11.2. определитель и след квадратной матрицы

11.2. определитель и след квадратной матрицы

Определителем (или детерминатом) квадратной матрицы п-то порядка (или определителем п-го порядка) АпХп=Ап= (аф называется число, обозначаемое Ап (или Ап deL4) и определяемое по следующим правилам:

при л = 1

(И.8)

при п = 2

А2 = Л =

«11 «12 (221 «22

-аиа22 а2ХаХ2

(И.9)

ПрИ Л = 3

«11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33

= а, ,022^33 + «12«23«31 + «13«2I«32 --а13а22а31 -«12«21«33 -«11«23«32

(11.10)

а) Д2

4 7 3 -8 ; б) д3 =

-3 4 5 -6 3 2

Решение:

а) По формуле (11.9)

Д,=

4 7 3 -8

:4-(-8)-3-7 = -53;

б) По формуле (11.10)

5 -3 -6

-8 7 4 5 3 2

:5-4-2 + (-8)-5(-6) + 7-(-3)-3-

7 • 4(-6) (-8)(-3) • 2 5 • 5 • 3 = 262.

(При вычислении определителя 3-го порядка a3 использовали правило треугольников, согласно которому соответствующие произведения трех элементов матрицы берутся со знаками «+» и «—»:

Определитель квадратной матрицы п-го порядка (или определитель п-го порядка) при любом п определяется более сложно. Он может быть вычислен с помощью разложения по элементам строки или столбца (теоремы Лапласа):

AiJ=(-iy+JM0;

(11.12)

My — минор элемента а-у — определитель матрицы (я—1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием /-й строки и j-го столбца.

► Пример 11.3. Вычислить определитель Д3 матрицы из

примера 11.2, разложив его по элементам строки (столбца). Решение.

Раскладывая по элементам, например, 1-ой строки, получим по формуле (11.11) с учетом (11.12):

5 -3 -6

= 5(-1)

7 5 2

4 5 3 2

■ 5аи-ъап+1ах1

+ (_8)(_1)1+2

+ 7(-1)1+3

-3 -6

: 5(-7) + (-8Х-24) + 7 • 15 = 262 . ►

Свойства определителей:

и=|4

При перестановке любых строк матрицы меняется только знак определителя матрицы.

|^| = 0, если элементы двух строк (или столбцов) пропорциональны (в частном случае — равны).

За знак определителя матрицы можно выносить общий множитель элементов любой строки (столбца).

Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (или столбца) прибавить элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

|Л5| = |5Л| = |л|-|5|, где а, В — квадратные матрицы.

ХА = ХпА , где X — число, п — порядок матрицы А.

|diag(аи а22...апг = апа22...апп.

|£я| = 1.

Следом квадратной матрицы А я-го порядка (обозначается tr(A) (от английского слова «trace»)) называется сумма ее диагональных элементов:

п

ъ{А)=ап+а22+...+апп=^аи • (11.13)

i=i

Свойства следа матриц:

їг{Еп)=п.

іх{ХА)=Хх(а).

tr(/)=tr(yi).

х(А + В)=іх(а)+іг(в). (11.14)

ъ(АВ) = Хг(ВА).

В частности, если А — (пх) вектор-столбец, В =А', то

tr(AA') = ti{A'A), (11.15)

где, напомним, АЛ и А А — соответственно квадратные матрицы я-го и 1-го порядков.