11.3. обратная матрица

11.3. обратная матрица

Матрица А называется невырожденной {неособенной), если |Л|*0. В противном случае (при |^| = 0) А — вырожденная (особенная) матрица.

Матрица А~х называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

А~1А=АА~1=Е. (11.16)

Для существования обратной матрицы А~х необходимо и достаточно, чтобы |Л| Ф О, т. е. матрица А была невырожденной. Обратная матрица может быть найдена по формуле

А-{=^А, (11.17) А

где А — присоединенная матрица:

А =

Аи А2 ■ А2 А22.

*1л

^Аи А2... Ап{ ^ А2 А22 —Ап2

чп2 ...Л„„ j

т. е. матрица, элементы которой есть алгебраические дополнения Ау элементов матрицы А', транспонированной к А.

► Пример 11.4.

Дана матрица

А =

4 -1

3 3 О

-1

6

-3 2

Найти Л Решение.

1. |л| = -27 (вычисляем по формуле (11.10) или (11.11)). Так

как а 0, то а~х существует. 4-1 3

2. А' =

3. 2 =

3 0-1 6-3 2 -3 -12 -9 -7 -10 6 1 13 3

ґ-3 -12 -7 -10 1 13

где элементы есть алгебраические дополнения Ау элементов матрицы А', определяемые по (11.12). 4. По формуле (11.17)

.9W

1

Л"1 =•

6 3

-27

1/9 4/9 1/3 7/27 10/27 -2/9 -1/27 -13/27 -1/9

Свойства обратной матрицы: 1

А

(A~l)-l=A.

{АтУх =(A-lf.

{AB)~1 = , где А, В — квадратные матрицы.

(Л-ОЦЛ')"1(11.18)

(diag(a„ ай.-О)-1 =diag(an1 ajj...^).

11.4. Ранг матрицы и линейная зависимость ее строк (столбцов)

Рангом матрицы А (обозначается rang А или г(А)) называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля.

► Пример 11.5.

Найти ранг матрицы

Ґ4 О

2 О

6 О

8 О

(Л

О

О

о

Решение. Легко убедиться в том, что все миноры 2-го

порядка равны нулю (например,

= 0

и т. д.), а следовательно, равны нулю миноры 3-го порядка и минор 4-го порядка.

Так как среди миноров 1-го порядка есть не равные нулю (например, І4І*0 и т. д.), то г(А)=1. ►

Свойства ранга матрицы:

0<r(A)<min(m,n).

r(A)=0 тогда и только тогда, когда А — нулевая матрица, т. е. А=0.

Для квадратной матрицы А п -го порядка г (А) = п тогда и только тогда, когда А — невырожденная матрица.

r(A + B)<r(A) + r{B).

r(A + B)> (A)-r(B).

r(AB)<mm{r(A (B)

r(AB) r(A)9 если В — квадратная матрица л-го порядка ранга п.

г(ВА) = г(А), если В — квадратная матрица т-то порядка ранга т.

г(АА') = г(А'А) = г(А), где АА и у4'у4 — квадратные матрицы соответственно /w-го и л-го порядков.

10. г (АВ) > г (А) + г (В) — п, где л ~ число столбцов матрицы А

или строк матрицы В.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (или столбцов).

Пусть строки матрицы А:

Є =(«11 <*2-<*п)9 Є2 =(«21 «22-«2«)> = fernl

Строка e называется линейной комбинацией строк е, Є2—> ew матрицы, если

e = Xlel +Х2е2 + ... + Хтет , (11.19)

где Х1Д2,...Дт— какие-то числа. (Равенство (11.19) понимается в смысле поэлементного сложения строк, т. е. равенству (11.19) соответствует л равенств для элементов строк с номерами 1,2,..., л.)

Строки матрицы е9 ет называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ХиХ29...9Хт9 из которых хотя бы

одно отлично от нуля, что линейная комбинация строк равна нулевой строке:

Ххех + Х2е2 + ... + Хтет =0, (11.20)

где 0 = (0 0... 0).

Если равенство (11.20) выполняется тогда и только тогда, когда Хх = Х2 = ... = Хт =0, то строки матрицы называются линейно независимыми.

Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).