11.6. векторы

11.6. векторы

n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность п действительных чисел, записываемых в виде х = (х9 *2,..., где X/ — /-я компонента вектора х.

Равенство векторов

Векторы х и у равны, т. е. х = у, если х, = уІ9 і =1,..., я.

Операции над векторами

1. Умножение вектора на число:

и хк, если и і кх{, і = 1,..., п. 2. Сложение двух векторов:

Z = X + У, ЄСЛИ z/ = JC/ + У;, І = 1,..., Л.

Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие следующим свойствам:

х + у — у + X.

(x+y)+z = x+(y+z).

а(рх)=(ар)х.

а(х+.у) = QLX+ay.

(а+р)х = сис+рх

Существует нулевой вектор 0=(0 0...0) такой, что х+0 = х для любого вектора х.

Для любого вектора х существует противоположный вектор (-х) такой, что х+(—х)=0.

1 • х = х для любого вектора х

Понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов в[9 еі,..., ет аналогичны соответствующим понятиям для строк матрицы е, еі,..., ет (§ 11.5).

Линейное пространство Rn называется n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (п+1) векторов уже являются зависимыми. Иначе, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т. е. dim(Rn) = п.

Совокупность п линейно независимых векторов n-мерного пространства Rn называется базисом.

Каждый вектор х линейного пространства R можно представить единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса:

х = хЄ+хіе>і+...+хпеп, (11.26)

где х, *2,..., хп — координаты вектора х относительно базиса е9 е2,..., еп.

Скалярным произведением двух векторов х = (х, хі,..., хп) и У = (Уь й>-ч Уп) называется число

п

(х, у) = ххух +хгУ2+■ ■ +х„у„= £ х,у, . (11.27)

Евклидовым пространством называется векторное (линейное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее следующим свойствам:

(х, У) = (У, х). 3. (а,х, у) = а(х, у).

(х, y+z)=(x, у)+(х9 z). 4. (х, х) > О, если х * 0; (х9 х)=0,

если х = О.

Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

х = у](х9х) = yjxl +ХІ+... + Х2 . (11.28)

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Векторы в9 в29...9 еп n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, или ортонормированную систему векторов, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна 1, т. е. если (еІ9 ej) = 0 при Ы] и et = 1, / = 1,..., п.