3.5. нелинейные регрессии

3.5. нелинейные регрессии

Нелинейность регрессии проявляется как по переменным, так и по параметрам.

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Например, нелинейное уравнение у = а + pVx + є после замены переменной z = л/х становится линейным: у = ос + pz + є, и для оценки его параметров используется МНК.

Пример 3.8. Имеются данные о зависимости между ежегодным потреблением бананов у и годовым доходом х 10 американских семей (усл. ед.):

Рассмотрим различные варианты уравнения регрессии. 1. Оценка линейного уравнения ^ = а + рх + епо выборочным наблюдениям (х, у) приводит к уравнению

у = 5,13 + 0,88х, R2 = 0,64, 5 = 2,10.

Если рассмотрим нелинейное уравнение у = а + pVx + є и определим z = yfx, то уравнение примет линейный вид у а + + е.

Оценив регрессию между у и z, получим

у = 0,774 + 4,106z, Л2 = 0,762, S = 1,72.

Подставив z = у[х, имеем у 0,774 + 4,106\%/х.

Если рассмотрим нелинейное уравнение у = а + р/х + є и определим z = то уравнение примет линейный вид у = а + Pz + є.

Оценив регрессию между у и г, получим

j) = 13,42-11,67г, і?2 = 0,942, 5 = 0,85.

Подставив z = l/х, имеем у = 13,42 -—-.

х

Качество оценивания последнего варианта уравнения выше, чем у других.

В таблице представлены исходные данные для построения рассмотренных уравнений регрессии с помощью пакета анализа Excel (программа «Регрессия»):

Нелинейность по параметру часто устраняется путем логарифмического преобразования уравнения. Например, следующие нелинейные уравнения после логарифмирования сводятся к линейнымстепенная функция у ах^е ~ Ыу = In а + (iln.x + In є;

экспоненциальная функция у ае^хе~ пу = lna-ь flx + Ine. Использование МНК для нахождения оценок параметров этих

уравнений требует, чтобы Ine имел нормальное распределение.

Однако уравнение у ах$ + є, в котором случайный член є является аддитивным, уже никакими преобразованиями не приводится к линейному. В этом случае используют специальные итерационные методы оценивания нелинейной регрессии.

В экономике применяются функции вида:

у ах^е при моделировании кривых спроса;

у = осе^'е при моделировании временных трендов, при этом вместо х используется время ґ, а вместо р — постоянный темп прироста г, т.е. у = ае"е.

Пример 3.9. По данным примера 2.5 построим зависимость расходов на питание от доходов в виде степенной функции и экспоненциальный временной тренд.

В таблице представлены исходные данные (усл. ед.) для построения указанных уравнений с помощью пакета анализа Excel (программа «Регрессия»).

Уравнение у ссс^е после логарифмирования приводится к линейному виду 1пу = ІПСС + (ЗІПХ + ІПЄ.

Оценив регрессию между пу и lnx, получим преобразованное выражение

пу = -1,049+ 1Д83ІПХ.

Выполнив обратные преобразования, получим j) = e-1'O4V-183 = 0,350x1'183.

Уравнение у = ае"є после логарифмирования приводится к линейному виду пу -па +rt + Іпє.

Оценив регрессию между пу и /, получим преобразованное выражение

lnj> = -0,61 + 0,667/.

Выполнив обратные преобразования, получим

у = е-0'61е0'667' = 0,543е0'667'.

В экономическом анализе часто используется эластичность функции. Эластичность функции у = /(х) рассчитывается как относительное изменение у к относительному изменению х, т.е.

э =

rdy) У j

Щ=-л*).

х J у

Эластичность показывает, на сколько процентов изменяется функция у = /(х) при изменении независимой переменной на 1\%.

Для степенной функции у = ахь эластичность представляет собой постоянную величину, равную Ъ.

Например, для зависимости расходов на питание от дохода у = 0,350х''183 эластичность спроса на продукты питания по доходу

составляет 1,183. Это означает, что увеличение личного дохода на 1\% приведет к увеличению расходов на питание на 1,183\%.

Коэффициент 0,350 не имеет экономического смысла. Он помогает прогнозировать значение у при заданных значениях х, приводя их к единому масштабу.

Для экспоненциального временного тренда у 0,543е0'667' постоянный темп роста г 0,667. Это означает, что расходы на продукты питания в течение выборочного периода росли с темпом 66,7\% в год.

Постоянный множитель 0,543 показывает, что в момент / = 0 общие расходы на питание составили 0,543 усл. ед.

В силу того что эластичность линейной функции у = а + Ьх не является постоянной величиной, а зависит отх, т.е.

Э = Ь-, У

обычно вычисляется средний показатель эластичности по формуле

Э = Ь=, У

где х, у — средние значения переменных х, у в выборке.

Например, для зависимости расходов на питание от доходов у = -1,75 + 0,775х (х = 10, у = 6) средний показатель эластичности равен 1,29 и показывает, что с увеличением дохода на 1\% расходы на питание возрастут в среднем на 1,29\%.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Каковы предпосылки регрессионного анализа?

Что является мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии?

Какие существуют критерии проверки гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии?

В чем отличие стандартной ошибки положения линии регрессии от средней ошибки прогнозирования индивидуального результативного признака при заданном значении фактора?

Какие существуют виды моделей, нелинейных относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров?

Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей?

Какова взаимозависимость различных критериев в парном регрессионном анализе?

Обобщением линейной регрессионной модели с одной объясняющей переменной является линейная регрессионная модель с к объясняющими переменными (модель множественной регрессии):

>' = Ро + Рі*і + ... + Рал* + є, где ро, Pi,... Pi — параметры модели, а є — случайный член.

Как и в модели с парной регрессией, случайный член є удовлетворяет условиям Гаусса — Маркова:

Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю, т.е.

Л/(є/) = 0 (і = йп).

Дисперсия случайного члена должна быть постоянной для всех наблюдений, т.е.

D(e,) = M(ej) = с2 (і = їп).

Случайные члены должны быть статистически независимы (некоррелированы) между собой, т.е.

М(е,с;) = 0 (/*/).

Случайные члены в любом наблюдении должны быть статистически независимы от объясняющих переменных.

При выполнении условий Гаусса — Маркова модель называется классической нормальной линейной регрессионной моделью.

Предполагается, что объясняющие переменные некоррелированы друг с другом.

На основе п наблюдений оценивается выборочное уравнение регрессии

где b(), b, bk — оценки параметров Р0, Pi, P,t.