тхл = Ц,), то АА и Л'Л есть квадратные матрицы соответственно т-то и я-го порядков.
В частности, если А = (ді Я2 •.• ««)' есть матрица (вектор)столбец, то А'А = ^а} — квадратная матрица 1-го порядка,
т. е. число; а ЛЛ' =
( ах2 аха2 ... ахап^ а2ах а ... а2ап
— квадратная матрица
апах апа2
п J
л-го порядка.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы