4.6. метод инструментальных переменных

4.6. метод инструментальных переменных

При наличии корреляции между объясняющими переменными и случайным членом МНК-оценки являются смещенными и несостоятельными. Для получения состоятельных оценок можно воспользоваться методом инструментальных переменных (ИП).

Суть метода ИП заключается в замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая некоррелирована со случайным членом и коррелирована с исходной переменной.

Пусть в модели у = а + $х + е переменная х коррелирована со случайным членом. Предположим, что можно найти другую переменную z, которая коррелирована с х, но некоррелирована с е.

Основанная на использовании ИП оценка параметра (3, определяемая как

_ cov(z, у) ^n = cov«,*)'

является состоятельной.

Действительно, из соотношений

cov(z, у) = cov(z, а + fk + г) = Р cov(z, х) + cov(z, є)

следует, что

coyfee)

*ип = Р + —:—:> cov(z, х)

т.е. оценка методом ИП равна истинному значению р плюс ошибка, равная covfo e)/cov(z, х).

В больших выборках ошибка исчезает при условии, что переменная z действительно распределена независимо от є и cov(z, х) Ф 0. Следовательно, на больших выборках Ьш будет стремиться к истинному значению р.

Таким образом, оценка 6ИП является состоятельной, но в общем случае смещенной и неэффективной.