11.8. симметрические, положительно определенные, ортогональные и идемпотентные матрицы
11.8. симметрические, положительно определенные, ортогональные и идемпотентные матрицы
Квадратная матрица А называется симметрической (симметричной), если А' = А, т. е. ау = я,/, / = 1,..., п j = 1,..., п.
Симметрическая матрица А п-го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (х, Х2,..., хп)' выполняется неравенство
х'Ах > 0 (х'Ах>0). (11.32)
Например, матрица А'А неотрицательно определена, так как для любого вектора хх' (А'А)х = (х!А) Ах = (Ах)'Ах = у'у > О, ибо у'у представляет скалярный квадрат вектора у = Ах.
Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы.
п п
L(xx,х2хп) = хАх = Xayxixj> О или L>0). 1=1 y=i
Для положительно (неотрицательно) определенных матриц используется запись А > 0(А > 0).
Соотношение А >В (А > В) означает, что матрица А—В положительно (неотрицательно) определена.
Свойства положительно (неотрицательно) определенных матриц.
Если А >Д то ац >/>//, /= 1,..., я, т. е. диагональные элементы матрицы А не менее соответствующих диагональных элементов матрицы В.
Если А > Д С > 0, то А +ОВ.
Если А > В, где А и В — невырожденные матрицы, то В~х > А~1.
Если А > 0 (>4 > 0), то все собственные значения матрицы А положительны (неотрицательны), т. е. А,, >0 (А,, >0), / = 1,..., п.
Свойства симметрической положительно определенной матрицы А я-го порядка.
Если я > /я, rang (Впхт) = т, то В'АВ — положительно определенная матрица.
Матрица А~х, обратная к А, также симметрическая и положительно определенная.
Определитель А > 0, а значит, и все главные миноры матрицы А (получаемые для подматриц, образованных из матрицы А вычеркиванием строк и столбцов с одинаковыми номерами) положительны.
4. След матрицы А равен сумме ее собственных значений:
іт(А)=Х{ + 2 +... + Хя =]>>/ (11.33)
/=і
Квадратная матрица С называется ортогональной, если
СГ!=С. (11.34)
Свойства ортогональной матрицы С:
С'С=Е.
Определитель |С| = 1 или |С| = -1.
В ортогональной матрице как строки, так и столбцы образуют ортонормированную систему векторов (§ 11.6).
С помощью ортогональной матрицы С симметричная матрица А может быть приведена к диагональному виду
С'АС= Л, (11.35)
где A=diag (А,ЬА,2,..., К)
A,bA,2,..., кп — собственные значения матрицы А.
Симметричная матрица А может быть представлена через ортогональную и диагональную матрицу в виде
А = СЛС; (11.36)
где Л = diag (А,ЬА,2,...Д„);
A,bA,2,...,A,„ — собственные значения матрицы А.
Симметрическая матрица А называется идемпотентной, если она совпадает со своим квадратом, т. е.
А = А. (11.37)
Свойства идемпотентных матриц:
Ак =А, где к — натуральное число.
Собственные значения идемпотентной матрицы А равны либо нулю, либо единице: А= 0 или X = 1.
Все идемпотентные матрицы неотрицательно определены.
Ранг идемпотентной матрицы равен ее следу, т. е. числу ненулевых собственных значений.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы