6.1. модели с распределенным лагом

6.1. модели с распределенным лагом

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

у, = а + р0х, + Рі*м + ... + р>,_р + є,.

В этой модели влияние х на у сохраняется в течение времени р. В краткосрочном (текущем) периоде влияние хна у отражается величиной Ро, называемой краткосрочным мультипликатором. Он характеризует среднее абсолютное изменение у, при изменении х, на единицу в некоторый фиксированный момент ї без учета воздействия лаговых значений фактора х.

В долгосрочном периоде (через р моментов времени) суммарное влияние х на у отражается величиной (3 = Ро + Pi + ••• + PV> называемой долгосрочным мультипликатором. Он характеризует общее изменение результата у в долгосрочном периоде (/ + р) под влиянием изменения на единицу фактора х.

В моделях с распределенным лагом объясняющие переменные некоррелирован ы со случайным членом, поэтому модель можно оценивать с помощью обычного МНК. Однако на практике оценка параметров модели затруднительна из-за высокой мульти-коллинеарности факторов.

Для уменьшения числа объясняющих переменных и уменьшения эффекта мультиколлинеарности разработан ряд подходов, например модель геометрических лагов и модель полиномиальных лагов.

МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЛАГОВ (МОДЕЛЬ КОЙКА)

Предположим, что в модели с бесконечным лагом коэффициенты при лаговых значениях объясняющих переменных убывают в геометрической профессии. Модель имеет вид

у, = ос + Pox, + p05x,_i + р052х,_2 + Ро§3х,_з + ... + е„ где 5 є (0; 1).

В этой модели влияние х на у продолжается бесконечно. В краткосрочном (текущем) периоде влияние х на у отражается коэффициентом р0.

В долгосрочном периоде суммарное влияние хна у равно

ХРо5*=т

Модель содержит только три параметра (а, Ро, 5) и является нелинейной.

Процедура оценивания нелинейной модели такова:

перебирается с некоторым шагом значение 5 из интервала (0; 1);

для каждого 8 рассчитывается zt = xt + Ъх,_х + 82х,_2 + 53х,_3 + ... ... + Ьрх,_р с таким значением р, при котором дальнейшие лаго-вые значения х не оказывают существенного воздействия на z;

оценивается уравнение регрессии у, = a + fi0zt + є,;

4) выбирается такое значение 5, которое обеспечивает наибольший коэффициент детерминации R2 при оценке уравнения. Выбранному 5 соответствуют вычисленные значения а, (30 этого уравнения.

Использование этого метода при оценке параметров позволяет избежать проблему мультиколлинеарности объясняющих переменных.

МОДЕЛЬ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ЛАГОВ (МЕТОД АЛМОНА)

В модели полиномиальных лагов предполагается, что зависимость коэффициентов при лаговых значениях объясняющей переменной от величины лага описывается полиномом т-й степени. Модель имеет вид

у, = а + р0х, + Pi хь1 + ... + Ърх,_р + е„

где

p5 = Yo + Y^ + Y2^2++ Y^m, т<р.

Предположим, что величина лага/? известна. Кроме того, необходимо установить степень полинома т. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов второй и третьей степени.

Пусть, например, р-3,т = 2, тогда исходная модель есть

У г = а + Р<Л + Рі*м + p2-*V-2 + Рз^-з + е„ где

Po = Yo,

Pi=Yo + Yi+Y2, p2 = Yo + 2yi +4у2, Рз = Уо + Зуі +9у2.

Преобразованная модель имеет вид

>V = a + YoZb + Yi*i+Y2*2. где

Zo-X, + x,_i + х,_2 + *1-Ъ,

Z =*r-i + 2xf_2 + Зхь3, г2=*ы + 4х,_2 + 9х,_3. 108

Используя МНК, оцениваем параметры преобразованной модели и затем рассчитываем параметры исходной модели с распределенным лагом.

Пример 6.1. Имеются данные об объеме валового внутреннего продукта у некоторой страны в зависимости от инвестиций х в ее экономику за 25 лет. Построим модель с распределенным лагом для р = 3 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени.

Общий вид исходной модели:

у,= а + р0х, + р,хм + р2х,_2 + р3х,_3 + є,.

Исходные (у„ х,) и преобразованные (ю, Z, zi) данные (усл. ед.) представлены в следующей таблице:

Оцененная исходная модель имеет вид

у, = 41,73+ 2,42х,+ 0,71 *,_, +0,99 х,_2 + 1,47 х,_3, R2 =0,981,

(9,4) (0,33) (0,39) (0,41) (0,34)

в которой коэффициент 0,71 при переменной x,_i незначим (в скобках указаны стандартные ошибки).

Оцененная преобразованная модель имеет вид

у, =41,6 + 2,3220-1,92*1 + 0,56*2, Л2 = 0,981,

(9,27) (0,30) (0,66) (0,21)

и все коэффициенты при переменных значимы.

Получили следующие оценки параметров преобразованной модели:

у0 = 2,32, Yi = -1,92, у2 = 0,56. Коэффициенты регрессии исходной модели: р0 = 2,32,

(3, = 2,321,92 + 0,56 = 0,96,

р2 = 2,32-21,92 + 4-0,56 = 0,72,

Эз = 2,32 3 1,92 + 9 • 0,56 = 1,6.

Таким образом, модель с распределенным лагом имеет вид

у, = 41,6 + 2,32х, + 0,96хм + 0,72х,_2 + 1,6х,_3.

Краткосрочный мультипликатор равен 2,32, а долгосрочный мультипликатор равен 2,32 + 0,96 + 0,72 + 1,6 = 5,6. Это означает, что увеличение инвестиций в экономику страны на 1 усл. ед. приведет к росту валового внутреннего продукта в среднем на 2,32 усл. ед. в текущем периоде и на 5,6 усл. ед. через 3 года.